Nanostructured materials

Materiali nanostrutturati

Anno Accademico: 2020-2021

Docente: Marinella Elvira Angela Del Zoppo

Appunti a cura di: L. A., M. B., M. C. e E. M.

Con il supporto di S. D.

Sommario

• Onde e particelle............................................................................................................ 4
• Teoria classica dell’elettromagnetismo.......................................................................4
• Richiami di meccanica quantistica.............................................................................. 8
• Isomorfismo Schrödinger-Helmholtz............................................................................8
• Confinamento quantico................................................................................................ 10
• Onde.......................................................................................................................... 11
• Guida d’onda ottica planare..................................................................................16
• Particelle.................................................................................................................... 18
• Effetto tunnel............................................................................................................... 20
• Effetto tunnel di particelle......................................................................................... 20
• Doppia barriera e tunnel risonante.......................................................................21
• Effetto tunnel ottico.................................................................................................. 23
• Interferometro di Fabry-Pérot................................................................................. 24
• Elettroni e luce in strutture periodiche........................................................................26
• Richiami di fisica dello stato solido...........................................................................26
• Cristalli fotonici......................................................................................................... 28
• Difetti nei cristalli fotonici..................................................................................... 31
• Semiconduttori.......................................................................................................... 32
• Strutture confinate....................................................................................................... 38
• Pozzi quantici reali................................................................................................... 38
• Pozzi multipli e superreticoli semiconduttori.............................................................44
• Quantum wires.......................................................................................................... 44
• Quantum dots........................................................................................................... 46
• Quantum rings e quantum corrals...........................................................................46
• Riepilogo sul confinamento....................................................................................... 47
• Manifestazioni del confinamento quantico...............................................................47
• Pozzi quantici......................................................................................................... 48
• Quantum wires e quantum rods...........................................................................50
• Quantum dots........................................................................................................ 51
• Diagramma CIE di cromaticità............................................................................... 54
• Laser............................................................................................................................. 54
• Proprietà generali...................................................................................................... 55
• Struttura tipica di un laser....................................................................................... 55
• Interazione fotoni e atomi: emissione stimolata.......................................................55
• Inversione di popolazione....................................................................................... 56
• Sistema a 3 livelli..................................................................................................... 601
• Sistema a 4 livelli..................................................................................................... 61
• Spettro di emissione di un laser a gas.....................................................................62
• Meccanismi responsabili della dispersione............................................................62
• Condizione di risonanza......................................................................................... 64
• Laser: multimodali vs modo singolo.......................................................................66
• Amplificazione della luce....................................................................................... 68
• Modi trasversali...................................................................................................... 68
• Condizioni quantitative per le oscillazioni nei laser..............................................69
• Perdite del sistema.................................................................................................... 70
• Condizione di lasing e oscillazioni.........................................................................71
• Stato stazionario.................................................................................................... 71
• Sintesi riassuntiva.................................................................................................... 76
• Applicazioni laser......................................................................................................... 76
• Laser a rubino........................................................................................................... 76
• Struttura del laser a rubino................................................................................... 77
• Laser a He-Ne............................................................................................................ 77
• Laser a Nd: YAG......................................................................................................... 80
• Laser a eccimeri........................................................................................................ 80
• Laser a coloranti....................................................................................................... 81
• Proprietà dei fasci laser............................................................................................... 81
• Laser diode................................................................................................................... 84
• Transizioni radiative nei semiconduttori...................................................................84
• Condizioni di assorbimento e di emissione................................................................85
• Semiconduttori a band-gap diretto e indiretto......................................................87
• Spettro di emissione............................................................................................... 87
• Inversione di popolazione....................................................................................... 88
• Giunzione p-n............................................................................................................ 89
• Condizione per inversione di popolazione per emissione stimolata nei semiconduttori....................................................................................................... 90
• Cavità di risonanza................................................................................................ 92
• Confronto fra laser e LED...................................................................................... 93
• Doppia etero-giunzione............................................................................................. 93
• Rate allo stato stazionario..................................................................................... 96
• Single quantum well laser (SQWL).........................................................................101
• Multiple quantum well laser (MQWL).....................................................................102
• Separate confinement heterostructure (SCH)......................................................103
• Quantum wire laser................................................................................................ 104
• Quantum dots laser (QDL)...................................................................................... 1042
• Problemi e vantaggi dei QDL................................................................................107
• Configurazioni laser.................................................................................................. 107
• Edge emitting laser (EEL)....................................................................................... 107
• Vertical cavity surface emitting laser (VCSEL).......................................................107
• Distributed Bragg reflectors................................................................................108
• Quantum cascade laser (QCL)................................................................................... 109
• Tecniche di fabbricazione........................................................................................... 110
• Molecular beam epitaxy (MBE)............................................................................. 115
• Chemical vapor deposition (CVD)........................................................................116
• Proprietà ottiche dei metalli....................................................................................... 116
• Modello di Lorentz................................................................................................... 117
• Modello di Drude..................................................................................................... 122
• Correzione dei modelli teorici.................................................................................. 124
• Plasmoni superficiali............................................................................................... 129
• Eccitazione dei plasmoni superficiali....................................................................135
• Plasmoni superficiali localizzati.............................................................................. 1403

