Numeri complessi

Numeri complessi

Definizione

a) Definiamo i = unità immaginaria.

b) Definiamo C = insieme dei numeri complessi. Di fatto è formato da coppie ordinate (x, y) di numeri reali.

c) Se scriveremo "Parte reale di z" e "Parte immaginaria di z".

Osservazioni: se Im(z) = 0, allora z = x.

Operazioni

Definizioni: siano

Somma =

Prodotto =

Teorema: con le operazioni di somma e di prodotto, C è un campo. Inoltre, l'elemento neutro della somma è 0 + i0 e l'elemento neutro del prodotto è 1 + i0.

Dimostrazioni

Notazioni

• Scriveremo 0 per indicare 0 + i0.
• Scriveremo 1 per indicare 1 + i0.
• Più in generale, scriveremo x per indicare x + i0.

Corollario: in conclusione, C è un campo ma non totalmente ordinato perché non è possibile introdurre una relazione d’ordine che lo renda un campo totalmente ordinato. Conseguentemente, non hanno senso i simboli di.

Definizione

Dato diremo che x + iy = z con x, y ∈ R è la forma algebrica di z.

Coniugato

Definizione: dato z = x + iy chiamiamo "coniugato" di z il numero complesso denotato z̅, così definito. In altre parole, z̅ è il numero complesso.

Proprietà del coniugato

Dimostrazione: basta usare la definizione di coniugato e le formule di somma, prodotto e quoziente.

Teorema fondamentale dell'algebra

Teorema: sia data un’equazione polinomiale in C. Allora questa equazione ha almeno una soluzione in C.

Esempio:

N.B.: il teorema assicura di una soluzione, NON fornisce alcun metodo per trovarla.

Definizione

Sia un polinomio di grado, cioè un suo zero (o soluzione), cioè. Diremo che z è uno zero di con molteplicità k quando un polinomio.

Corollario: un'equazione polinomiale ha esattamente n zeri se ciascun zero viene contato con la propria molteplicità.

Esempio:

Teorema

Sia un polinomio a coefficienti reali:

Dimostrazione

Corollario (dell'ultimo teorema)

Sia P(z) un polinomio a coefficienti R come nell'enunciato del teorema. Allora:

• Le soluzioni in C che hanno parte immaginaria = 0 sono a due a due una coniugata dell'altra.
• Se P(z) ha grado dispari, allora deve esistere almeno una soluzione in R.

Esempio:

Proposizioni

Sia P(z) un polinomio di grado n a coefficienti R. Allora P(z) può essere decomposto nella seguente forma:

Dimostrazione: il teorema fondamentale dell'algebra ed il suo corollario assicurano che P(z) ha esattamente n zeri se ciascuno è contato con la propria molteplicità. Sia uno zero di P(z). Abbiamo 2 possibilità:

Piano di Gauss

Esprimendo z in C nella sua forma algebrica, ogni numero complesso z v...