Probabilità e Calcolo combinatorio

Matematica e Statistica per Scienze Biologiche: probabilità, calcolo combinatorio. A.A. 2021-2022

Matematica e Statistica per Scienze Biologiche Probabilità Calcolo combinatorio. A.A. 2021-2022

Probabilità e calcolo combinatorio

Applicazione numerica

In un lotto di biscotti, di 50 confezioni in scatole rigide, si trovano 5 scatole che sono esternamente uguali alle altre ma che, per errore della macchina confezionatrice, sono vuote. Vogliamo calcolare la probabilità che, estraendone 6 a caso, fra queste ve ne siano:

• 2 vuote;
• 3 vuote;
• Nessuna vuota.

Dobbiamo innanzi tutto determinare quanti sono i possibili modi di estrarre 6 scatole da un gruppo di 50; poiché l’ordine di estrazione non conta e non ci possono essere scatole che compaiono due o più volte, si tratta di determinare le combinazioni semplici di 50 elementi a gruppi di 6:

C_50,6 = ⁽⁵⁰⁾⁄₍₆₎ = ^{50 · 49 · 48 · 47 · 46 · 45}⁄_6! = 15890700

Ricordiamo che

⁽ⁿ⁾⁄_(k) = ^{n(n–1)...(n–k+1)}⁄_k!

o anche

⁽ⁿ⁾⁄_(k) = ^n!⁄_k!(n–k)!

Lo spazio campionario Ω è costituito quindi da 15 890 700 elementi.

Per determinare le probabilità richieste, dobbiamo individuare il numero dei casi favorevoli agli eventi considerati.

a. Estrazione di 2 scatole vuote

a. Poiché le confezioni estratte sono 6, l’evento prevede che ce ne siano 2 vuote e 4 piene; il numero di casi favorevoli è quindi il prodotto delle combinazioni semplici di 5 elementi, tanti quante sono le scatole vuote totali, a gruppi di 2, con le combinazioni semplici di 45 elementi, tanti quante sono le scatole piene totali, a gruppi di 4:

C_5,2 · C_45,4 = ⁽⁵⁾⁄₍₂₎ · ⁽⁴⁵⁾⁄₍₄₎ = ^{5 · 4}⁄_2! · ^{45 · 44 · 43 · 42}⁄_4! = 1489950

La probabilità dell’evento è allora ^1489950⁄_15890700 = 0,0937......, cioè circa del 9,4%.