Modellistica per l'ambiente e la sicurezza (matrici)

Matrice Hermitiana

Matrice Hermitiana: elemento della i-esima riga e j-esima colonna uguale al coniugato della j-esima riga e i-esima colonna!!! Cli ÓJI] =, La matrice Hermitiana ha elementi reali sulla diagonale principale!

Matrice reale simmetrica

Matrice reale simmetrica esempio 612=6212), [ 9-1 613=631B- 5 -a_ 623--632g -2 7

La matrice reale simmetrica ha tutti gli elementi simmetrici tranne quelli posti sulla diagonale principale. Si può notare dall’esempio infatti che b12=b21, b13=b31, b23=b32.

Matrice ‘coniugata’(A), ‘trasposta’(A) e ‘trasposta coniugata’(A)

-, ]5i-1} 3-- i 531 + Hai 2aiA i 4- 2 i1 2 -2 i1 =] ][:& i <^ ia- A 2ii 4 #3-mia , i is =

Una matrice A con elementi complessi è Hermitiana se A=A

Una matrice B con elementi reali abbiamo che B =B

Quindi per una matrice reale B chiedere che sia Hermitiana ovvero B=B equivale a chiedere B=B (Matrice reale simmetrica)

In generale una matrice che è B=B si dice simmetrica

Prodotto matrice-matrice

Prodotto righe per colonne

Prodotto matrice-matrice prodotto righe per colonne esempio : }-=/ 113-:|!!=/- → so1- 223 21 2mia Hai :] :}il:[ )+610/+14(1)③ 5-① )+1116.) 5- ++6/-7/+111-5 3)(- - 314+2101+2)(111-213)+211 =(-3/+2/-71+41) 3A. D= 3 -1101(1)-11-7/-211 /) )H )za za) {41-3 - -g- ]15-42+2 5+28+1 5+0+23+0+43+6+2-9-24+2= ={44- -3 -2 o-12+7-2- a)25-[ -56 71121= 0-7 -1

AB=BA

Determinante

Determinante Se A appartiene all’insieme M1(c), allora A[a11], det(A)= a11: Se A appartiene all’insieme M2(c), allora A[a11 a12][a21 a22]det(A)= (a11 x a22)—(a12 x a21)

esempio : ][ detta? (2-3)--4-6=-2=p} )/A- }→ -.

esempio : }⑧;) -3 0=/③ 8( ° 1- iA z1i 21= -3b- ti3-3E- i3 colonna 1+1 di ahiatah nonno : -Jet / mA) (1) )a) Hotei(3= +i.→• -.%:*"1)( )8 ( a)) (+ ti 3-i• •- -in unnum , Jieliminato -1 ? g)((A) -12 -11/ 8.Jet ( si( =3 si + --10• -.= i-32 -62+25i40i-30 15 + == - prima riga

Nell’esempio sopra fatto ho deciso di eliminare la (per comodità visto che c’era uno 0 che mi ha aiutato semplificando i calcoli) per calcolare il prima colonna determinante. Avrei potuto anche eliminare la ed il risultato non mi sarebbe assolutamente cambiato!

esempio : }È °•A- 7- 1 0+4c-= 9 510 -411 " (1-5)=5detta / ① •= -

Matrice triangolare superiore, inferiore e diagonale

Triangolare inferiore

Triangolare inferiore: Una matrice A appartenente all’insieme Mn(c) si dice triangolare inferiore se e solo se [A]i, j=0 se j>i. y Proprietài °o ::" " deth-k-LAI.tt?i.-Ettn.n2.1 22 . . . . {: mmArrynAna -1

Triangolare superiore

Triangolare superiore: Una matrice A appartenente all’insieme Mn(c) si dice triangolare superiore se e solo se [A]i, j=0 se i>j. Proprietà-9µm-9111 012 :.. .. : :[ :[ ])=[AI Daidetta Aora: .' »÷ ..

Diagonale

Diagonale: Una matrice A appartenente all’insieme Mn(c) si dice diagonale se e solo se [A]i, j=0 se i=j • ]Ehi [detta ) Aproprietà -ai-_: . . ».

