De gravitatis centro, definizioni implicite attraverso i postulati

Università degli Studi di Roma Tor Vergata

Facoltà di Scienze MM. FF. NN.

Corso di Laurea in Fisica

De gravitatis centro

Definizioni implicite attraverso i postulati

Candidato: Relatore:

Matteo Veglianti Prof. Lucio Russo

Anno Accademico 2014-2015

Sommario

La presente tesi mostra che in epoca ellenistica era diffuso il metodo di definizione implicita degli enti di una teoria nei postulati della teoria stessa.

Questo tipo di definizioni sostituiscono quelle standard (esplicite) almeno in due casi:

• Quando gli enti da definire sono fondamentali, ossia gli enti base della teoria per cui il loro significato non può richiamare altri enti ancora più semplici (come nel caso della retta negli Elementi di Euclide);
• Quando la parola utilizzata per definire l'ente è una parola della lingua ordinaria per cui i postulati attuano uno sfrondamento del suo significato per adattarla a descrivere l'ente della teoria (come nel caso dei raggi visuali nell'Ottica di Euclide).

Successivamente studieremo la definizione di centro di gravità, assente esplicitamente nell'opera di Archimede, ma presente in diversi autori successivi. Vedremo che si possono avanzare due ipotesi a riguardo:

• Si può pensare che la definizione esplicita data da Archimede sia andata perduta;
• Si può pensare che Archimede avesse definito implicitamente il centro di gravità attraverso i postulati.

Infine porteremo argomenti a favore di entrambe le ipotesi e vedremo che la questione è ancora aperta.

Indice

1 Formulazione del problema 1

1.1 Definizioni implicite 1

1.1.1 Euclide 1

1.1.2 Archimede 4

1.2 Centro di gravità 7

1.3 Possibili risposte 11

2 Alla ricerca dell'opera perduta 13

2.1 Cronologia delle opere di Archimede 13

2.2 Opera perduta 15

2.3 Autori successivi 16

2.3.1 Erone 17

2.3.2 Pappo 18

3 Definizione implicita 22

3.1 Proposizione IV 22

3.2 La legge della leva 23

3.3 Critica di Mach 26

3.4 Risposta alla critica 28

3.5 Archimede nel terzo millennio 30

Conclusioni 35

A Ottica di Euclide: i postulati 39

B Quadratura della parabola: proposizione VI 40

Bibliografia 42

ii

Capitolo 1

Formulazione del problema

1.1 Definizioni implicite

1.1.1 Euclide

Di che colore è una linea retta?

Qualsiasi persona che abbia studiato un minimo di matematica è consapevole che questa domanda non ha senso in quanto una linea retta è un'astrazione geometrica che prescinde dal colore. Allo stesso modo una linea retta è priva di spessore. Se si apre un qualsiasi libro di geometria, alle prime pagine si troverà scritto che esistono alcuni enti geometrici cosiddetti fondamentali che non si possono definire, ossia dal significato evidente ed immediato, tra cui in particolare punto, retta e piano. Viceversa, se si aprono gli Elementi di Euclide, alla prima pagina si troverà scritto:

Un punto è ciò che non ha parti;

Def. 1: una linea è lunghezza senza larghezza;

Def. 2: gli estremi di una linea sono punti;

Def. 3: una linea retta è quella che giace ugualmente rispetto ai suoi punti;

Def. 4: una superficie è ciò che ha soltanto lunghezza e larghezza;

Def. 5: gli estremi di una superficie sono linee;

Def. 6: una superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle sue rette.

Def. 7:

Negli Elementi di Euclide si trovano quindi le definizioni di vari enti geometrici, tra cui il punto, la retta e il piano. Essi sono definiti, però, in modo essenzialista (o platonico), ossia in modo del tutto simile alle definizioni di bene o di giusto che dava Platone.

La scienza tuttavia non usa definizioni essenzialiste in quanto esse sono sterili, cioè non sono in grado di caratterizzare univocamente un ente teorico; la scienza procede per definizioni nominaliste, che riescono a qualificare univocamente un ente geometrico e quindi arricchiscono la terminologia scientifica.

