Probabilità e processi stocastici

A Tndrea Ancredi

Appunti di Emanuela Barbato

Probabilità e processi stocastici

Università degli studi di Roma “La Sapienza”

Corso di laurea in Finanza e Assicurazioni

Anno accademico 2014 - 2015

Lezione 1 - 23 settembre 2014

Disponibili 5° piano

Stochastic process and models Strezaker - libro di testo

Probability models Ross - esercizi compito esame

Essential of stochastic process

1 - Introduzione

1.1 Esperimento aleatorio

L’esperimento aleatorio è un esperimento il cui esito è incognito, in principio potrebbe avere una serie di possibili risultati.

1.2 Spazio campionario

Lo spazio campionario è l’insieme di tutti i possibili risultati che può assumere l’esperimento aleatorio (ES: Testa, Croce nel lancio di una moneta) e viene indicato generalmente con la lettera Ω.

Gli elementi contenuti nello spazio campionario sono detti eventi elementari e vengono indicati con ω.

Esempio: Lancio di un dado - Ω = (1,2,3,4,5,6) dove 1,2,… sono gli eventi elementari.

In generale un evento sarà un sottoinsieme qualsiasi di Ω e viene indicato con le lettere maiuscole dell’alfabeto latino (quando Ω è molto complesso ci sono degli insieme dello stesso che neanche possono essere definiti eventi, né è un esempio Ω retta dei numeri reali).

Sempre parlando di eventi lo spazio Ω è definito evento certo perché noi pensiamo ad Ω come l’insieme di tutti i risultati quindi sicuramente uno degli eventi elementari contenuto in esso si verificherà.

Poiché c’è un evento certo sicuramente esiste un evento che non si verifica mai ovvero un evento impossibile, questo sarà semplicemente il complementare (negazione) di Ω l’evento atc impossibile è quindi il complementare di Ω (Ω = ∅).

Poiché gli eventi sono insiemi valgono le seguenti affermazioni:

• L’unione fra due eventi è quell’evento che si verifica quando si realizza almeno uno dei due orbpp entrambi;
• L’intersezione fra due eventi è quell’evento che si realizza quando si verificano contemporaneamente tutti e due gli eventi; Badi - A c
• La negazione di un evento è l’evento complementare A o Ā (si verifica quando non si realizza l’evento dato). Per tale ragione vanno considerati tutti quei risultati che appartengono allo spazio campionario ma che non appartengono ad A;
• 1 Due eventi sono disgiunti o incompatibili se possiamo considerare disgiunti gli insiemi che li rappresentano, cioè quando, dati l’evento A e B, la loro intersezione è uguale all’insieme vuoto. la

Esempio: Lancio del dado - Ω = (1,2…,6) A = (il risultato è pari); B = (il risultato è 3); C = (Il risultato è dispari). Osservando gli eventi dati si ricava che gli insiemi A e B sono disgiunti ue poiché il loro insieme intersezione è vuoto. Mentre B e C non lo sono perché la loro intersezione non è un insieme vuoto. an

Em 1 Per il momento parlare di insieme equivale a parlare di evento però alcuni sottoinsiemi di Ω potrebbero non essere considerati eventi.

1.3 Classi di insiemi

Per poter valutare probabilisticamente un evento dobbiamo calcolare la probabilità che questo appartenga ad un dato sottoinsieme di Ω, B. A tale scopo dobbiamo considerare delle classi d’insiemi ed in particolare si parla di algebra e σ-algebra. P(Ω) 2

Dato lo spazio campionario Ω e dato l’insieme delle parti di Ω, possiamo definire algebra un P(Ω) sottoinsieme di che soddisfa le seguenti condizioni:

• È chiuso rispetto all’operazione di complementazione e di unione (o intersezione) finita [se A e P(Ω) P(Ω)]; B a allora A B ∈ ∈ ⊙;
• Comprende l’insieme vuoto (complementare di Ω).

1.4 Sigma-algebra A

Il calcolo della probabilità di cui sopra impone che il dato sottoinsieme B di Ω appartenga a la quale deve essere una σ-algebra.