Onde e particelle

La luce può essere studiata da diversi punti di vista, corrispondenti a diversi livelli di approssimazione:

• Ottica geometrica: la luce si propaga secondo raggi (approccio più approssimato, valido solo per l’interazione con oggetti macroscopici). In questo ambito l’interesse è esclusivamente concentrato su intensità e direzione del raggio
• Ottica ondulatoria: le dimensioni caratteristiche del corpo che interagisce con la luce sono dell’ordine della lunghezza d’onda
• Elettromagnetismo: si considerano i 2 campi (elettrico e magnetico, e di conseguenza anche la polarizzazione) associati all’onda stessa
• Ottica quantistica, in cui la luce è quantizzata in fotoni

Teoria classica dell’elettromagnetismo

Partiamo direttamente dalle equazioni di Maxwell in forma differenziale, che descrivono sinteticamente l’intera teoria:

{ −∂ B ∇ × E= Legge di Faraday ∂t −∂ D ∇ = +×H J Legge di Ampere−Maxwell ∂t ∇ ∙ D=ρ Legge di Gauss Elettrica ∇ ∙ B=0 Legge di Gauss Magnetica

In queste relazioni compaiono 4 campi vettoriali:

• Campo elettrico nel vuoto ( )E
• Campo magnetico nel vuoto ( )H
• Campo elettrico nei materiali ( ), legato a quello elettrico nel vuoto ( ) e D E Pal vettore di polarizzazione elettrica ( ) secondo la relazione: D=εε E+ P0 ε ε

Dove è permissività elettrica nel vuoto e quella nei materiali0

• Campo magnetico nei materiali ( ), legato a quello magnetico nel vuoto (B H M) e al vettore di polarizzazione magnetica ( ) attraverso: +B=μ H μ M0 μ μ M

Dove è permissività magnetica nel vuoto e quella nei materiali.0 è in generale considerabile come nullo per materiali non ferromagnetici

A questi 4 vettori si aggiungono le seguenti densità:4

• Densità di carica ( )ρ
• Densità di corrente ( )J

( )u r ,t

L’ottica ondulatoria descrive la luce come un campo reale scalare che soddisfa l’equazione:

21 ∂ u2 ∇ =0u− 2 2c ∂t

L’elettromagnetismo è una generalizzazione dell’ottica ondulatoria in cui si utilizzano E H campi vettoriali ( e ), i quali devono quindi sottostare alla stessa equazione differenziale. La luce è quindi composta da 2 onde propaganti e, di conseguenza, trasporta anche una polarizzazione. Poiché le 4 equazioni di Maxwell rappresentano una descrizione completa dell’elettromagnetismo, dev’essere possibile derivare l’equazione d’onda a partire da queste. Per prima cosa definiamo il laplaciano del E campo vettoriale :

2 ( )−∇ ( )∇ ∇ ∇E=∇ ∙ E × × E P=0

Considerando per il momento si ottiene:

