Principio dei lavori virtuali - parte 4

Principio dei lavori virtuali

Se in una trave vi sono diversi carichi di diversa origine (esteriori, piezometri, ecc...), il metodo più opportuno per risolvere tale struttura è il "metodo dei lavori virtuali" e non della linea elastica, che avrebbe una risoluzione più complessa. Questo metodo è utilizzato per strutture isostatiche (ovvero le iperstatiche vengono rese lo assorbendo un grado di vincolo) e serve a calcolare gli spostamenti in alcuni punti della trave (per determinare tensioni).

Sistema spostamenti e deformazioni (SD)

Il sistema spostamenti e deformazioni (SD) è un sistema di campi di spostamento e di deformazione, definiti nella frontiera come:

• I campi siano regolari nel dominio di definizione (continui e differenziabili).
• I campi siano limitati intensità (potenti di spostamenti e deformazioni infinitesimali).
• Spostamenti e deformazioni siano fra loro concorrenti (ovvero legati alle equazioni di congruenza).

Osservazione, riguardo questo sistema SD: Se la struttura è un corpo rigido, le deformazioni saranno tutte identicamente nulle e gli spostamenti si ridurranno ad un campo di spostamento rigido infinitesimo.

Sistema carichi e sollecitazioni (CS)

Il sistema carichi e sollecitazioni (CS) è un sistema di carichi distribuiti/concentrati (di tipo meccanico) e di caratteristiche della sollecitazione (C.d.S.).

Principio dei lavori virtuali

Se in una trave vi sono diversi carichi di diversa origine (estensuone, flessione, ecc...), il metodo più opportuno per risolvere tale struttura è il "Metodo dei lavori virtuali" e non della linea elastica, che avrebbe una risoluzione più complessa. Questo metodo è utilizzato per strutture isostatiche (ovvero le iperstatiche vengono rese io assumendo un grado di vincolo) e serve a calcolare gli spostamenti in alcuni punti della trave (per determinare tensioni).

1. Il sistema Spostamenti e Deformazioni (SD) è un sistema di campi di spostamento e di deformazione, definiti nella struttura come:

SD: {W(z), V(z), ϕ(z), θ(z); ε(z), κ(z), δ(z), γ(z)} qualunque purché:

• I campi siano regolari nel dominio di definizione.
• I campi siano infinitesimi.
• Spostamenti e deformazioni siano tra loro concorrenti.

Osservazione, riguardo questo sistema SD: Se la struttura è un corpo rigido, le deformazioni saranno tutte identicamente nulle e gli spostamenti si ridurranno ad un campo di spostamento rigido infinitesimo.

1. Il sistema Carichi - Sollecitazioni (CS) è un sistema di carichi distribuiti/concentrati (di tipo meccanico) e le caratteristiche della sollecitazione (C.d.S.).

CS: {Pi, Fi, mk, mMe, p̅(z), q̅(z), c̅(z), m̅(z), N(z), T(z), H(z), Π(z)} Carichi Concentrati / Distribuiti Qualunque porzione:

• Equilibrato (devono valere le ECS per tutta la struttura, le equazioni indefinite di equilibrio e le condizioni sui salti delle caratteristiche della sollecitazione in corrispondenza dei carichi concentrati).

Osservazione per il sistema (_CS)(_SD): I due sistemi non hanno alcuna relazione tra loro se non il fatto di essere definiti sulla stessa struttura (hanno in comune solo la struttura).

Il lavoro virtuale esterno (L_v^est)

È il lavoro compiuto dai carichi del sistema _CS per gli spostamenti (dei rispettivi punti di applicazione) letti nel sistema _SD:

L_v^est = ∑ⁱ P̅ⁱ · δ_i + ∑^s F̅_S · w̅_s + ∑^k m̅_k · θ̅_k + ∑^l m̅²_l · θ̅²_l + ∑(l P̅ · w̅ + q̅ · w̅^y + c̅ · γ̅ + m̅ · δ̅) dz

Osservazione per il lavoro virtuale esterno: Tale lavoro è detto "VIRTUALE" in quanto gli spostamenti del sistema _SD non sono quelli provocati dal sistema _CS e viceversa. I due sistemi sono del tutto indipendenti l'uno dall'altro.

Il lavoro virtuale interno (L_v^int)

È il lavoro che le C.D.S. del sistema _CS, compiono per gli accoppiamenti deformazionali del sistema _SD.

