Pi greco - Analisi

Pi greco

Perimetri dei poligoni regolari inscritti in una circonferenza

( )

2 p

Sia A l’insieme dei perimetri dei poligoni regolari inscritti in una circonferenza di raggio r. Sia la misura del

n

≥

n 3 l

perimetro del poligono regolare di n lati ( ) inscritto nella circonferenza di raggio r. Sia la misura del lato di

n

( ) ( ) =

2 p 2 p nl

perimetro . Ovviamente .

n

n n −

5 1

= = = =

l 3 r l 2 r l r l r

l

La misura si ottiene con metodi elementari soltanto in pochissimi casi: ; ; ; .

10

3 4

n 6 2

<

l l

È immediato mostrare che . Si tratta di una conseguenza

2 n n

banale delle proprietà dei triangoli e del fatto che gli angoli

≥

n 4

interni dei poligoni regolari sono ottusi se .

l l

La misura è esprimibile per mezzo della misura .

2 n n

= =

AB l AM l

Posto e , si nota che

2

n n ( ) 2

= + = + −

2 2 2 2

Relazione tra le misure

AM AH MH AH OM OH

ossia 2

 

2 2

l l

 

= + − −

2 2

n n

l r r

2 n  

4 4

 

da cui  

l l

= − − = + − −

2 4 2 2 n n

 

l 2 r 4 r r l r 1 1 . I passaggi

 

2 n n 2 r 2 r

 

seguono dalla nota formula dei radicali doppi.

( )

2 p n

A quale valore tende allora il rapporto , al crescere di n? Da quanto dimostrato in precedenza si ottiene

2 r ( ) ( )

 

  2 p 2 p

l l 1 1

( )  

= ⋅ = ⋅ + − − = ⋅ + − −

n n n n

 

2 p 2 n l 2 n r 1 1 2 n r 1 1

 

2 n  

n

2 2 r 2 r n 2 r n 2 r

   

( ) ( ) ( )

 

2 p 2 p 2 p

1 1

 

= + − −

2 n n n

n 1 1 .

e quindi  

2 r n 2 r n 2 r

 

( )

2 p n

A quale valore tende allora il rapporto , al crescere di n?

2 r

Si può ipotizzare che tutte le successioni tendano per difetto a uno stesso

valore, perché al crescere del numero dei lati ciascuna successione di

contorni di poligoni regolari si avvicina “dall’interno” alla circonferenza.

Perimetri dei poligoni regolari circoscritti

A una circonferenza

Sia B l’insieme dei perimetri dei poligoni regolari circoscritti in una

( )

2 P la misura del perimetro del poligono

circonferenza di raggio r. Sia n

≥

n 3 L

regolare di n lati ( ) circoscritto alla circonferenza di raggio r. Sia n

( ) ( ) =

2 P 2 P nL

la misura del lato di perimetro . Ovviamente .

n

n n

L l

si ottiene dalla misura di utilizzando una proporzione opportuna.

La misura n n =

AB : CD OM : ON

I triangoli OAB e OCD sono simili, quindi vale la proporzione .

⋅ l r

Relazione tra le misure

AB ON

= = n

CD

Allora ossia .

L

n

OM 2

l

−

2 n

r 4 −

2 3 2 25 10 5

= = = =

L 2 3 r L 2 r L r

Immediatamente si ottiene: ; ; ; .

L r

3 4 6 10

3 5

<

Confronto tra i perimetri

L L

È immediato mostrare che . La proprietà è vera per i poligoni regolari inscritti e i poligoni regolari circoscritti

n n

2

sono simili ai corrispondenti poligoni regolari inscritti.

L L

La misura è esprimibile per mezzo della misura .

n n

2

In figura i triangoli rettangoli OMB e PDB sono simili:

pertanto = =

DB : OB BP : MB PD : OM ,

( )

+ − ⋅

2 2

Calcolo del perimetro circoscritto

OM MB OP OM

⋅

BP OM

= =

PD

da cui , ossia

MB MB

 

2

L

 

+ −

2 n

r r r

 

4

 

L =

2 n .

L

2 n

2    

2 2

L L

   

+ − + −

2 n n

4 nr r r 2 nr 1 1

   

2

4 4 r

   

( ) ( ) = = =

2 P P nL

2 2

Il perimetro è pertanto e infine

2 n

2 n 2 n L L

n n

2 4 r

( ) 2

 

2 P

1

2 + −

L  

n

1 1

+ −

n  

( ) 1 1 2 r

2

n

P

2  

2

4 r

= =

n

2 2 n 2 n .

