Numeri complessi

Numeri complessi

Rc E in C ZC ⊕ cL' RLa2+1=0 E. soluzione l'equazione ✗ 'ma avrai non in,

Costruzione di }{ (R R R)

E delle )da insieme ordinate di dinumeri insiemi vista reali × s i a coppie un × × punto E: yy= := , , ↳ R prodotto l' insieme tra cartesiano.

Operazioni in :Jama

(E b) Z ≥ a.: = E (W d)a c.= (( (b) )d) btd sana → per componente componente + Ztw c ateat := =, , . R ,| da di vista geometrico un punto 2- W+btd ;----.f- "- - ; parallelogramma I 1i' Zb- |→---- ! ! ! > R atcC a

Prodotto

Prodotto : )( ( (b) d) ad bcbd Z acW a. +c := =- -. , , hanno Sonia le prodotto distributiva proprieta e comitati associativa' : va ,, !1 !(2-2+2-3)=(2-1+2-2) ( 3)Ztw WTZ 2- 2-+ + 2- 2-2-Zr= Zn tZz Zn3 +n 3-. . 2=3)(Z 2-Z 2-(W 2- =)ci +2- -2Zn- -= 2 . 3.n .=

Elementi neutri

Elementi neutri : ( (b)( b)b))(sonno + a.0,0 a. ◦ +◦+ a= =," ¢HZÓ Òt' Z-2 cioe E= c)(Prodotto () (( d) d)dd 1.1 0O c.1,0 c C +- - -= =--, , lfz ¢)(1,0 2- c-Z- = la hanno seconda entrambi % ( )(' ) lfze e 0,0 piu 02- componente 0,0=. .

Piano di Gauss

R piano Gauss di )Imlz "i sulla reale orizzontale stanno retta →•• • ☒ ↓)( ( ) )Re1.00,0 ( z R si l'può teenager insieme e insieme noi R latitudine nulla numeri a>;• ;◦ Possiamo identificare Betta la reale setta come Inner # ¢di orizzontale nel GaussStone piano di in : RR ( )E ilxi )-: ✗0 c-: ×= .,( ( ))i il' iniettiva × y: = )( hanno la la) 9,0( X quando componente due uguali seconda 0 prima e uguali → sono coppie=/ ✗ y= addendi nei ( "i i perche ( complessi) "numeri complessi sono operazione di y)sana ×> er .)

((Jonna )( i()(ilx )( ) )i) y✗y✗ +0++ ✗ 0+-0+ x.coy yy.co =+= == ,,

Prodotto nel piano di Gauss

Prodotto iii. / (( (() ( /g)ilx )i a)i )( )a)) i) iy y✗✗ xp ✗xyy y ×o_O- -0+0 y• g.== -.- = == - ,, tramite IR E identificare i incisione dei potremo sottoinsieme primi → i secondi come un:

Quindi la )(( ) confonde i perfetta notazione ✗ corrispondenza useremo ~ 'non × 0 c' × una e= , ., ↓ equivalente

Forma numerica algebrica dei complessi

Fiat(( )E b) ha( b) Consideriamo il che 2-a complesso Z a. numero + oa come 0== =, , e b- componenti a .( b)a + o= =, ÌTTBO )( )( (b)i0,1a + a += = =-)( ba + 0,1= - definendo )( Ei '0,1 lunaginasiac- unita: =ha Iunaginasi a reale si b reale numero a e 'numero unita, ( b) bi.+Z aa == ,^

Dalla R)(1- al siamo retta passate piano 0,1= . ↓ Infatti E più grande insieme 'eR dell' insieme .>° • ( )1,0)( 0,0

Proprieta di i

Proprieta di' : (( ) ) ( )( )l' 2=-1< i i i1.0-1 '0,1 1,0 -11. sempre^0,1 eo +0.0.= =_ -== -,) 1)il(ii. -1-1,0= =-=2=-1i )IR(2-2+1=0-22=-1 che E soluzione i dell'' equazione soluzione avev cioe in c- nono

Inoltre ( b) bi.-2 a. a += =( d) dCtiW c= = -, d)(b) le d'( Usando prodotto Sauna Cti e'i proprieta Z 1ci a += . =-- ibidbcaid tiac + += =( )( )≥ iadtibci bd +ac += =( () )ibd bc+ adac += - =)( bcbd ad +ac= - ,

Opposto

Opposto (E ( )b) di iba -2 ' ba a + e= a+ -= - ,( )( b)) (atb + 0,0a -- =, )( (Notare C-b) b)1)fa ap Za.:: =. = -=-, CS Z7- =D-.

Reciproco

Il reciproco ( b) reciproco ibdi '=/2- ea 0a += ha=, reciproco ◦ non un dividere non si può ( )÷ 1W CÈ 2-2- 0i nW pe