L_v^int = ∫ (N̅ε + T̅γ + M̅κ + H̅τ) dz

Osservazione sul lavoro virtuale interno: Tale lavoro è detto "VIRTUALE" in quanto i sistemi _CS e _SD non sono collegati, per cui le deformazioni di _SD non sono conseguenti alle sollecitazioni _CS e viceversa. Se la struttura è formata da corpi rigidi, le deformazioni sono identicamente nulle e il L_v^int = 0

Principio dei lavori virtuali (PLV)

Il PLV afferma che: Data una struttura e se di essa definito un qualunque sistema S_D purché regolare, infinitesimo e congruente e un qualunque sistema C_S purché equilibrato, il L_v^est è uguale al L_v^int.

L_v^est = L_v^int V S_D congruente, regolare, infinitesimo V C_S equilibrato

Osservazioni sul PLV

1. Questo principio è noto dai tempi di Aristotele, che poi successivamente è stato dimenticato.
2. Per i corpi rigidi L_v^int = 0, l'equazione dei lavori virtuali si riduce a dire L_v^est = 0, ovviamente vale per carpi e spostamento rigidi infinitesimi.
3. Il PLV è strettamente legato all'equilibrio, cioè agli assiomi di Eulero (vale anche l'inverso).
4. Il PLV vale per strutture piane 2D ma anche 3D.
5. Il PLV si stabilisce senza far riferimento ad alcuna relazione costitutiva (è indipendente dal materiale delle travi).

Per il "Principio dei Lavori Virtuali" vale la seguente identità triangolare:

Congruenza Equilibrio ▵ PLV

Se valgono due vertici → vale anche il terzo vertice.

Importante! (Lavori reali)

Poiché i sistemi 3D e CS possono essere qualunque è lecito (ma non necessario per la validità del PIV) assumere quale sistema 3D corrisponde all'equilibrio della realtà, sotto l'azione dei carichi del sistema CS. (Cioè che provoca, che siano dipendenti.) In tal caso i LAVORI non sono più VIRTUALI bensì REALI!

Nella simbologia diciamo da virtuale → reale, 3D → 3D (reale), CS → resta virtuale.

• In genere le strutture sono vincolate o presentano sconnessoni. Spesso conviene (ma non è necessario) che il sistema 3D sia coerente con le implicazioni cinematiche delle condizioni di vincolo e sconnessoni presenti.
• Analogamente può essere conveniente (ma NON necessario) assumere il sistema CS coerente con le implicazioni statiche dei vincoli e sconnessoni presenti.

Se viene effettuata tale scelta, nel lavoro virtuale esterno NON COMPARIRANNO TERMINI dovuti al lavoro delle reazioni vincolari, a meno che non ci siano vincoli ceduoli; in questo caso nel lavoro virtuale ESTERNO compare lavoro della reazione in CS, per il corrispondente cedimento vincolare in 3D.

Esempio: nell'incastro (non avendo forze orizzontali lo spostamento) è _c = 0^Zdν (se applico un cedimento) _CS LE FORZEREATTIVE ^ZREALIONE Σ^Zdν. Se è presente un cedimento si fa il prodotto per il lavoro che compiono le reazioni vincolari note in CS per il cedimento in 3D.

Ricalco il LV^EST = 1 - V_H (-∫_A δ VA) se è presente un collaudo carico rappresentato nel punto H (legato al carico esplosivo) CS SD

LV^INT = ∫ (N̅E̅ + T̅ T̅ + H̅ K̅ + M̅ T̅t̅) dt Cds {N̅, T̅, M̅, T̅t̅} ⇒ N̅, T̅, M̅, T̅t̅ nel sistema CS sono note, poiché calcolate.

In una struttura se SD ha deformazioni e componenti:

R̅ = N̅_EA + dto K̅ = M̅_ES + dtt ₁ nei limiti del comportamento termoelastico.

J̅ = ∫ T_GAγ = q M̅_GJo

Posso quindi esplicitare la deformazione 3D:

LV^INT = ∫₁(N̅_EA + T̅_GA + H̅_EB + q M̅ β_GJo) dz̅ + ∫₁ μ(N̅to + M̅t̅a) dz

Contributo meccanico che verrà sempre negli esercizi

Contributo termico a seconda dell'esercizio