Newsvendor Model e Domanda Stocastica

Cosa accade se la domanda non è fissa e nota?

La domanda sarà casuale ed allora è più appropriato un modello che incorpori esplicitamente la casualità.

Per prima cosa considereremo il caso in cui siamo interessati ad un singolo rifornimento, in modo che il mio problema sia determinare la quantità da ordinare appropriata a fronte di una domanda incerta. Questo è il "News Vendor Problem".

In secondo luogo, considereremo la situazione in cui l'inventario è rifornito molte volte, ma uno che la domanda casuale si verifica. L'unico problema è determinare il punto di riordino. Il livello è definito Base Stock Level, questo è il "Base Stock Model".

In terzo luogo, prenderemo in considerazione la situazione in cui l'inventario è monitorato continuamente e la domanda giunge in modo casuale. Quando il inventario scende sotto _r un ordine prenderà il via effettivo, dopo un tempo LT (L) durante il quale può verificarsi uno stockout, l'ordine viene ricevuto. Il problema si chiama (R, L) model.

Cosa accade se la domanda non è fissa e nota?

La domanda sarà casuale ed allora è più appropriato un modello che incorpori esplicitamente la casualità.

Per prima cosa considereremo il caso in cui siamo interessati ad un singolo rifornimento, in modo che il nostro problema sia determinare la quantità di ordine appropriata di fronte ad una domanda incerta. Questo è il "News Vendor Problem".

In secondo luogo, considereremo le situazioni in cui l'inventario è rifornito molte volte ma non appena che la domanda si verifica. L'unico problema è determinare il punto di riordino. Il livello è definito base stock level, questo è il "Base Stock Model".

In terzo luogo prenderemo in considerazione le situazioni in cui l'inventario è monitorato continuamente e la domanda giunge in modo casuale. Quando il magazzino/inventario raggiunge un certo livello (o scende sotto), un ordine viene effettuato, dopo un tempo LT durante il quale può verificarsi uno stockout, l’ordine viene ricevuto. Il problema si chiama (R,c) model.

Domanda variabile stocastica

Domanda descritta da una variabile stocastica X, si possono verificare STOCKOUT (esaurire gli stock, i casi in cui abbiamo meno materiale rispetto alle previsioni) e casi di OVERSTOCK (caso in cui abbiamo più materiale del previsto e quindi svendiamo).

La Domanda Stocastica X, caratterizzata da valore medio μ e varianza v determina un grafico che ha un andamento variabile in funzione dell'effettivo valore assunto dalla X in ogni istante di tempo.

La domanda si può descrivere mediante una Distribuzione Normale o Gaussiana.

News Vendor Problem

Problema del venditore di giornali che a fine giornata ha le rimanenze.

• Obiettivo: Determinare la quantità Q^* appropriata da ordinare così da non avere stockout e overstock.

Detti

X = Domanda
G(x) = P(X < x)
g(x) = d/dX G(x)
μ = media della domanda
σ = dev. std della u
C_o = costo di overage (basato a materiale in più che non è stato venduto)
C_s = costo di shortage (basato a materiale non presumo e quindi profitti persi)
Q = quantità da produrre o ordinare

Unità di overage e shortage

UNITÀ DI OVERAGE = max(Q-X,0) => { (Q-X) se X ≤ Q (overage) { 0 se X ≥ Q (shortage)

UNITÀ DI SHORTAGE = max(X-Q,0) => { X-Q se X ≥ Q { 0 se X < Q

Funzione di costo

Definiamo Y(X) funzione di costo che sarà tale:

Y(X) = EXPECTED OVERAGE COST + EXPECTED SHORTAGE COST (volere atteso)

Y(X) = C_o * E(Rimanenti) + C_s * E(esaurimento) == C_o ∫₀^Q max(Q-x,0) g(x) dx + C_s ∫_Q^∞ max(x-Q,0) ρ(x) dx == C_o ∫₀^Q (Q-x) g(x) dx + C_s ∫_Q^∞ (X-Q) ρ(x) dx

Scelto l'obiettivo è minimizzare il costo si ottiene e pone uguale a zero

dψ(Q)_/dQ = d_α/dQ(e_o∫₀^Q(Q-x)g(x)dx + e_s∫_Q^∞(x-Q)g(x)dx) = 0 ⇒ e_o∫₀^Q(Q-o)g(x)dx + e_s∫_Q^∞(o-Q)g(x)dx = 0 ⇒ e_o∫₀^Qg(x)dx - e_s∫_Q^∞g(x)dx = 0

e_oG(Q^*) - e_s(1-G(Q^*)) = 0

G(Q^*) = e_s/(e_s+e_o)

a: G(a)

c.s = G(Q_a) accumulato della domanda

Q^* è il valore in corrispondenza del quale la funzione di probabilità accumulata della domanda vale (e_s/e_s+e_o)

