L'eredità dei Pitagorici: numeri, musica e crisi filosofiche

L'arché secondo i Pitagorici

Anche i Pitagorici cercavano l’arché e secondo loro il principio di tutto erano i numeri e i rapporti fra i numeri. L’arché è il numero, tutto è fatto di numeri, di rapporti, che se sono armonici portano la vita, se non lo sono portano la morte. Non sappiamo bene da dove venga questa idea.

Musica e numeri

I Pitagorici hanno studiato anche la musica e i rapporti di armonia fra le note. La musica è stata una parte molto importante dei loro studi. Avevano individuato i rapporti fra le note, toni, semitoni, accordi maggiori e minori … Studiando la musica e gli strumenti musicali diventa evidente come anche qui tutto sia regolato da rapporti numerici, sia nelle note che per esempio nella vibrazione delle corde etc… Vanno quindi a pensare che tutto si basi su questi rapporti.

Concezione dei numeri

Ovviamente le scoperte dei Pitagorici in ambito matematico sono alla base della matematica come la intendiamo noi e noi condividiamo la loro idea per cui la realtà si basi su rapporti fra numeri. È chiaro però che il concetto di matematica a cui fanno riferimento non è del tutto uguale al nostro e che noi non pensiamo ai numeri nello stesso modo in cui lo facevano loro. Per i Pitagorici infatti il numero non è ancora un concetto astratto, è un qualcosa di concreto, fisico, reale, materiale. Ci vuole del tempo prima che si arrivi all’idea di numero che abbiamo noi (abbiamo detto che loro introducono l’idea di pensiero astratto e di teoria, ma prima che questa idea si affermi in tutti gli ambiti ci vuole del tempo. I Pitagorici alla fine sono una delle scuole più antiche).

Numeri perfetti e imperfetti

In più per i Pitagorici i numeri avevano delle qualità, cose che per noi non esiste. Ma che tipo di qualità ? c’erano numeri perfetti e altri meno perfetti e questo deriva da un modo di pensare tipico dei Greci, ma anche di altri popoli: ciò che è completo, determinato e finito è buono, ciò che non lo è, che è indeterminato, infinito o a cui manca qualcosa è imperfetto e spaventa. Sulla base di questa idea facevano una distinzione fondamentale, quella fra pari e dispari. I dispari non possono essere divisi (loro infatti consideravano solamente i numeri naturali) e quindi costituiscono un’unità forte, indivisibile. Sono perciò positivi. I pari invece possono essere divisi, quindi sono un’unità debole e sono meno positivi (anche se comunque erano numeri, e quindi alla base del mondo, perciò non erano completamente negativi). I dispari erano perfetti, migliori. Poiché i numeri stavano alla base di tutto a loro si faceva riferimento per descrivere tutti gli altri elementi del mondo: i maschi per esempio corrispondevano al dispari, ed erano quindi perfetti, mentre le femmine corrispondevano al pari ed erano quindi imperfette.

Rappresentazione dei numeri

Loro rappresentavano i numeri con dei pallini perché li intendevano come entità fisiche, concrete, e dotate quindi di una forma e questi pallini avevano una disposizione precisa (si parla di aritmogeometria) perciò ad ogni numero si faceva corrispondere una figura (le forme e la geometria hanno sempre suscitato interesse e fascino nei filosofi, anche successivi). Per loro il 10 era il numero perfetto e veniva detto “tetraktis”. Era perfetto per via della sua rappresentazione, che era un triangolo equilatero. In più conteneva lo stesso numero di pari (2,4,6,8) e di dispari (3,5,7,9). L’1 non era considerato un dispari, ma veniva detto “parimpari” perché se lo aggiungi a un pari dà un dispari, se lo aggiungi a un dispari dà un pari. Era la quantità minima per determinare pari e dispari. Questa idea di numero uno testimonia anche il loro modo di vedere la matematica, per aggiunta, accumulazione, e sottrazione. Non per nulla lo strumento del matematico era l’abaco: per loro le quantità sono sempre qualcosa che sposti, togli e aggiungi.

Assenza dello zero

Lo zero non c’era, bisogna aspettare che arrivi nella cultura occidentale dalla cultura indiana. È stata una rivoluzione importantissima che ha portato poi all’utilizzo del sistema metrico decimale (che viene adottato ufficialmente con la rivoluzione francese). Per noi lo zero è molto importante soprattutto perché il nostro sistema numerico è basato sulla posizione delle cifre, ma per loro questo non valeva.

Problemi con i numeri irrazionali

Tuttavia nella loro idea dei numeri c’erano alcune questioni che ponevano dei problemi: le divisioni, perché a furia di dividere si arriva al nulla, non c’è più niente, e in particolar modo se si usano solo i naturali. In più non avendo neanche i numeri relativi molte operazioni non erano possibili. In particolare ad un certo punto si manifestò un problema che determinò una crisi profonda: la scoperta dei numeri irrazionali con il teorema di Pitagora. Si scopre che esistevano rapporti non misurabili e questo è un grosso problema in un mondo in cui tutto era numero e tutto era misurabile. Inizialmente pensavano al teorema di Pitagora solamente con le terne pitagoriche, e in quel caso le misure dei lati sono sempre numeri naturali (poiché erano gli unici che loro concepivano), ma poi scoprono che c’erano figure regolarissime in cui alcuni elementi non erano misurabili. Per esempio la diagonale di un quadrato di lato 1 misura √2. Questa scoperta determinò una profonda crisi, a cui si aggiunsero in molti casi anche difficoltà politiche (essendo filo aristocratici infatti quando i democratici salivano al potere dovevano spostarsi). Si metteva in discussione l’idea di numero come misura del mondo, e minava la loro idea di equilibrio e armonia. Per loro tutto il mondo è numero e se esistono numeri inconcepibili (irrazionali nel senso che non possono essere maneggiati con la ragione. Loro infatti concepivano l’infinito per accumulazione e per sottrazione e quindi non riescono a gestire gli irrazionali. Anche per noi sono numeri incalcolabili ma noi riusciamo a gestirli e ad operare con essi considerandoli come insiemi e non come sequenze infinite di decimali. Anche il simbolo stesso di radice è legato al nostro concetto di infinito. I greci si fermavano di fronte all’infinito) tutta questa concezione crolla. Fu un profondo dramma e ci fu il divieto di diffondere la scoperta fuori dalla scuola. Secondo la tradizione il primo che ne ha parlato venne ucciso.

Crisi e soluzioni

Ovviamente era impensabile evitare il problema o accettare che le cose stessero così: bisognava trovare una soluzione. Del resto la filosofia avanza per problemi e l’unico modo per andare avanti è trovare una soluzione, una spiegazione. Non si poteva dire: va beh è così, accettiamolo. Se c’è un problema per la filosofia si può solo trovare una spiegazione.