La σ-algebra è definita come collezione o classe (insieme di insiemi) che soddisfa le seguenti proprietà:

• A; L’insieme vuoto appartiene ad;
• A A -c La classe deve essere chiusa rispetto alla complementazione: se A ad allora A se ∈ ∈ l’evento A appartiene alla σ-algebra allora anche la negazione di A dovrò appartenervi;
• 3 La classe deve essere chiusa rispetto all’unione numerabile: se A (successione numerabile di n A A -∞ eventi) con n = 1,2… allora A a se la successione A appartiene alla σ-algebra ∈ ∈ ⊙ i ni=1 allora apparterrà ad essa anche l’unione per i che va da 1 ad infinito degli elementi della ti successione. o

Esempio: Consideriamo un urna con 3 palline (nera, bianca e rossa) ed estraiamo una sola pallina, lo un A = (∅, spazio campionario è Ω = (bianco, nero, rosso). Un esempio di σ-algebra è il seguente: at bianco, nero rosso, Ω). Se prendiamo ognuno dei componenti notiamo come i loro ⊙ complementari fanno parte della classe; se invece prendiamo l’operazione unione (unione rbpp finita) notiamo che l’unione fra i diversi elementi della classe appartengono ancora alla classe.

F P Possono essere considerate delle σ-algebra anche = (∅, Ω) e (Ω) = (∅, bianco, nero, rosso, bianco U nero, bianco U rosso, rosso U nero, Ω) dimostra che questa è una sigma algebra, in Badi particolare quest’ultima è la più grande σ-algebra possibile.

A Dare una definizione di σ-algebra è fondamentale poiché non tutti i sottoinsiemi di Ω possono essere considerati eventi: da un punto di vista matematico quando si determina la probabilità di un certo evento in maniera coerente questi devono soddisfare delle regole sulle operazioni elementari la fra insiemi e le operazioni di complementazione e unione numerabile della sigma algebra sono ideali per definirne la probabilità. Da questo deriva che non tutti i sottoinsiemi di Ω sono eventi ma solo quelli che appartengono ad una σ-algebra. ue an

Em 2 L’insieme delle parti di Ω è un “calderone” di sottoinsiemi dello stesso. Se Ω è costituito da k eventi elementari allora avremo che l’insieme delle parti sarà composto da 2^k elementi considerando che ciascun elemento può essere inserito o meno in ciascuna parte (ho infatti due alternative).

Em 3 Una successione si dice numerabile se pur avendo termini infiniti posso dire quali di questi viene prima e quale viene dopo.

La particolare struttura di sottoinsieme di Ω (Sigma algebra), cioè la chiusura all’unione numerabile e alla complementazione, ha una conseguenza: la chiusura rispetto all’intersezione.

Per poter dimostrare la precedente affermazione partiamo dalle leggi di De Morgan:

• C c c Prima legge - (A B) = A B; ⊙ ⊗
• C c c Seconda legge (*) - (A B) = A B. ⊗ ⊙

Dati due eventi A e B, poiché la σ-algebra è chiusa rispetto alle operazioni di unione e di complementazione, apparterranno ad essa la loro unione e la loro negazione, ma se la negazione A c c B e il complemento di quest’ultimo evento appartengono alla σ-appartiene ad allora anche A ⊙ A c c c c c B | (A B ) = A B (*). algebra. Da ciò consegue che se A ∈ ⊙ ⊙ ⊗

Considerando solo la σ-algebra così come l’abbiamo definita, ragioniamo solo su eventi come quello dell’estrazione di una pallina di un dato colore. È necessario pertanto cominciare a ragionare su sottoinsiemi della retta reale, ed è per questo che si introduce il concetto di σ-algebra di Borel. 4

1.5 σ-algebra di Borel

Consideriamo Ω = (-∞, +∞) (è la retta dei numeri reali, è qualsiasi punto che si trova tra -∞ e ∞) e supponiamo di voler costruire una σ-algebra (una classe di sottoinsiemi di Ω) che contenga determinati insiemi.

Abbiamo visto che già nel discreto possiamo avere più σ-algebra (più o meno piccole), immaginiamo ora di volere una σ-algebra piccola ma che contenga degli insiemi che si possono misurare in termini di probabilità, tale σ-algebra deve contenere tutti gli intervalli da -∞ ad x aperti - (-∞,x) x R. La σ-algebra così costruita deve rispettare le regole valide per queste classi ∈ d’insiemi.