Ogni definizione di questo tipo, però, riconduce il significato di un ente ad altri più elementari. Ci devono essere perciò enti indefiniti ma dal significato evidente a tutti; tra cui il punto, la retta e il piano.

Come mai allora Euclide definisce esplicitamente tali enti? Una risposta molto plausibile è stata trovata qualche anno fa da Lucio Russo: le prime sette definizioni degli Elementi di Euclide sono spurie, non sono cioè opera di Euclide, ma di Erone di Alessandria (I sec. d.C.) e sono state aggiunte come presupposti all'opera di Euclide e nei secoli sono state erroneamente attribuite al grande matematico.

1 [Euc14a], p. 779 1 2

Capitolo 1. Formulazione del problema

Di conseguenza, enti come punto, retta e piano, sono senza una esplicita definizione negli Elementi. Ciononostante, la domanda con cui abbiamo aperto questa discussione continua ad essere priva di senso; cioè nonostante non sia definita esplicitamente la linea retta, ci si accorge che essa non ha né colore né spessore. Ci si può quindi accorgere che qualche proprietà della linea retta traspare nonostante manchi la definizione esplicita. Tali proprietà sono contenute nei postulati:

Post. 1: si può condurre una linea retta da ogni punto ad ogni punto;

Post. 2: si può prolungare senza soluzione di continuità una retta limitata in linea retta;

2 [Rus98] 3

Capitolo 1. Formulazione del problema

Post. 3: dati un punto ed un segmento, si può tracciare il cerchio che ha il punto come centro e il segmento come raggio;

Post. 4: tutti gli angoli retti sono uguali tra di loro;

Post. 5: se una retta che incide su due rette fa minori di due retti gli angoli all'interno e dalla stessa parte, le due rette prolungate illimitatamente incidono dalla parte in cui sono gli angoli minori dei due retti.

3

Ora, poiché nessun postulato parla del colore della retta, nessuna proposizione da essi deducibile potrà contenere alcuna informazione sul colore; tantomeno sullo spessore. La linea retta risulta cioè in qualche modo definita implicitamente dai postulati, nel senso che i postulati attuano una sorta di caratterizzazione del significato delle parole linea retta.

Ci si può chiedere se gli scienziati greci fossero consapevoli del procedimento appena descritto. A tale scopo possiamo cercare altri esempi di definizioni implicite attraverso i postulati.

Nell'opera Ottica dello stesso Euclide viene introdotta la nozione di raggio visuale senza alcuna definizione esplicita, ma i postulati (si veda appendice A) riescono a caratterizzare tale ente, in particolare si deduce che essi sono semirette con origine nell'occhio dell'osservatore; inoltre, poiché in nessun postulato si parla del verso di propagazione dei raggi visuali, esso resta esterno alla teoria dell'ottica e quindi così come la domanda di inizio paragrafo è priva di senso all'interno della geometria, una domanda del tipo: in che verso si muovono i raggi visuali? è altrettanto priva di senso all'interno dell'Ottica.

3 [Euc14a], p. 781

4 [Euc14b], p. 2025 4

Capitolo 1. Formulazione del problema

1.1.2 Archimede

Un altro esempio di definizione implicita nei postulati lo possiamo trovare in Archimede, più precisamente nel trattato Sulla sfera e sul cilindro. In quest'opera Archimede definisce implicitamente il concetto di lunghezza di una curva, almeno nel caso della circonferenza, attraverso i postulati, vediamo quali sono quelli che ci interessano:

Post. 1: vi sono nel piano linee curve terminate, le quali si trovano completamente dalla stessa parte delle rette congiungenti i loro estremi, ovvero non hanno nessun punto nella parte opposta;

Post. 2: chiamo concava dalla stessa parte una linea tale che, presi due punti qualunque su di essa, i segmenti di retta che li congiungono, o cadono tutti nella stessa parte rispetto alla linea, o alcuni di essi cadono nella stessa parte, altri sulla linea stessa, senza però che nessuno cada dall'altra parte;

Post. 3: la minima fra tutte le linee aventi gli stessi estremi è la linea retta;

Post. 4: tra tutte le linee che sono sullo stesso piano e hanno gli stessi estremi, sono disuguali quelle che, essendo ambedue concave dalla stessa parte, o una è tutta compresa dall'altra linea e dalla retta avente gli stessi estremi, o ha una parte compresa [dall'altra linea] ed una parte in comune [con essa]: ed è minore la [linea che è] compresa.

