Orale meccanica dei solidi e delle strutture

Statica dei mezzi continui

Relazione di Cauchy

Relazione di Cauchy€+3Ì necessaria forza superficie di di SFORZO unità ta Cauchy per= = traslazione equilibrio del alla l'' per, continuo-21 corpo0nA\'02522 ↳ dipende posizione di dalla' rana P• e, ha normale dalla Pi •|\ Xz-. -- --- - -- --"i impongo equilibrio faccia traslazione l' tra la obliqua → alla lee- tasta •i. perpendicolari tre facce iÉ Aiµ 03923 -22=015211-0%22+0;D↳ LÌ -15tornar DIA ) tridimensionale A2a-23continuo corpo nas non=I. A2a ) i cosina DEI hai → noi == -, .- 021021 031Tu 022 032Jaz 012 Nazt hat= Mae }023 023 033013 .-531021 hai911= Ti MaiOd° Naz012 022 032 ]=] ! Relazione 023 033013 ha 3 . di¥- Cauchy di componenti di TENSORE l' lungo xsXi ↳ ha e2, Cauchy i. giacitura J cartesiano asse=3) normali componenti liTi 1,2• i == ,liti ) tangenziali componenti FJ• ] =,↳ di la piano al agisce ortogonale i cui componente- su one- sforzo 7- direzione sforzo di della componente.

Simmetria del tensore di sforzo

Simmetria del tensore di sforzo ↳ imponendo dimostra equilibrio l' si xi all'intorno G parallelo rotazione alla ponente e per asse, Xia ↳ il analogo amigli vale ragionamento altri per »µi forze le che uniche • distanti 932023 intervengono -22Orsa rotazione nella sono e, faccei taxi baricentro delle entrambe altre dai-210nA''02522 iq 1 G, " Volume -220¥@ -23' 0¥=DA, = ( ):-, diah Cauchy di-.. SFORZO. .. . . . -. tensore, Il//. SIMMETRICA. - MATRICE UNA % E" " I'. -22 -23° 023=9329¥523 032" Dj →A OA →- .-→'Ati 03523.

Componenti idrostatica e deviatorica

Componenti idrostatica e deviatorica .fi SiTi =p +] ]> i.E COMPONENTE COMPONENTE di DEVIATORICA IDROSTATICA tu SFORZO ta [{ [)011 -1933( +022 0332911 922=p 3121- -3↳ IDROSTATICA [PRESSIONE § tra= -933-12922-511 323Iei{[fi In -511-022+2033[}= 23, 3↳ Prodotto di KRONECKER tra- -0p O a• -Tasi- trao -OP 011 p0 Op -o o p tra t- [ 022+- o o »= pp -ti T2 03333 poo p - ..- vuole rispetto sia l sistema ( Xi )Xz di sforzo xs lo stato moto → , , ,

Rotazione di un tensore col sistema di riferimento

Rotazione di un tensore col sistema di riferimento di giaciture alle un nuovo rispetto 3sforzo lo valutare di stato di riferimento sistema X2①yA ×i • µDa+3 TtZ - -- --_- _Tzx IÒXX Tyx tra nei Nn011NXZ nyn nhx -2131}/ aTZY •tsz[ltyy hyihyz.my 022( = NXZ hNYZ -22xy 12}TXZ tyz ti IOzz }3NXha MI NZhzz 033 3hz 23} }- - .- - - -- ""'"e e TENSORE TRASPOSTA MATRICE tensore=del tensore e - --degli motrice Oh oze071q # ==. normali sforzi OZZ0×2 012 023-0×3 973Hoquieti "' ?"È E E= . .

Sforzi e direzioni principali

Sforzi e direzioni principali voglio lungo trovare o na→Ia{ Ida= ottano(EnaFaa→ Ea→- -E. ora, = sottrazione nella scolora inserire di ↳ lo identità ↳ Relazione motrice [ per →I = Cauchy SFORZI PRINCIPALI SFORZI e gli autovolori sono gli DIREZIONI PRINCIPALI autoveicoli PRINCIPALI DIREZIONI le gli sono I- -- . .Tra I011 9 hai 031- rt{ OII ,03°Tre T.io?tJzo-Js=oT TÌ dette → Oore o»o naz =o= -- =- ¥ nTit' simmetrica è motrice la033 oo13 ha O}- quindi lineare era- alga dall'- -- ,, radici reali esistono 3{ 911 +033In +022=gli tartan testa52=0 test di33] INVARIANTI Jz 2033} +511533 SFORZO E →1 sono 32; - - -, 53 = giacitura TENSIONE tensione della LO PRINCIPALE) valore rispetto • SFORZO quale su alla una: solo ha )(tensoriale lo 9 componenti solo stato NORMALI direzioni perpendicolari PRINCIPALI alla giacitura direzioni :•