Da quest’ultima affermazione si deduce che, poiché vi sono gli insiemi (-∞, x), nella σ-algebra ci saranno anche gli insiemi del tipo (-∞, x] che sono ottenuti come intersezione degli ∞ (-∞, x +1/n)). insiemi del tipo (-∞, x+ 1/n) (⊗ i=1

un at x x + 1/3 x + 1/2 rbpp

Figura 1.5.1 - Intersezione degli insiemi del tipo (-∞, x + 1/n)

Badi Dalla Figura 1.5.1 si ricava che l’intervallo che va da -∞ a x+1/2 lo interseco all’intervallo che va da A -∞ a x+1/3. L’intersezione mi darà l’intervallo più piccolo che è il secondo, procedo così fino ad arrivare all’evento (-∞ x].

Analogamente è dimostrabile che tale σ-algebra contiene anche intervalli ], [x’,x”) e i singoli reali x appartenenti ad R del tipo (x’, x”], [x’,x”

Per dare una definizione rigorosa della σ-algebra di Borel diremo che questa è la più piccola σ-algebra su Ω = (-∞, +∞) che contiene gli intervalli (-∞,x) per x R. ∈

D, la σ-algebra da utilizzare è quella di Da questo ricaviamo che, quando Ω è un sottoinsieme di R ue Borel indicata con B(R^d). an

Em 4 Teoria sviluppata agli inizi del ‘900 e in particolare da Kolmogorov che ha assiomatizzato la probabilità.

1.6 Definizione assiomatica di probabilità - Misura di probabilità

5 Si parla di misura o funzione di probabilità quando, data una qualsiasi funzione d’insieme definita in σ-algebra con valori nell’intervallo [0,1], questa soddisfa i seguenti assiomi:

1° Assioma: Se la probabilità che si verifichi l’evento certo P(Ω) appartiene alla sigma algebra. Tale valore sarà pari ad 1;

2° Assioma: Se 0<P(Ω)<1 per ogni A appartenente alla σ-algebra 6

3° Assioma: Se A è una successione di eventi puntualmente disgiunti e appartenenti alla σ-algebra i allora la probabilità dell’unione per n che va da 1 a +∞ delle A deve essere uguale alla somma delle i probabilità delle Ai.

∑A ∞ ∞ Data la successione A allora P(⊙ A ) = P(A ). ∈ i i i i=1 i=1

Questo assioma deve valere anche per sottoinsiemi finiti mutuamente incompatibili: ad esempio se ho due eventi disgiunti A e B, si avrà che P(AUB) = P(A) U P(B). La probabilità deve essere una funzione σ-additiva (ma anche additiva per un numero finito di eventi).

Da questo emerge che vi sono più misure di probabilità per la stessa σ-algebra.

Esempio: Se estraggo una pallina la probabilità che sia rossa o bianca è la somma delle probabilità che venga estratta quella rossa e la probabilità che venga estratta quella bianca poiché i due eventi sono incompatibili. ti o un at rbpp Badi A la ue an

Em 5 Quella funzione che associa ad ogni insieme un numero. Dalla σ-algebra prendo un insieme e gli do un numero.

Em 6 Si dice degli insiemi sono puntualmente disgiunti se questi sono disgiunti a due a due: dati A e A i j si avrà che saranno disgiunti quando la loro intersezione sarà pari all’∅.

Lezione 2 - 24 settembre 2014

1.7 Conseguenze degli assiomi

Data la definizione assiomatica di probabilità è possibile ricavare le seguenti conseguenze:

1^ conseguenza - Se A e B sono disgiunti allora la P(A B) = P(A) + P(B) ⊙

C) = 1 - P(A) 2^ conseguenza - P(A

Dim: In ogni caso è possibile definire lo spazio campionario come l’unione fra un dato insieme A e c c la sua negazione (Ω = A A ), da ciò deriva che P(Ω) = P(A A ) = 1. Per il terzo assioma, poiché ⊙ ⊙ c c) = P(A) + P(A ) = 1. Di qui deriva la tesi. cvd di due eventi sono incompatibili, avremo che P(A ⊙ A

3^ conseguenza - Legge delle probabilità totali - Se A e B sono due eventi qualunque (non necessariamente disgiunti) allora P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B). ⊙ ⊗

C 1B) . Ciò Dim: Possiamo scrivere l’unione fra due insiemi così come segue: A B = A (A ⊗ ⊙ ⊙ comporta che la probabilità di A B è scritta come la probabilità del secondo membro, P(A B) = ⊙ ⊙ C c B). Osserviamo inoltre che l’evento B= (A B) (A B) dove gli eventi sono P(A) + P(A ⊗ ⊗ ⊙ ⊗ C c B) + P(A B) da cui otteniamo che P(A B) = P(B) - incompatibili fra loro, quindi P(B)=P(A ⊗ ⊗ ⊙ ⊙ P(A B). Sostituendo quindi questa all’espressione precedente si ottiene la tesi. cvd ⊗