Identità

Identità identità. In si dice matrice identica o più semplicemente La matrice I è l’unica matrice tale che Ma /InInA- )A- A AA ¢c-e .- --

Moltiplicazione di I per un vettore: Et.it ::

Invertibilità

Invertibilità Una matrice A appartenente all’insieme Mn (c) si dice invertibile se esiste B appartenente all’insieme Mn(c) tale per cui AB=In e BA=In. 'La matrice B è detta inversa di A e in genere viene indicata con A .

• A appartenente all’insieme Mn(c) è invertibile se e solo se det(A)=0.
• Il sistema lineare Ax=b, A appartenente all’insieme Mn(c), b appartenente ¢ ha un’unica soluzione se e soltanto se A è invertibile.
• Il sistema lineare Ax=b, A appartenente all’insieme Mn(c), b appartenente "¢ ha un’unica soluzione se e solo se det(A)=0.
• La matrice A è invertibile se e solo se l’applicazione lineare di A è iniettiva, che significa se x=y, x,y , allora Ax=Ay"¢c- .

Autovalore e autovettore

Autovalore e autovettore Data A appartenente all’insieme Mn(c), diciamo che c è autovalore € di A con autovettore x c, x=0, se e solo se A x= x.

E . .1Vettore Vettore1- Xx =/✗ e✗ = ,Ax t E✗- =1- II e✗ =× - /A- II ✗ e=- ){ ✗TIA- e=/ QII( A e=-

Dunque, due vettori diversi x e 0 vanno in 0!

Quindi A- I non è iniettiva e quindi A- I non è invertibile.\

Quindi det(A- I)=0 i [ 1-12 Aa? " ' "'_. ." ,.Jet "( "Jet "A AzzII ) -1Ars- ?= . . . i. Amii )Ana : :.... . .... .

Questo determinante consiste in prodotti e somme di elementi della matrice, quindi è un polinomio di variabile .

A un certo punto, nel calcolo del det, dovrò sommare il prodotto degli elementi sulla diagonale principale, che mi porta ad avere un termine del tipo ( )" . I" " - ÌÌ) 1- d) cnn.at( IIJet cmA t.co+ ↳- = +.. . .

Polinomio caratteristico

Polinomio caratteristico Questo polinomio, ovvero il det(A- I), è detto di A.

Gli zeri del polinomio caratteristico coincidono con gli autovalori. Infatti è autovalore se e solo se det(A- I)=0.i

Teorema fondamentale dell’algebra

Teorema fondamentale dell’algebra Una matrice n x n avrà n autovalori (eventualmente ripetuti)

Sia A Mn(c) e siano gli autovalori di A (eventualmente € 1 2 M, _ . . ,, ripetuti); Allora det(A)= La di in- . . . .

Una matrice A Mn(c) è invertibile se e solo se tutti i suoi autovalori sono C-diversi da zero.

Esempio sugli autovalori

esempio : gli autovalori calcoliamo A di :[ :]:a. :]-1:][ :] :: [ :iii.a- - ( ;]Jet )[) iJet :( IIA : -11+=- =È +1=0Ì a= - Ate Ti i±±± = ==r,

Quindi, A ha autovalori i.

Esempio 2 :):è :: O030 00 2:D ::°°[ °= ✗ o o0II 03D- 0= %, :]i: : ::: :: )( %Jet ( )) -1)D t(II )( t z3tr= - -.- --)II( D otde =-4- a)e-HEY o=

Posso prendere come soluzione dell’equazione sia =3 che =2. Però il 2 annulla tre binomio mentre il 3 ne annulla uno solo. Quindi gli autovalori di D sono 2 e 3; però 2 ha molteplicità algebrica 3, mentre 3 ha molteplicità algebrica 1. ✗ 1 2=tz 3=✗ 23 =↳ 2=

Autovalori di una matrice Hermitiana

Prendiamo una matrice A appartenente all’insieme Mn(c), A Hermitiana H(A=A ).

Allora ogni autovalore di A è reale. (Se è autovalore di A, allora Im( =Di i/ ,)hi-Fiovvero .