Subito dopo Archimede dimostra due proposizioni che sono la banale conseguenza dei postulati:

Prop. 1: se si inscrive un poligono in un cerchio, il perimetro del poligono inscritto è minore della circonferenza del cerchio (per il post. 3); 5

Capitolo 1. Formulazione del problema

Prop. 2: se si circoscrive un poligono ad un cerchio, il perimetro del poligono circoscritto è maggiore della circonferenza del cerchio (per il post. 4).

5

Di conseguenza i postulati di Archimede definiscono implicitamente la lunghezza di una circonferenza come l'elemento di separazione (usando la terminologia moderna) tra le lunghezze dei poligoni inscritti e circoscritti; nei libri attuali di geometria questa affermazione si dà per scontata senza ricordare il postulato di Archimede.

In effetti in epoca moderna si definisce la lunghezza di una curva almeno in due modi (equivalenti) e di conseguenza il postulato di Archimede diventa un teorema facilmente dimostrabile.

R

Usando un linguaggio estremamente formale, si definisce una curva in come un'applicazione n:

[a; b] → R

γ: [a; b] → R

che sia continua su tutto [a; b] e C∞.

Ora, sia Δ una partizione dell'intervallo [a; b]. Questo significa che [a; b] è suddiviso in sottointervallini, con t₀ = a e t_k = b:

Δ = {[t₀; t₁]; [t₁; t₂]; ...; [t_k−1; t_k]}

Si definisce

l_Δ(γ) = Σ_i=1^k ||γ(t_i) − γ(t_i−1)||

che è ovviamente la lunghezza della poligonale (i cui punti sono γ(t_i), i = 1, 2, ..., k).

A questo punto si può definire la lunghezza della curva in due modi diversi, ma equivalenti:

1:

l(γ) = ∫_a^b ||γ′(t)|| dt,

dove γ′ è il vettore che si ottiene derivando tutte le componenti di γ.

Questa espressione equivale ad affermare che la lunghezza di una curva è il prodotto tra la velocità con cui la si percorre e il tempo impiegato a percorrerla, affermazione familiare a qualsiasi studente di fisica.

2: l(γ) = sup_Δ(l_Δ(γ))

L'estremo superiore è calcolato sull'insieme di tutte le possibili partizioni finite dell'intervallo [a; b]. Questa espressione equivale ad affermare che la lunghezza di una curva è l'estremo superiore delle lunghezze delle poligonali inscritte.

Le due espressioni sono equivalenti nel senso che si può accettare come definizione una delle due e di conseguenza si dimostra che è vera l'altra.

Assumendo per definizione la prima espressione si può dimostrare la seconda nel modo seguente:

Innanzitutto si osservi che se una partizione viene raffinata in una nuova partizione ottenuta aggiungendo ulteriori suddivisioni di ciascun intervallino, allora l_Δ′(γ) ≥ l_Δ(γ). Tale osservazione è analoga al fatto che la lunghezza di una circonferenza viene approssimata per difetto dalla lunghezza di un poligono inscritto e l'approssimazione migliora all'aumentare del numero dei suoi lati.

Ora, su ciascun intervallino [t_i−1; t_i], si ha, per il teorema di Lagrange:

γ(t_i) − γ(t_i−1) = γ′(ξ_i)(t_i − t_i−1)

dove ξ_i è un punto di [t_i−1; t_i]. Per cui:

l_Δ(γ) = Σ_i=1^k ||γ(t_i) − γ(t_i−1)|| = Σ_i=1^k ||γ′(ξ_i)|| |t_i − t_i−1|

Al raffinarsi della partizione questa quantità si avvicina sempre di più all'area del sottografico della funzione ad una variabile reale e la somma tende all'integrale corrispondente. Quindi

sup_Δ(l_Δ(γ)) = ∫_a^b ||γ′(t)|| dt.

