paniere Metodi Matematici aperte

Set domande aperte metodi matematici 6 CFU Fanton Clara

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Per una funzione f(x): R→R, dare la definizione di limite infinito per x che tende ad un valore infinito

Per ogni K (cioè >M o <-M), allora (cioè >K o <reale esiste un M, in generale dipende da K, tale che se di -K).

Per una funzione f(x): R→R, dare la definizione di limite finito per x che tende ad un valore infinito

Limite di  , che tende ad se per ogni esiste un M, in generale dipende da tale che se x >M (x→) oppure se x < -.M (x→-), allora dista da almeno.

Per una funzione f(x): R→R, dare la definizione di limite infinito per x che tende ad un valore finito

Per ogni K, , meno di allora. reale esiste un in generale dipende da K, tale che se x dista da.

Enunciare il teorema della permanenza del segno, dandone l’interpretazione grafica

Se una funzione tende ad un limite finito l non nullo, esiste almeno un intorno del punto per tutti i punti del quale per (escluso al più il punto) la corrispondente funzione assume lo stesso segno di.

Enunciare il teorema dell’esistenza e unicità del limite, con la dimostrazione

Se una funzione ammette limite per, con che può essere un valore finito o infinito, questo è unico. finito.

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che la tesi non sia vera, cioè che la funzione, oltre ad ammettere limite l, ammetta anche limite per e che sia (sarebbe la stessa cosa supporre che sia)  *.

Allora, fissato un numero positivo, dobbiamo poter determinare un intorno ed un intorno di in cui sono verificate rispettivamente le relazioni ) *) (in e (in.

Allora, per tutti i punti che appartengono all'intersezione dei due intorni, entrambe le relazioni sono vere .  contemporaneamente, qualunque sia il valore scelto per. Questo significa che, se esiste anche un solo valore di per cui tali relazioni non sono soddisfatte, allora la posizione iniziale dell'esistenza di due limiti distinti non può essere sostenuta.

Diamo allora a e un valore a nostra scelta, ad esempio diciamo che; le due relazioni diventano se e cioè si ha che questa catena di disuguaglianze è però assurda e quindi dobbiamo concludere che il limite è unico.

Si dimostra poi che le relazioni sono a due a due incompatibili, cioè che una sola di esse può essere vera.

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Enunciare il teorema del confronto detto anche “dei carabinieri”, dandone l’interpretazione grafica

Consideriamo le funzioni, e e supponiamo che esse valgono le seguenti ipotesi:

• Tutte siano definite nello stesso intervallo eccettuato al più un punto x0 di esso;
• In ogni punto di tale intervallo sia;
• Esista il limite delle due funzioni e e sia.

Allora esiste anche il limite di ed è il.

Enunciare il teorema degli zeri, dandone l’interpretazione grafica

Il teorema degli zeri, chiamato anche teorema di Bolzano, per le funzioni continue reali, assicura l’esistenza di almeno dell’equazione ottenuta eguagliando a zero la funzione, in un intervallo ai cui estremi la una matrice (soluzione) funzione stessa assume valori di segno opposto.

È continua nell’intervallo [a, b] ed agli estremi dell’intervallo (a, b) assume valori opposti. Se cioè allora l’equazione di ammette in (a, b) almeno una soluzione.

Dunque se la funzione attraverserà una volta almeno l’asse dell’ascisse.

Enunciare il teorema dei valori intermedi, dandone l’interpretazione grafica

Il teorema di Bordeaux, detto anche dei valori intermedi, si applica alle funzioni continue reali ed assicura che è l'immagine di un intervallo contenga tutti i valori compresi tra le immagini degli estremi dell'intervallo.

Se continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b] essa non può passare da un valore all'altro senza assumere, almeno una volta, tutti i valori intermedi.

In particolare assumerà almeno una volta tutti i valori fra il suo massimo ed il suo minimo che sappiamo esistere per il teorema di Weierstrass.

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Enunciare il teorema di Weierstrass, dandone l’interpretazione grafica

Il teorema di Weierstrass è un importante risultato riguardo l'esistenza di massimi e minimi di una funzione di variabile reale.

Se è continua in un insieme chiuso e limitato, allora ammette in x massimo e minimo. La funzione è solo sufficiente.

Anche funzioni non continue possono ammettere massimi e minimi, si pensi alle discontinuità di prima specie con il salto.

La funzione continua nell'intervallo (a, b) ammette un massimo in c ed un minimo in d.

Calcolare l’asintoto obliquo della seguente funzione

Calcolare l’asintoto obliquo della seguente funzione:

Come si calcolano il coefficiente angolare m ed il termine noto q di un eventuale asintoto obliquo?

Ha un asintoto obliquo di equazione, con m0, allora m e q sono dati dai seguenti limiti.

Descrivi la relazione fra derivabilità e continuità

È derivabile in un punto allora è anche continua. Se è derivabile in il teorema dice che se una funzione allora è continua in.

Sia allora si può scrivere: se è derivabile ipotizziamo continuità.

Quindi la derivabilità garantisce la continuità, viceversa la continuità non è sufficiente per avere la derivabilità. Da questo possiamo dire che:

• Se è continua in un punto può essere derivabile nel punto, ma non per forza. Se non è continua non sarà derivabile.
• È derivabile in un punto sarà sicuramente continua in quel punto.

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Determinare gli eventuali asintoti della funzione

Determinare gli eventuali asintoti della funzione.

Asintoto verticale y=2.

Asintoto orizzontale asintoto orizzontale.

Asintoto obliquo ha il seguente grafico.

Individuare dal grafico eventuali estremanti, segno della derivata prima e punti di flesso

La funzione ha il seguente grafico. Individuare dal grafico eventuali estremanti, esplicitare il segno della derivata prima, dando la spiegazione teorica della relazione tra segno della derivata e andamento della curva ed esplicitare l’eventuale presenza di punti di flesso specificandone la loro natura ed il loro significato sull’andamento della curva.

Max P.

Minimo relativo.

Flesso P (0;0).

Flesso orizzontale 0.

Nel punto 0 abbiamo una pendenza orizzontale e non abbiamo punti di massimo o minimo relativo, non avendo cambiato segno della derivata prima, dunque il punto 0 è un flesso.

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