Monomi – Concetti generali

Definizione di monomio ed esempi

Si definisce monomio un'espressione algebrica in cui compaiono solo prodotti tra variabili (lettere) e costanti (numeri), oppure potenze con esponente intero (costanti) oppure naturale (variabili).

Non si possono quindi incontrare divisioni e addizioni algebriche, tantomeno variabili al denominatore; caso diverso riguarda le costanti, che si trovano al denominatore danno luogo a una frazione.

Sono monomi: -9; 5/6 ab^2; a^5b^3

Non sono monomi: 1/b; a + b^3; 1/3 c^(-1)

Nel caso di monomi, essi sono costituiti da 2 parti:

• Il coefficiente, ossia il numero davanti al monomio
• La parte letterale, cioè l'insieme delle variabili che costituiscono il monomio

Esempi:

1. -ab^2<br> coefficiente: -1 (scritto solo con un – invece che per intero)<br> parte letterale: ab^2

2. ab^4c/2<br> coefficiente: ½<br> parte letterale: ab^4c

Riduzione in forma normale e grado di un monomio

Un monomio si dice ridotto in forma normale se presenta un coefficiente unico e una parte letterale costituita solo da variabili diverse. Nel caso di un monomio non in forma normale, lo si porta ad essa moltiplicando tra di loro le costanti e le variabili.

Esempi:

xy^2 → in forma normale

3x4x^3 → da ridurre → 12x^4 (3 X 4; x X x^3)

Inoltre, si dice grado di un monomio rispetto alla variabile l'esponente della stessa; prima di affermare ciò, tuttavia, è necessario assicurarsi che sia ridotto in forma normale.

Invece, il grado complessivo è la somma degli esponenti delle diverse variabili: è bene non confondersi con le costanti (i numeri), che in questo caso non devono essere prese in considerazione.

Esempio:<br> 2^2x^3 y^2 x → 2^2x^4 y^2 (riduco in forma normale)<br> Grado rispetto a x: 4<br> Grado rispetto a y: 2<br> Grado complessivo: 6 (non tengo conto del 2^2, cioè 4, che è il coefficiente della x)

Tipi di monomi tra di loro (relazioni)

Due monomi possono essere di 3 tipi tra di loro:

• Simili, se hanno la stessa parte letterale ma coefficienti diversi
• Uguali, se hanno in comune la parte letterale e il coefficiente
• Opposti, se hanno la stessa parte letterale e coefficienti opposti

Operazioni tra monomi

• Addizione: si possono sommare due monomi solo se sono simili, altrimenti la somma rimane indicata e si dà origine a un polinomio; se sono simili, si tiene la parte letterale e si sommano i coefficienti;
• Moltiplicazione: si moltiplicano tra loro i coefficienti e le parti letterali, utilizzando le proprietà delle potenze;
• Divisione: non è sempre possibile tra monomi, ma solo quando le variabili del divisore sono tutte contenute nel dividendo con esponenti uguali o maggiori, sennò si andrebbe a sfociare nelle frazioni algebriche; se compare nel dividendo una variabile che non c'è nel divisore, la divisione può comunque essere svolta, ma se essa compare nel dividendo non si può dire lo stesso. È bene prestare attenzione nel caso di frazioni, in cui si moltiplica il coefficiente del dividendo per il reciproco del divisore, ma le variabili vanno comunque divise;
• Elevamento a potenza: si eleva il monomio “a sintagmi”: prima il coefficiente e poi tutte le variabili, stando attenti a utilizzare correttamente le proprietà delle potenze, in particolare la potenza di potenza.

M.C.D. e m.c.m. tra monomi

Tra due monomi:

• Il M.C.D. corrisponde al massimo comune divisore; il suo coefficiente è sempre positivo ed è il M.C.D. dei diversi coefficienti se questi sono numeri interi, mentre se compare anche una sola frazione esso corrisponde a 1. Invece, per la parte letterale si prendono una sola volta tutte le variabili in comune con l'esponente minore.
• Il m.c.m. corrisponde al minimo comune multiplo; il suo coefficiente è sempre positivo ed è il m.c.m. dei diversi coefficienti se questi sono numeri interi, mentre se compare anche una sola frazione esso corrisponde a 1 come per il M.C.D. Invece, per la parte letterale si prendono una sola volta tutte le variabili in comune e non con l'esponente maggiore.