Partendo dalla definizione molto formale della lunghezza della curva come l'integrale ∫_a^b ||γ′(t)|| dt, si può quindi dimostrare che la lunghezza della curva è l'estremo superiore delle lunghezze delle poligonali inscritte; ovviamente ciò vale per ogni curva, in particolare per la circonferenza. Come conseguenza la lunghezza di un arco di circonferenza è l'estremo superiore delle poligonali inscritte in esso ed è quindi maggiore della lunghezza della poligonale; viceversa è anche vero che una poligonale circoscritta all'arco di circonferenza sarà più lunga di esso; questo continua ad essere vero anche quando si modificano le poligonali inscritte e circoscritte aggiungendo una suddivisione in più (per esempio se si passa da poligonali formate da 3 segmenti a poligonali formate da 4 segmenti). In definitiva, quindi, sarà vero che la lunghezza della circonferenza è l'elemento di separazione tra le lunghezze dei perimetri dei poligoni inscritti e circoscritti al cerchio; questo mostra come i postulati di Archimede bastino a definire implicitamente la lunghezza della circonferenza.

5 [Arc88b], pp. 73-80 6

Capitolo 1. Formulazione del problema

6 Si può dimostrare anche l'inverso, ossia partendo dalla definizione della lunghezza di una curva come l'estremo superiore della lunghezza di tutte le poligonali inscritte, si può dimostrare che essa risulta uguale all'integrale visto sopra. 8

1.2 Centro di gravità

Affrontiamo in questo paragrafo il problema fondamentale di questa tesi.

Esaminiamo il trattato sull'equilibrio delle figure piane di Archimede; esso è diviso in due libri, di cui il primo è probabilmente la prima opera scritta dal matematico siracusano (vedi paragrafo 2.1). Al primo libro sono premessi sette postulati:

Post. 1: pesi uguali [sospesi] a distanze uguali [dal fulcro] sono in equilibrio e pesi uguali [sospesi] a distanze diseguali [dal fulcro] non sono in equilibrio, ma pendono verso il peso che si trova a distanza maggiore.

Post. 2: Quando pesi [sospesi] a determinate distanze sono in equilibrio, se qualcosa viene aggiunto ad uno solo dei pesi, essi non sono più in equilibrio, ma pendono verso il peso a cui è stato aggiunto qualcosa.

Post. 3: Allo stesso modo, se qualcosa viene tolto ad uno solo dei due pesi, essi non sono più in equilibrio, ma pendono verso quel peso da cui non è stato tolto niente.

Post. 4: Quando figure uguali e simili vengono fatte coincidere, i loro centri di gravità parimenti coincidono.

Post. 5: In figure diseguali ma simili i centri di gravità saranno similmente posti.

Post. 6: Se grandezze [sospese] a certe distanze [dal fulcro] sono in equilibrio, anche altre grandezze uguali ad esse [sospese] alle stesse distanze [dal fulcro] saranno in equilibrio.

Post. 7: In ogni figura il cui perimetro è concavo nella stessa direzione, il centro di gravità è interno alla figura.

7

Mancano in questo libro tutte le definizioni, sicché si comincia a parlare nei postulati di pesi, di essere in equilibrio e di centro di gravità. In particolar modo ci interesseremo di quest'ultimo concetto, fondamentale nella statica.

7 [Arc88c], pp. 397-399 9

Capitolo 1. Formulazione del problema

Esso viene introdotto per la prima volta nel IV postulato e poi usato in tutto il resto dell'opera ed in altre opere successive (in particolare nella Quadratura della parabola e nel II libro di Equilibrio dei piani) senza alcuna definizione. Non sappiamo quindi se Archimede avesse effettivamente definito il centro di gravità o meno ed anche se l'avesse definito, non sappiamo in che modo.

Conosciamo però alcune definizioni di centro di gravità successive ad Archimede, poiché diversi autori se ne sono occupati nelle rispettive opere.

Erone: su Erone di Alessandria si sa ben poco, anche il periodo in cui visse non è ben definito, probabilmente è vissuto durante il primo secolo.

Il libro di meccanica di Erone ci è pervenuto interamente solo nella sua traduzione araba, mentre dell'edizione greca rimangono solo pochi frammenti; esiste anche una versione francese, tradotta dall'arabo nel 1893.