Se la distribuzione è una normale con valore medio μ e varianza τ² (dev.std = τ)

G(Q^*) = Φ(Q^*-μ/τ) = e_s/es+eo

Il livello di servizio che vogliamo ottenere

(Q^*-μ/τ) = z ⇒ Φ(z) = (e_s/e_s+e_o)

Q^* = μ + z τ

Confronto tra i costi

Se C_s = C_o

Il valore della distribuzione attesa è 1/2, ordiniamo il valore medio della domanda.

G(a) = μ

Se C_s > C_o

Allora Q* aumenta e si ordinano quantità maggiori.

Se C_s < C_o

Allora Q* diminuisce e si ordinano quantità minori.

Se _Cs/^C_s+C_o > 0,95 allora la quantità da ordinare è 2σ.

Esercizio

Costo = 1 €
Prezzo = 2 €
Dopo Natale il prezzo è scontato = 0,50 €
μ = 10.000
σ = 1000
C_s = 2 - 1 = 1 €
C_o = 1 - 0,5 = 0,50 €

Profito perso
Costo delle rimanenze

Φ(Z) = Φ(Q* - μ/σ) = _Cs/^C_s+C_o = ₁/^1+0,5 = 0,1667

Sulle tabelle

Z = 0,48

allora Q* - μ = zσ

Q* - 10000 = 0,481000

Q* = 10048

Scorta di sicurezza

Occorre costruire una SS (Scorta di Sicurezza) o fini di non andare in rotture di stock.

Quindi la SS è una quantità di pezzi che può essere assota quando c'è la stockout (rotture di stock) e deve costare non più di _CJ.

Andamento della domanda

Delle variab. stocastica perciò di _R non ne fissiamo. Quando c pezzelli è quando si incastra tra che viene emesso l'ordine.

_R = _o · _LT

R_e momento in cui dobbiamo proteggere le nostre scorte è il _LT, in cui la domanda stocastica può rimanere costante, aumentare, diminuire (problema degli stockout o overstock).

Per questo si utilizza la SS (Scorta di sicurezza)

Domanda (nell'unità di tempo): oC (_uC, _roC)

Δ_LT = ∑_i=1^LT o(_t) = _dμ_LT = d_LTσ²_LT = σ_oc²_LT

• Se tutto va bene la SS non serve.
• La SS costru è ma agere un risotto che non può.
• La SS è determinata sulle versibilità della domanda pur sul suo valore medio.

Se la domanda durante il LT è esattamente pari al valore atteso, ci si trova nel caso ideale per cui all'arrivo dell'ordine emesso lo stockout è nullo.

Se la domanda durante il LT è Se la domanda durante il LT è > del Valore Atteso, ci sarà una rottura di stock (con eventuale accumulo di richieste inevase).

Se otteniamo una certa probabilità di evitare lo stockout, vuol dire che dobbiamo ordinare una certa quantità per sopperire e fissare un determinato livello di servizio.

Se il fornitore ha dei tempi di consegna variabili

D_LT = ∑_i=1^{LT variabile} D(t) LT : N (μ_LT, √_LT)

μ_DLT = μ_d · μ_LT

√_DLT² = μ_LT · √_d² + μ_d² · √_LT²

Allora ricapitolando

Se LT non è variabile

D_LT: d (μ_d, √σ_d)

D_LT = ∑_i=d^LT d(t)

μ_LT = μd · LT

σ_LT² = √σ_d² · LT

Se LT è variabile

D_LT: N (μ_LT1, √σ_LT)

D_LT = ∑_i=d^LT d(t)

μ_DLT = μ_d · μ_LT

σ_DLT² = μ_LT · √σ_d² + μ_d · √σ_LT²

R_LTμ_d/σ_dμ_LT/σ_LT?

Esercizio

Lo Domando durante il LT ha media = 200 pz/giorno e DEV.STD = 8pz

A = Costo di Ord. = 60€

LT = 2

Costo di Stoccaggio h = 9€ /giorno (unitars)

Determinare Q e lo SS di sicurezza per avere massimo il 5% di prob. di avere esaurimento SC.

SS = z · √σ_L √LT = z · 8 · 2

Φ(z) = 0,835 => z = 1,645

Il Service Level = 0,95