2∂ E2 ∇ =0E−μ μ ε ε0 0 2∂t

Analoghe considerazioni possono essere fatte per il campo magnetico, giungendo alle stesse conclusioni:

2∂ H2 ∇ =0H−μ μ ε ε0 0 2∂t

Il coefficiente che precede la derivata seconda è il quadrato dell’inverso della velocità di propagazione dell’onda stessa, e quindi la velocità della luce nel mezzo è ricavabile da:

1=v √ μ μ ε ε0 0

Nel caso la luce propaghi nel vuoto, si ottiene che:

1c= √ ε μ0 0 indice di rifrazione

Di conseguenza, possiamo definire l’ nel mezzo come segue, dove la permissività magnetica è trascurabile visto che non trattiamo in generale materiali ferromagnetici:

c√ √n ≡ εμ ≈ ε n= v

L’indice di rifrazione rappresenta una sorta di densità ottica, ossia un’osservabile fisica che in questo caso determina una riduzione della velocità della luce nel mezzo come precedentemente descritto. onda piana monocromatica:La più semplice delle soluzioni dell’equazione d’onda è l’5

( )( )=E +ϕE z ,t cos ωt−kzx 0 0 E

La componente del campo elettrico lungo le ascisse ( ) è il prodotto di xE un’ampiezza ( , una costante) per una funzione periodica oscillante con frequenza0 ϕω k angolare ( ), vettore d’onda ( ) e fase iniziale ( ). L’intero argomento della0 zfasefunzione coseno rappresenta la dell’onda. Fissando un valore di a un t determinato tempo , la fase risulta costante, quindi individua dei piani in cui il fronti d’onda.valore del campo è costante: i La velocità con cui si muovono prende il v velocità di fase nome di ( ):p

2 πdx λ k ω= = =v ≡p dt T 2 π k

ω λ T

Un picco percorre una distanza in un periodo . Questa è l’unica nozione di v velocità che possiamo definire per un’onda piana monocromatica (quindi p v coincide con usata nelle relazioni precedenti). Sostituendo questo risultato nella n m relazione di in un materiale otteniamo:

c ∙ kc nωm= =n= → k mv ω cp ω=ck

Dalla relazione di dispersione per la luce nel vuoto sappiamo invece che mettendo insieme le ultime 2 relazioni si ricava:

λ=nk =k → λm m n velocità di gruppo

In generale, possiamo definire una ulteriore nozione di velocità: la (v ). Questa coincide con la velocità di trasmissione dell’informazione (velocità della g v luce nel mezzo utilizzata nelle relazioni precedenti) e può essere espressa matematicamente dalla relazione:

dωv ≡g dk

Nel caso di onda piana monocromatica, la velocità di gruppo e quella di fase sono uguali, per cui possiamo fare riferimento alla sola velocità , ma in generale questo modello risulta essere troppo idealizzato per fornire una descrizione fisica soddisfacente del problema. l’onda sferica,Un altro tipo di funzione propagante è in cui si ha un’attenuazione del fronte man mano che ci si allontana dalla sorgente attraverso una relazione di proporzionalità inversa:

E 0 ( )= +ϕE cos ωt−krr 0r

Possiamo pensare all’onda piana monocromatica come un caso limite di onda sferica pacchetto d’onda,la cui sorgente ha dimensione infinita. C’è poi il che può essere principio visto come un’altra generalizzazione dell’onda piana attraverso l’impiego del di sovrapposizione: è definibile come una somma di onde piane monocromatiche6 differenti, ciascuna con la propria frequenza angolare e quindi una propria velocità di fase. In particolare, la relazione che lega le 2 velocità è la seguente:

( ) ( )dω c k dn k dn c= = =v =v 1− ∙ 1− ∙g pdk n n dk n dk dnn−λ dλ mezzo non

Se l’indice di rifrazione non dipende dalla lunghezza d’onda, si parla di dispersivo (come il vuoto), allora velocità di gruppo e di fase coincidono:

( ) ⟹=n =vn λ v g p

Altrimenti si parla di un mezzo dispersivo: le differenti onde monocromatiche tendono a separarsi e il pacchetto d’onda si estende durante il moto. Il motivo per cui si può definire una sola vel