Equilibrio in forma forte e al contorno

Equilibrio in forma forte e al contorno +3§ 03 do+ 3! parallelepipedo lati di → dxs dai dxz e,l 91' - è oeoii lungo ha direzione si sforzo superficiale → ogni ouno uno e-,^ i faccia superficiale pari parallela sulla a sforzo; È forza volume ha di volume sul si → una Oz :- -10102Oz da,'DX} : impongo → equilibrio l'I. traslazione alla xz → e- --. ----.. .'D , È Èdmi DÌdxs.at/3-CoI-dJddX1dX3vÈ )Judo dxzdxst ( dxzdxs- + -', , te- e ,, Ens)['dxz }f è } Èdxndxzdxdà= }, è )di ( d XzdXzdxat- Xe ++3=0×1← " 03 ¥- → → →DIDI dal tf+ O=+ DXda d Xz 3tu→ → →doseDI dare{ # FE Ot+ DXda d Xz 3→ → →djdaII' dj AM Fti iE- o0 + ] =]t- ,→ → →dei3+0102-3↳ Ff Ot+ DXda d Xz 3→ impone l' equilibrio simmetria tensore la rotazione del ois alla osi--2011 dati ttf Fa+ o+ = EQUILIBRIO → lungo FORMA FORTE IN ,: ×, IÌsultane : :euro .lungo +3 impone → che superficie in che affiora EQUILIBRIO lo sforzo al sia contorno uguale alla: F di superficie forza ¥SULLA SUPERFICIE |" ciò equivale tetraedro isolare P ad attorno punto un ad un superficie di relazione la Cauchy applicare di a def → Èn ttf* ,① ×✓ 3* fjTi di → RELAZIONE CAUCHY mi] =Enti È' " tornatene\ µ =011M¥~ 5 fa+031-1021{ M3ha = fa032012 T ha M3he t t22 = F+923 +933013 nn }=ha nste lungo faTrina Tsnh{ 511XI nn + +}+ o=lungo Ti fanztt022haXZ ns O+ +322 =lungo f-T T 033X 3 +h 3=013 tnei 323 ha +¥ equazioni incognite cioè in tutto 6ho 3 e, il continuo è indeterminato storicamente generico ↳ equilibrio le di sole equazioni di permettono non in risposta termini di calcolare la stato sua di sforzo effetto di azioni interno note esterne per ↳ delle al CONTORNO condizioni servono.

Stato di sforzo piano e cerchio di Mohr

Stato di sforzo piano e cerchio di Mohr f- Tnt-ontttt tu → motrice simmetrica piano ora sul E =×, ① .-Ai ¥" ÷⇐ In 2\ X2 .aI y nx.LI?o.aB=fIII }&'i. . ×.ora CI:}'musico }: " -unin -• • +1 "Tnz "'È e* 0=911 511 ÷iii.ix. i.Ty# :Da nx :ha 2 :××÷ a. -*Tan :Da ÷sina.ae ÷cosa. .n→ DÌ tazzina{ costactxx Zthzninacosa011fax += += STATO UNO DI ROTAZIONE tay disink PIANO →cos' SFORZO Ztiz011 n'Oyy E ora+ a -ay na== cosatyonx tnzccoseaninaTxy siriaora )con cosa + )== - - - a)XZ { }III:Di aàona { }aliena sino → componente a.a. cosa>% !• ' × cos'011 rinata terrinaoraa e 2t.ie cosa →,011 % %) }{ III" :o E-* Esimada aioataaads }piena • componente cosa=!Tu dai Tizlcoss siria( ) sinuosaJin ora )+- - -in •4Tra n'f- nzaNina:[ cosa =!022 cos' { ( )1 cosa+e =~, GEE Frignonea. riso !%cos'¥ na-→ terrina0=21 { ) )(Con 022-1022 () on 2a ++ cosR -te tra( COSCZX) ){ sinzaTar ora +a -• oC fa' ' \ elevando quadrato al sommando e~ R2!itdi CERCHIO ( o→ c)-MOHR E componenti fornisce le '+022 con tra ora )011 R -= += e tangenziale normale 42e ad stato corrispondenti uno in di sforzo piano dato un qualsiasi punto una su giacitura di del → UTILIZZO MOHR CERCHIO OZ ?N A" @ H T'• 21• [B T )Tu 511( J =A 12= -q-- . .. ,pg ~| 12CAI Tar )(Da EOB- 022= =911$ On' A ,•I 011I 08 Da fajonze ,ora ao, tra' oraria positiva e se' 41| Tan↳T a di- - positiva- O- -- - --.n rotazione se522 giaciture esistono la cui → 2 tensione tra CIRSI èt nulla =tangenziale, ↳ definiscono direzioni giaciture le queste tiriI due fan ( 2a ) =agiscono gli principali quali sulle fiori, 0221-↳ SFORZI PRINCIPALI, Imax Il ↳ ottOI -=gli sforzi principali o sono e, gli minimo il il massimo tra e ↳ le tensioni tangenziali normali sforzi al variare delle si trovano massime in su punto giaciture un di giaciture 450 rispetto ruotate principali quelle CHIa di → cerchio Mohr gli nel No B . raddoppiati angoli sono.