Possiamo generalizzare la legge delle probabilità totali considerato non solo due eventi ma n eventi: ti o un

In particolare se ho tre eventi la probabilità della loro unione sarà la seguente: at P(A B C) = P(A)+P(B)+P(C) -P(A B) - P(A C) - P(B C) + P(A B C). ⊙ ⊙ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗

Rbpp 4^ conseguenza - Se l’insieme A B (se A è contenuto propriamente in B) (Figura 1.7.1) allora ⊆ P(A) ≤ P(B).

Badi A Ω A la B ue

Figura 1.7.1 - Quarta conseguenza degli assiomi

An Em 1 C A intersecato B è un sottoinsieme di A negazione, quindi da questo deriva che l’evento A e c l’evento (A B) sono disgiunti. ⊗

C c Dim: B = A (A B), poiché i due eventi sono incompatibili avremo che P(B) = P(A) + P (A ⊙ ⊗ ⊗ B) per il secondo assioma tale quantità è positiva (0<P<1) quindi P(B) è pari a P(A) più un valore positivo. cvd

1.8 Definizione di probabilità non matematica

Definizione classica

La probabilità è il rapporto fra numero di casi favorevoli all’evento di cui calcoliamo la probabilità e numero di casi possibili purché tutti siano ugualmente probabili.

Esempio: Estraiamo la carta da un mazzo e calcoliamo la probabilità che sia una carta di spade - 10/40.

Tale definizione è stata largamente criticata, prima di tutto perché la definizione di probabilità entra a monte quando si cerca di spiegare cos’è essa stessa. In secondo luogo nulla ci è detto riguardo alla metodologia utilizzata per calcolare la probabilità quando i casi non sono equamente probabili.

Definizione frequentista

Secondo la definizione frequentista la probabilità di un evento è legata alla frequenza relativa (limite della frequenza relativa) con cui esso si verifica in una serie ripetuta di prove nello spazio casuale.

Questa definizione è conseguenza della Legge dei grandi numeri o Legge empirica del caso, secondo la quale in una successione di prove effettuate tutte nelle stesse condizioni, la frequenza con la quale si verifica un evento si avvicina alla probabilità dello stesso al crescere del numero delle prove.

Tuttavia questa definizione non ci permette di definire la probabilità per eventi ti che non si possono ripetere per un numero elevato di volte. o un

Definizione soggettiva

La definizione soggettiva è una definizione assiomatica che pone enfasi sul poter assegnare la rbpp probabilità ai diversi eventi in maniera coerente alle regole mentali che ci poniamo.

1.9 Probabilità condizionata

Badi A La maggior parte delle volte quando calcoliamo la probabilità di un dato evento, questa va sempre intesa come subordinata ad un dato set di informazioni.

Per tale ragione è opportuno definire la probabilità condizionata, vale a dire la probabilità che un dato evento E si verifichi sapendo che si è già verificato un altro evento H (qualora H non si verifichi l’evento E perde di significato).

In la termini matematici la probabilità condizionata, dato P(H)>0, sarà pari al rapporto fra la probabilità che si verifichino contemporaneamente l’evento E e l’evento H e la probabilità che si verifichi ue l’evento H: an

Ovviamente, poiché sappiamo che l’evento H si verificherà, lo spazio campionario non è più Ω ma Em sarà pari ad H e allo stesso tempo la probabilità dell’evento certo non è pari ad uno ma è pari a P(H).

Dalla definizione di probabilità condizionata è intuitivo determinare che la probabilità dell’intersezione fra i due eventi E ed H è pari al prodotto fra la probabilità condizionata e la probabilità (marginale) dell’evento H (regola del prodotto):

Questa relazione è valida anche quando P(H) è pari a zero, ciò poiché E H è contenuto in E quindi ⊗ necessariamente se P(H) è uguale a zero anche P(E H) sarà pari a zero. ⊗

Gli eventi E ed H giocano un ruolo simmetrico quindi è facile definire la probabilità di H dato E:

Tenendo conto di quest’ultima definizione e di quella precedente, avremo che:

Questa fattorizzazione (scomposizione di P(E H)) è detta anche legge delle probabilità composte. ti ⊗