Pi greco: storia, mito e approccio didattico nel liceo scientifico P.N.I. e Brocca

Pi greco – storia e mito di un numero antico

Anna Cristina Mocchetti

Il lavoro che presento si inserisce nei programmi ministeriali del liceo scientifico P.N.I. e Brocca triennio; si riferisce al tema 1 (lunghezza della circonferenza e area del cerchio), ma può anche essere ritrovato nel tema 7 (il problema della misura).

Si svolge in momenti distinti, ma strettamente collegati, condotti con metodologie diversificate affinché gli alunni siano partecipi dello sviluppo del loro apprendimento.

I° momento: lezione di geometria

Contenuti

• Problema della ricerca del lato del poligono circoscritto ad una circonferenza, noto il lato del poligono inscritto avente lo stesso numero di lati.
• Problema della ricerca del lato del poligono inscritto avente numero di lati doppio di quello dato.
• Ricerca dei perimetri e delle aree dei poligoni regolari inscritti e circoscritti.

Prerequisiti

• Conoscere la definizione di poligono inscritto e circoscritto ad una circonferenza.
• Conoscere la definizione di poligono regolare.
• Conoscere le proprietà dei poligoni regolari.
• Saper determinare la misura del lato del triangolo equilatero inscritto.
• Saper determinare la misura del lato del quadrato inscritto.
• Saper determinare la misura del lato del decagono regolare inscritto.
• Conoscere i teoremi di Euclide e il teorema di Pitagora.
• Conoscere la definizione di retta tangente ad una circonferenza.
• Conoscere le proprietà delle corde di una circonferenza.
• Saper individuare dati e obiettivo di un problema.
• Saper usare i teoremi di Euclide e di Pitagora.
• Saper costruire la procedura risolutiva di un problema.

Obiettivi

Sapere Saper fare

Conoscere le dimostrazioni che conducono alla soluzione dei problemi 1 e 2. Applicare le formule trovate per la soluzione di semplici problemi.

Metodologia

Lavoro di gruppo guidato dall’insegnante che, dopo aver enunciato il problema e guidato la costruzione della figura, segue e coordina gli interventi degli allievi per la stesura della procedura risolutiva e il conseguente raggiungimento dell’obiettivo.

Tempi

Lo svolgimento di tale argomento è previsto in 3 unità orarie compresa la correzione del lavoro assegnato per casa.

Sviluppo dei contenuti

Problema 1

In una circonferenza di raggio unitario è inscritto un poligono regolare di n lati; indicata con l_n la misura del suo lato, si vuole determinare la misura L_n del lato del poligono regolare circoscritto avente lo stesso numero di lati.

Dati: OA = OC = 1; Obiettivo: AC = l_n; ? = L_n:

Osservazione preliminare

Tracciamo OH perpendicolare ad AC e la retta tangente in A alla circonferenza; B è il punto di intersezione della retta OH con la tangente. Il segmento AB è la metà del lato del poligono regolare circoscritto avente lo stesso numero di lati del poligono assegnato: L_n = 2 · AB.

OH

A C

B

Figura 1

Procedura risolutiva

• Per determinare AB consideriamo il triangolo rettangolo OAB: per il Teorema di Pitagora si ha: AB² = OB² − OA² (OA è noto).
• Per determinare OB consideriamo il triangolo rettangolo OAB: per il primo teorema di Euclide si ha: OA² = OB · OH, da cui OH = OA² / OB (OA è noto).
• Per determinare OH consideriamo il triangolo rettangolo OHA: per il teorema di Pitagora si ha: OH² = OA² − AH² (OA è noto e AH con AC noto).

Sostituendo i dati e risalendo la procedura si ottiene: L_n = 2 l_n / √(4 − l_n²).

Problema 2

In una circonferenza di raggio unitario è inscritto un poligono regolare di n lati; indicata con l_n la misura del lato, si vuole determinare in funzione di l_n la misura del lato del poligono regolare inscritto avente 2n lati.

Dati: OA = OB = 1; AB = l_n; Obiettivo: ? = l_2n:

Osservazione preliminare

Indichiamo con AB il lato del poligono regolare inscritto di n lati e tracciamo il diametro CD perpendicolare alla corda AB (OD = OC = 1): la corda AD è il lato del poligono regolare inscritto avente 2n lati: AD = l_2n. C

O

A B

H

D

Figura 2

Procedura risolutiva

• Per determinare AD consideriamo il triangolo rettangolo AHD: per il teorema di Pitagora si ha: AD² = AH² + HD² = (AB / 2)² + HD² (con AB noto); HD² = OD² − OH² (OD è noto).
• Per determinare OH consideriamo il triangolo rettangolo OHA: per il teorema di Pitagora si ha: OH² = OA² − AH² (con AH noto).

Sostituendo i dati e risalendo la procedura si ottiene: l_2n² = 2 − √(4 − l_n²) che trasformata con la formula dei radicali doppi diventa: l_2n = √(2 − 2 √(1 − l_n² / 4)).

Esercitazione assegnata come compito a casa

Problema 3: Dato un poligono regolare di n lati inscritto in una circonferenza di raggio unitario, indicato con l_n il suo lato, determinarne perimetro e area.

Problema 4: Determinare in funzione del lato l_n del poligono regolare inscritto di n lati, perimetro e area del poligono regolare circoscritto, avente lo stesso numero di lati.