Cinematica dei mezzi continui

Cinematica dei mezzi continui toX3 tda d. o reMP deformato descrivere del OBIETTIVO continuo lo • stato pop :→X X coordinate lagromgiane materiali ° = o× coordinateX° euleriano spaziali o=aXz (§ X.tt→ del moto corpo × =Da xn→ Due deformato lo stato descrivere continuo del utilizzati approcci essere per corpo possono :

• 1) Indipendenti lagromgiane coordinate DESCRIZIONE GRANGIA le NA quelle LA : sono in principalmente il MSS Usate tempo te ..
• 2) Indipendenti euleriano il quelle coordinate le tempo EULERIANA DESCRIZIONE sono e: e .meccanica fluidi dei principalmente in usato .di cambiamento → configurazione un dice si congruente se : continua { -§ X( )è (soloti compenetrazioni valore di: Xuna no-, condizioni al delle contorno rispettosa-

Ipotesi di spostamenti piccoli

IPOTESI → SPOSTAMENTI PICCOLI DI L' è ipotesi approssimazione piccoli dei spostamenti un' cui secondo: il equilibrio spostamenti in cui l'influenzare deformazioni piccoli da così e- non sono modo struttura instaura nella si equazioni equilibrio imporre di di le configurazione ciò iniziale nella ↳ consente ↳ II. detto II in r+ + .2×3 è- traiettoria possibile la lo cinematica confondere assimilare la spostamento ovvero con, iniziale di dalla partire configurazione definita atto moto a quella una CONFIGURAZIONE DEFORMATA IN configurazione\ DEFORMATA/da R - --- -fai -II¥'da da. 0¥È0¥ TYDXdàdadsz ' =o= ,,TÈ ETÈ dads ↳ }è 2×3 incremento l' infinitesimo ds il è-.. . pi. TEdel P -spostamento dello punto i del B ↳ punto allorispetto spostamento +2¥ di2¥ GRADIENTE osi dxs da due es =. ,, SPOSTAMENTO Lo → del da può essere spostamento P punto causato :

• RIGIDA TRASLAZIONE 1.
• RIGIDA ROTAZIONE 2 di di volume variazione forma )e(pura.
• DEFORMAZIONE 3 ↳ tutte devo che racchiude trovare formulazione le una ↳ termini di suppongo 2somma :u n a E- Èfate¥4Il # + -- -parte parte simmetrica antisimmetrica ¥¥ E o= +- ,il A 0 - .- . . .!. . .-E- ÷753tiff ...., µ quindi scrivere posso ODXSo EdS X+ -1= !← * DEFORMAZIONE ROTAZIONE TRASLAZIONE PURA RIGIDA RIGIDA ↳ spostamenti deformazioni finita assimilare la cinematica così piccoli quella da potere sono a configurazione (parare dalla iniziale )todi di a moto atto un ÈH ilPo vale sia cui DX so spostamento distante Lo d aP :di punto un spostamento ,,dj d§Soia DXJSo DXS →t si= = ¥ ti DX EiSi DXSai += + ]] ]]la ROTAZIONE ;)ff 'Ois ¥rigida → = -, TÈ;)(E 12 +i DEFORMAZIONE → ] =pura.

Significato fisico delle componenti del tensore di sforzo

Significato fisico delle componenti del tensore di sforzo E )() {f- ( sen seE Seatsul tss' su } .+ , ,t ){ #( Isi¥{ + si== ]= ,{ ( (51,2 { )52,1 ) 52,3( {sa ) 53,252,2 tt ta,{ ( ) § (53,1 §51,3 (S )53,2t 53,3) 53,3t t2,3dhtsni.IS#dH-si)7(sztfIdxn-sa)--------i(Olga =; { III. IIII#dei HEIfanno . .)I-II( DIdei Endei= 1 su → - ==# dei ¥gli spostamenti molto sono *• loro la, piccoli così come, variazione di variazione di lunghezza 11-2845=11-4fi ) unitaria y fiera • = una d dei52 + sa_tancadi )= = =Handei siSe t+ -"¥.ae !÷÷a⇐= è ipotesi ↳ di piccoli spostamenti )Ita(tancada dea= ) set #= - =dXtktffI.pk! se