Paniere di metodi matematici - risposte aperte

Risposte aperte paniere di Metodi matematici Economia

Docente: Fanton Clara lOMoARcPSD|8082126 1

Definizione di limite infinito per x che tende ad un valore infinito

Per una funzione f(x): R→R, dare la definizione di limite infinito per x che tende ad un valore infinito.

Per ogni K(cioè >M o <-M), allora (cioè >K o <reale esiste un M, in generale dipende da K, tale che sedi -K).

Definizione di limite finito per x che tende ad un valore infinito

f(x): R→R, dare la definizione di limite finito per x che tende ad un valore infinito.  ,

Per una funzione Limite diche tende ad se per ogni esiste un M, in generale dipende da tale che se x >M (x→)oppure se x < -.M (x→-), allora dista da almeno

Definizione di limite infinito per x che tende ad un valore finito

Per una funzione f(x): R→R, dare la definizione di limite infinito per x che tende ad un valore finito.

,, Per ogni Kmeno di allora .reale esiste un in generale dipende da K, tale che se x dista da

Teorema della permanenza del segno

Enunciare il teorema della permanenza del segno, dandone l’interpretazione grafica.

Se una funzione ,, tende ad un limite finito l non nullo, esiste almeno un intorno del punto per tutti i punti del qualeper(escluso al più il punto ) la corrispondente funzione assume lo stesso segno di .

Teorema dell’esistenza e unicità del limite

Enunciare il teorema dell’esistenza e unicità del limite, con la dimostrazione.

Se una funzioneper , con che può essere un valore finito o infinito, questo è unico.finito

Dimostrazione.

Supponiamo per assurdo che la tesi non sia vera, cioè che la funzione, oltre ad ammettere limite l, ammetta anche limiteper e che sia (sarebbe la stessa cosa supporre che sia ) *

Allora, fissato un numero positivo , dobbiamo poter determinare un intorno ed un intorno di in cui sono) *)verificate rispettivamente le relazioni(in e (in. 

Allora, per tutti i punti che appartengono all'intersezione dei due intorni, entrambe le relazioni sono verecontemporaneamente, qualunque sia il valore scelto per Questo significa che, se esiste anche un solo valore di percui tali relazioni non sono soddisfatte, allora la posizione iniziale dell'esistenza di due limiti distinti non può essere; le due relazioni diventanosostenuta.

Diamo allora a e un valore a nostra scelta, ad esempio diciamo cheeCioè si ha cheQuesta catena di disuguaglianze è però assurda e quindi dobbiamo concludere che il limite è unico.

Si dimostra poi che le relazionisono a due a due incompatibili, cioè che una sola di esse può essere vera.

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Teorema del confronto detto anche dei carabinieri

Enunciare il teorema del confronto detto anche “dei carabinieri”, dandone l’interpretazione grafica.

Consideriamo le funzioni , e e supponiamo che esse valgono le seguenti ipotesi:

• Tutte siano definite nello stesso intervallo eccettuato al più un punto x0 di esso;
• In ogni punto di tale intervallo sia
• Esista il limite delle due funzioni e e sia .

Allora esiste anche il limite di ed è il .

Teorema degli zeri

Enunciare il teorema degli zeri, dandone l’interpretazione grafica.

Il teorema degli zeri, chiamato anche teorema di Bolzano, per le funzioni continue reali, assicura l’esistenza di almenodell’equazione ottenuta eguagliando a zero la funzione, in un intervallo ai cui estremi launa matrice (soluzione)funzione stessa assume valori di segno opposto.

È continua nell’intervallo [a, b] ed agli estremi dell’intervallo (a, b) assume valori oppostiSe cioèallora l’equazione di ammette in (a, b) almeno una soluzione. Dunque sela funzione attraverserà una volta almeno l’asse dell’ascisse.

Teorema dei valori intermedi

Enunciare il teorema dei valori intermedi, dandone l’interpretazione grafica.

Il teorema di Bordeaux, detto anche dei valori intermedi, si applica alle funzioni continue reali ed assicura che èl'immagine di un intervallo contenga tutti i valori compresi tra le immagini degli estremi dell'intervallo.