Dimostrazione

Dimostrazione: Dalla definizione di autovalore, è autovalore di A se Ax= x, x=0, per un certo x c?C- "x Ax=x x questo è un prodotto di 3 matrici:\"" A ✗×→, ,,dimensioneha" sxn× dimensioneA nxmha mAhdimensione✗ ha 1)) /(a)( 1 nnxn✗ ✗

Per poter fare il prodotto tra due matrici rettangolari, le dimensioni “interne” devono essere uguali, mentre il risultato avrà dimensione coincidente con le dimensioni “esterne”.

Quello che interessa a noi è che x Ax ha dimensione 1x1, ovvero è un H numero! " XX✗" 1-✗ ✗ = " "/" ( Ax-"" ✗" A ✗ =)( " Ax ✗-→ ✗ =

Prodotto tra matrici rettangolari

mat/P ¢Matrice n x p con a EclimiA [ .%-1 ". ._ ,,j °1= '. /, .. ¢[ Matrice p x m con bB E6 ji.?4i. -.j 1Marsili= , .. . ,

Posso fare il prodotto AB perché la matrice A ha un numero di colonne uguale al numero di righe di B. Il prodotto AB sarà una matrice di dimensioni n x m. :Dal : al': ÷...bp BÈ1 2, ,

Se A è una matrice quadrata n x n e B è una matrice di dimensione n x 1 •(vettore colonna), allora il prodotto AB corrisponderà con il prodotto matrice-vettore deve:} avereBÈUn B) colonna/ ¢A soloc- una, 6ns:)Af !1- D= 621

Se A è una matrice 1 x n (vettore-riga) e B è una matrice di dimensione n x 1 • (vettore-colonna), il prodotto sarà una matrice di dimensione 1x1 (un numero). ;)( §] ☐[ anazA- _ .ai . ;]µA ]A. [B- aaaa an ='-_ in ambu36 +t9161+926 a+ . . .},=

Proprietà del prodotto matrice-matrice

Proprietà del prodotto matrice-matrice:

• 1) A(B+C) = AB+AC(A+B)C = AC+AB
• 2) Se ho k cIEK(AB) = (KA) B = (KB) A
• 3) A(BC) = (AB)C
• 4) Se A è di dimensione n x m:A Im = Im A = ATTT
• 5) (AB) = B A.HH H
• 6) (AB) = B A invertibile. )Un )¢(-1 1? e(- A
• 7) (AB) = B A- ☐ ,,

Esercizio

esercizio : +'A Mn(c) Hermitiana (A=A )eB= A +4i Im invertibile'che B e .

Dimostrare Utilizziamo il fatto che B è invertibile se e solo se ogni autovalore di B è =0 -

Abbiamo visto che gli autovalori di B sono della forma +4i, dove è tt autovalore di A - !

Ma A è Hermitiana quindi i sono realit/Imiti 4i =

Ma un numero c con parte immaginaria uguale a 4 non può essere nullo.

Quindi B ha tutti gli autovalori =0. Quindi è invertibile.

Dimostriamo che gli autovalori sono +4i :aCon Ax= x Per x=01 txtsix1-( )x=Bx 1- tiGII ✗ + =+-_Bettini ) ✗=D !di BHai autovalore'e

Ma B è una matrice n x n e quindi ha esattamente x autovalori.

Anche A ha esattamente n autovalori, quindi se scrivo +4i"al variare di tra gli autovalori di A ottengo TUTTI gli ✗ .hntu . .. autovalori di B .

Come misuro la “lunghezza” di un vettore?

Come misuro la “lunghezza” di un vettore? x CC- dire quanto ×misura :modi Per3

Ci sono Norme: Normak=ÈÈ o=☒ → EuclideanormaÈ Normasi/ 1→✗la/ ☒ = , infinitoNormaI -K/ Max1×1 >=• JEM⇐ X ,

esempio ✗ i: =2=2 >-a✗⇐( fi) 1¥TÈ1×21 G✗ ==haha= di→fÉÈ= TINik = EVE/ti✗ =☒ / 21ti }HaI /=a 4)/ Fs( 4MI s =Max= ,,

• traValgono sia per i vettori colonna che per i vettori riga

Cerchi nel piano complesso

Cerchi nel piano complesso: }) I(lz sai c- 2{ ¢K -:ez=.K è il cerchio pieno (disco) nel piano c di centro (1+i) e raggio 2.

( )ZIma "1← raggio9- 2"?i ;..._ > Recz