( )

L P

2

2 r 1

n n

2 r n 2 r

( )

2 P n , al crescere di n?

A quale valore tende allora il rapporto 2 r

Si può ipotizzare che tutte le successioni tendano per eccesso a uno stesso valore, perché al crescere del numero dei lati

ciascuna successione di contorni di poligoni regolari si avvicina “dall’esterno” alla circonferenza.

Studio della successione dei rapporti tra i perimetri dei poligoni

Regolari inscritti in una circonferenza e il diametro della medesima

Studio della successione dei rapporti tra perimetri dei poligoni

Regolari circoscritti a una circonferenza e il diametro della medesima

Lo studio è condotto utilizzando il software Derive.

Per poter condurre lo studio è necessario saper costruire funzioni con Derive, saper gestire istruzioni condizionali con

Derive, conoscere il comando VECTOR di Derive, saper costruire successioni ricorsive con Derive: queste abilità sono

sinteticamente descritte nel documento di Derive “Istruzioni condizionali e successioni ricorsive”.

Lo studio della successione dei rapporti tra i perimetri dei poligoni regolari inscritti in una circonferenza e il diametro

della medesima è condotto nel documento di Derive “Rapporto perim inscritti e diametro”.

Lo studio della successione dei rapporti tra i perimetri dei poligoni regolari circoscritti in una circonferenza e il

diametro della medesima è condotto nel documento di Derive “Rapporto perim circoscritti e diametro”.

La successione dei rapporti tra i perimetri dei poligoni regolari inscritti in una circonferenza e il diametro della

medesima si presenta, quando se ne valutano gli elementi espressi in forma approssimata, come una successione

monotona non decrescente.

La successione dei rapporti tra i perimetri dei poligoni regolari circoscritti a una circonferenza e il diametro della

medesima si presenta, quando se ne valutano gli elementi espressi in forma approssimata, come una successione

monotona non crescente.

Gli andamenti dei valori numerici approssimati, al crescere del numero dei lati del poligono, appaiono convergere,

rispettivamente per difetto e per eccesso, ad uno stesso valore limite. Ciò è in accordo con il significato geometrico del

problema: il valore limite sarà il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e la lunghezza del diametro.

Un matematico non può accontentarsi di notare un andamento, in accordo con il suo intuito, di una successione di

approssimazioni: egli deve dimostrare che le due successioni tendono allo stesso valore.

Per poter affrontare i passaggi della dimostrazione con la necessaria chiarezza è opportuno approfondire

2

preventivamente un problema differente ma più semplice: la definizione del numero irrazionale .

Insiemi contigui di numeri razionali

Lo studio è condotto utilizzando il software Derive, nel documento “Radice di due 2011”.

Due insiemi contigui di numeri

1) < ≥ < ≥

l l n 3 L L n 3

per tutti gli e che per tutti gli , osservando che la funzione seno

È facile dimostrare che + +

n 1 n n 1 n

e la funzione tangente sono funzioni crescenti dell’angolo acuto.

π π π π

       

= < = = < =

l 2 r sin 2 r sin l L 2 r tan 2 r tan L

Infatti: ; .

       

+ +

+ +

n 1 n n 1 n

       

n n n n

1 1

2) ( ) ( )

< ≥

2 p 2 p n 3

per tutti gli e la dimostrazione della diseguaglianza

La dimostrazione della disuguaglianza +

n n 1

( ) ( )

>

2 P 2 P richiedono invece nozioni di analisi matematica non semplici da giustificare in questa sede.

+

n n 1

Dobbiamo limitarci a quanto già asserito in forma intuitiva nei casi in cui il numero dei lati sia ogni volta raddoppiato.

3) ( )

2 p n

L’insieme A i cui elementi sono i numeri della forma e l’insieme B i cui elementi sono i numeri della forma

2 r

( )

2 P n sono insiemi separati. Infatti i poligoni regolari sono figure

2 r

convesse, ognuno dei poligoni inscritti è contenuto in ciascuno dei poligoni

circoscritti ed è noto che se il poligono convesso X è contenuto nel

poligono convesso Y, allora il perimetro di X è minore del perimetro di Y.

Meno semplice è dimostrare che l’insieme A e l’insieme B sono

indefinitamente ravvicinati.

4) ε

Teorema – Scelto un segmento di misura arbitrariamente piccola, esiste

ε

≥ <

n 3 L

tale che .

sempre un numero naturale n

Dimostrazione – Si costruisca il segmento RS tangente alla circonferenza di

ε

centro O e raggio r nel suo punto medio H. La misura del semento RS ⌢

ε ROS

può essere resa piccola a piacere. Una volta scelto un valore di , sul segmento RS insiste l’angolo al centro .