Secontinua in un intervallo chiuso e limitato [a, b] essa non può passare da un valore all'altro senza assumere, almeno unavolta, tutti i valori intermedi.

In particolare assumerà almeno una volta tutti i valori fra il suo massimo ed il suo minimoche sappiamo esistere per il teorema di Weierstrass.

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Teorema di Weierstrass

Enunciare il teorema di Weierstrass, dandone l’interpretazione grafica.

Il teorema di Weierstrass è un importante risultato riguardo l'esistenza di massimi e minimi di una funzione di variabilereale.

Se è continua in un insieme chiuso e limitato, allora ammette in x massimo e minimo. La funzione èsolo sufficiente.

Anche funzioni non continue possono ammettere massimi e minimi, si pensi alle discontinuità di primaspecie con il salto.

La funzione continua nell'intervallo (a, b) ammette un massimo in c ed un minimo in d.

Asintoto obliquo

Calcolare l’asintoto obliquo della seguente funzione:

Come si calcolano il coefficiente angolare m ed il termine noto q di un eventuale asintoto obliquo?

Ha un asintoto obliquo di equazione , con m0, allora m e q sonoSe il grafico della funzionedati dai seguenti limiti

Relazione fra derivabilità e continuità

Descrivi la relazione fra derivabilità e continuità

È derivabile in un punto allora è anche continua. Se è derivabile inIl teorema dice che se una funzioneallora è continua in .

Sia allora si può scrivere:Se è derivabile ipotizziamo continuitàQuindi la derivabilità garantisce la continuità, viceversa la continuità non è sufficiente per avere la derivabilità.

Daquesto possiamo dire che:

• Se è continua in un punto può essere derivabile nel punto, ma non per forza.
• Se non è continua non sarà derivabile.
• È derivabile in un punto sarà sicuramente continua in quel punto.se

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Eventuali asintoti della funzione

Determinare gli eventuali asintoti della funzioneAsintoto verticale y=2Asintoto orizzontale asintoto orizzontaleAsintoto obliquo ha il seguente grafico.

Individuare dal grafico eventuali estremanti, esplicitare ilsegno della derivata prima, dando la spiegazione teorica della relazione tra segno della derivata e andamentodella curva ed esplicitare l’eventuale presenza di punti di flesso specificandone la loro natura ed il lorosignificato sull’andamento della curva.

Max PMinino relativoFlesso P (0;0)Flesso orizzontale 0

Nel punto 0 abbiamo una pendenza orizzontale e non abbiamo punti di massimo o minimo relativo, non avendocambiato segno della derivata prima, dunque il punto 0 è un flesso.

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Eventuali asintoti: funzione con asintoto verticale

Determinare gli eventuali asintoti della funzioneAsintoto verticaleAsintoto obliquo non esiste asintoto obliquo

Eventuali asintoti: funzione con asintoto orizzontale

Determinare gli eventuali asintoti della funzioneAsintoto verticaleAsintoto orizzontaleAsintoto obliquo ha il seguente grafico.

Non avendo la funzione nessun altro estremante né flesso néasintoto oltre a quelli riportati nella porzione di grafico riprodotta, esplicitarne intuitivamente i limiti al confinedel campo di esistenza.

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Dominio, limiti e asintoti

Ha il seguente grafico. Calcolarne il Dominio, i limiti e gli asintoti.

La funzioneAsintoto verticaleAsintoto orizzontaleAsintoto obliquo ha il seguente grafico.

Calcolarne il Dominio, i limiti al confine del campo diesistenza, individuare gli asintoti e dare la definizione di limite destro e limite sinistro al tendere della funzionead un valore finito l.

Asintoto verticale ] asintoto verticaleAsintoto orizzontaleAsintoto obliquo non esiste perché esiste l’orizzontalecaso a 1, con valori di x che si approssimano a 1 nell’intornoUn limite destro è un limite per x che tende in questo nell’intorno sinistro del punto. Il limitedestro del punto. Nel caso del limite sinis