Segue dal postulato di Eudosso – Archimede che esiste un sottomultiplo n-esimo dell’angolo giro di ampiezza minore

ROS

dell’ampiezza di . Se tale sottomultiplo è rappresentato con il vertice in O e la bisettrice coincidente con la

ε

semiretta OH, esso staccherà sulla tangente alla circonferenza in H un segmento AB di misura minore di . Il segmento

AB, d’altra parte è il lato del poligono regolare di n lati circoscritto alla circonferenza.

5) ( ) ( )

≥ − <

n 3 2 P 2 p 4 L

Teorema – Per qualsiasi si ha: .

n

n n

Dimostrazione – Il poligono regolare di n lati circoscritto alla circonferenza abbia centro O e sia A uno dei suoi vertici.

Il poligono regolare di n lati inscritto nella circonferenza abbia centro O e sia H uno dei suoi vertici. I due poligoni sono

( ) ( ) =

2 P : 2 p OA : OH

simili e tra i rispettivi perimetri e i segmenti OA e OH sussiste la proporzione . Allora

n n

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

− = − − = ⋅ − ⋅

2 P 2 p : 2 p OA OH : OH 2 P 2 p : 2 p 8 OA OH : 8 OH

e anche .

n n n n n n

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

⋅ = < − < ⋅ −

8 OH 2 P 2 p 2 P 2 P 2 p 8 OA OH

Poiché e segue che .

4 n 4 n n − <

OA OH AH

I segmenti OA e OH sono lati di un triangolo OHA e quindi . Pertanto

( )

( ) ( )

− < ⋅ = ⋅ =

2 P 2 p 8 AH 4 AB 4 L .

n

n n

6) ( ) ( ) ε

− <

2 P 2 p 4 L

Si è dimostrato che ; d’altra parte, scelto un segmento di misura arbitrariamente piccola, esiste

n

n n ( ) ( )

ε

≥ < −

n 3 L 2 P 2 p

sempre un numero naturale tale che . Allora la differenza diviene, al crescere di n, di

n n n

misura arbitrariamente piccola. Gli insiemi A e B sono quindi indefinitamente ravvicinati e perciò contigui.

Il numero π

Nell’insieme dei numeri reali esiste l’elemento separatore degli insiemi contigui A e B. Tale numero è tradizionalmente

π.

indicato con il simbolo

Poiché il cerchio è una figura convessa circoscritta a tutti i poligoni regolari in esso inscritti e inscritto in tutti i poligoni

π

regolari a esso circoscritti, si assegna “naturalmente” il valore al rapporto tra la lunghezza della circonferenza e la

lunghezza del suo diametro. In questo modo viene misurata per la prima volta in geometria la lunghezza di una linea

curva. Si dice anche che la circonferenza di raggio r ha una lunghezza uguale a quella di segmento di lunghezza 2πr.

Tale segmento è detto circonferenza rettificata.

L’esistenza di un elemento separatore non fornisce alcuna informazione sulle sue proprietà. In particolare non consente

di sapere se tale elemento è un numero razionale o irrazionale.

π π

Le prime cifre decimali di sono note dall’antichità. Archimede (morto nel 212 a. C.) riuscì a dimostrare che è

10 10

+ + π

3 3

compreso tra e . Lo sviluppo decimale di = 3,1415926535897323846… non mostra alcuna traccia di

71 70

regolarità, ma è noto che ciò non dimostra la sua irrazionalità.

π

La dimostrazione dell’irrazionalità di fu ottenuta nel 1761 da Johann Heinrich Lambert (1728-1777). Egli era riuscito

{ }

∈ ∈

ℚ ℝ ℚ

x \ 0

a dimostrare che, se , allora tan x \ e

π π

∈ ∈

ℚ ℝ ℚ

tan \

viceversa. Poiché , allora e così pure

4 4

π. La dimostrazione di Lambert era incompleta e fu resa

rigorosa da Adrien Marie Legendre (1752-1833); Legendre

π

dimostrò che anche il quadrato di è irrazionale.

Una delle sfide che dall’antichità ha appassionato i

matematici è la quadratura del cerchio, ossia la costruzione

con la riga e il compasso di un quadrato equivalente a un

cerchio di raggio r assegnato. Se, assegnato il segmento di

lunghezza r, si riuscisse a costruire un segmento di

πr,

lunghezza il problema sarebbe risolto. La figura mostra come costruire il segmento CH, medio proporzionale tra

πr,

AH, di misura e HB, di misura r. CH è il lato di un quadrato equivalente al cerchio di raggio r.

π πr

Il fatto che sia irrazionale non pone ostacoli di per sé alla costruzione del segmento a partire dal segmento r. Il caso

2r

della costruzione del segmento mostra che è possibile costruire segmenti di misura irrazionale.

È stato dimostrato il seguente risultato: “La

costruzione con la riga e il compasso, a partire da un

segmento r, di un segmento di misura kr è possibile

se e soltanto se k è un numero razionale oppure k è un

numero irrazionale ottenuto eseguendo un numero

finito di operazioni razionali (addizione,

moltiplicazione, sottrazione, divisione) e di estrazioni

di radici quadrate sopra numeri razionali”. Per

esempio a partire dal segmento di misura r non è

3 2r ,

possibile costruire il segmento di misura

mentre è possibile costruire il segmento di misura

4 4

2r 2r 2r

. In figura: AB misura r; AC e AD misurano ; AE, che è medio proporzionale tra AB e AD, misura .

Tutti i numeri k, in corrispondenza ai quali si può costruire con la riga e il compasso un segmento di misura kr, a partire

dal segmento di misura r, appartengono all’insieme dei numeri algebrici. L’insieme dei numeri algebrici è l’insieme

delle soluzioni delle equazioni razionali intere a coefficienti interi, ossia delle equazioni della forma

− −

+ + + + + + =

n n 1 n 2 2

…

a x a x a x a x a x a 0

− −

n n 1 n 2 2 1 0 ( )

≠

a 0

essendo n un numero naturale diverso da zero ed essendo a , a , … , a numeri interi . Sono numeri algebrici,

0 1 n 0

∈ ∈

n ℕ ℕ

m n m

per esempio, tutti i numeri del tipo , essendo e : essi infatti sono soluzione dell’equazione

0

− =

n 0

x m , che è del tipo introdotto.

Esistono numeri irrazionali non algebrici, detti numeri trascendenti. L’esistenza di tali numeri fu dimostrata nel 1844 da

Joseph Liouville (1809-1882) che costruì una intera classe di numeri di questo tipo. I numeri irrazionali trascendenti

sono molto più “numerosi” dei numeri irrazionali algebrici: si è dimostrato che l’insieme dei numeri irrazionali

algebrici è numerabile, mentre l’insieme dei numeri irrazionali trascendenti ha una potenza superiore alla potenza del

numerabile. π.

La scoperta dei numeri trascendenti non fece che infiammare nuovamente le discussioni sulla natura di Finalmente

π

nel 1882 Ferdinand von Lindemann (1852-1939) riuscì a dimostrare che è trascendente, utilizzando tecniche di

calcolo sviluppate nella matematica dei numeri complessi.

π π

La dimostrazione della trascendenza di escluse la possibilità che fosse algebrico e pose fine al problema della sua

costruzione con riga e compasso, che è impossibile, come è impossibile la quadratura del cerchio con metodi

elementari, ossia utilizzando una riga per tracciare segmenti, senza far uso di unità di misura, e un compasso per

tracciare circonferenze, senza far uso di unità di misura. Sono noti fin dall’antichità classica metodi non elementari,

come quello della curva quadratrice di Dinostrato, che consentono di ottenere la quadratura del cerchio.

π.

L’unica sfida rimasta aperta riguardava la determinazione delle cifre decimali di Alla fine del secolo XIX Shanks

π a

determinò con 707 cifre decimali. Nel 1945 Ferguson si accorse di un errore di Shanks alla 527 cifra e raggiunse il

record di 808 cifre decimali con una delle prime calcolatrici da tavolo. Per i matematici era finito l’incubo degli

interminabili calcoli a mano. Nel 1948 Smith e Wrench arrivarono alla millesima cifra. L’avvento del computer portò a

un incremento vertiginoso delle cifre decimali: il primo milione fu determinato nel 1973; nel 2002, un calcolatore

⋅ 12

1, 2411 10

dotato di 1 TB di memoria, dopo circa 600 ore di lavoro ha raggiunto le cifre decimali. Oggi determinare

un numero sempre maggiore di cifre decimali non ha alcuna utilità, se non quella di mettere alla prova i calcolatori.

π.

In 81.6 s con Derive 6 si sono determinate le prime 100000 cifre di Sono riportate qui di seguito.

3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421

170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489

549303819644288109756659334461284756482337867.