misure meccaniche termiche e collaudo T

Misurazione

Misurazione: processo volto ad ottenere sperimentalmente uno o più valori che possono ragionevolmente attribuiti a una grandezza. La misurazione di una grandezza, si realizza mediante un confronto con un'altra, ad essa omogenea, assunta come unità di misura.

Misura: è il risultato numerico della misurazione

Misurando: è la grandezza che si intende misurare

Sistemi di unità di misura

• Sistemi incoerenti e coerenti. Un sistema di unità di misura è il complesso delle unità di tutte le grandezze fisiche, o di quelle che servono in un particolare settore. La scelta di un'unità di misura di una grandezza è, in linea di principio, arbitraria

Equazioni di coordinamento

Tutte le leggi fisiche sono rappresentabili mediante relazioni matematiche fra le misure di due o più grandezze. La misura di una grandezza risulta quindi proporzionale ad una certa funzione di una o più altre. La relazione tra le varie grandezze è definita come Equazione di coordinamento

Un sistema coerente è costituito in primo luogo dalle unità scelte arbitrariamente di un certo numero di grandezze assunte come fondamentali e poi dalle unità di tutte le altre grandezze, chiamate derivate, che vengono determinate dalle precedenti mediante equazioni di coordinamento opportunamente scelte.

Ogni equazione di coordinamento esprime l'unità g di una generica grandezza derivata come funzione di quelle delle grandezze fondamentali, indicando queste con si usa scrivere: essa è detta equazione dimensionale di g.

Esempio:

Se è il numero delle grandezze ed è il numero delle relazioni indipendenti che le legano, il numero delle grandezze fondamentali è Ragioni tecniche e storiche impongono un numero di grandezze fondamentali superiori al minimo teorico. Esempio la temperatura.

La scelta delle grandezze fondamentali è condizionata praticamente dalla qualità dei campioni che siamo in grado di realizzare delle loro unità poiché da essa dipende sostanzialmente la qualità, cioè la accuratezza di tutte le misure.

Requisiti dei campioni

Assolutezza: la grandezza fisica che il campione rappresenta non deve dipendere dal luogo in cui il campione si trova (es: il campione di forza costituito dal peso)

Stabilità: un campione deve risultare invariante nel tempo

• La stabilità a breve termine è influenzata prevalentemente dalla temperatura
• La stabilità a lungo termine è influenzata da modificazioni strutturali del materiale con cui è realizzato il campione

Riproducibilità: un campione deve essere disseminabile. Occorre avere la possibilità di realizzare delle copie di un campione.

Classificazione dei campioni

• Campioni naturali: un campione naturale è un'entità esistente e ben individuabile in natura (es: lunghezza d'onda)
• Campioni materiali o artificiali: un campione artificiale è un oggetto costruito dall'uomo (es: un regolo o un pendolo).
• Campioni primari: sono caratterizzati dal minimo livello di incertezza consentito dalla tecnica metrologica
• Campioni secondari: sono campioni tarati mediante confronto con i campioni primari

Il Sistema internazionale (SI)

• È un sistema coerente con 7 grandezze fondamentali: 1. Lunghezza 1) Il metro è la distanza percorsa dalla luce nel vuoto in una frazione di secondo pari a 1:299.792.458
• 2. Massa La sua unità di misura è definita tramite quella del tempo e facendo riferimento alla costante universale c. è come
• 3. Tempo se alla velocità fosse assegnato il ruolo fondamentale e come tale ne scegliessimo l'unità di misura e il suo
• 4. Corrente elettrica campione.
• 5. Temperatura 2) Il secondo è il tempo corrispondente a 9.192.631.770 periodi della radiazione corrispondente alla transizione
• 6. Intensità luminosa iperfina da (F=4, MF=0) a (F=3, MF=0) dell'atomo di Cesio 133, non perturbata da campi esterni.
• 7. Quantità di sostanza La riproducibilità dei campioni naturali basati su questa definizione è dell'ordine di , di gran lunga migliore di qualunque altro campione

3) Intensità luminosa. La candela è l'intensità luminosa in una data direzione di una sorgente che emette una radiazione monocromatica di frequenza la cui intensità energetica in quella direzione è 1/683 watt allo steradiante.

L'utilità di definire autonomamente la candela cd, unità di questa grandezza, consiste nel poter disporre di una misura dell'intensità luminosa proporzionale alla sensazione visiva.

• Flusso luminoso (lumen ): quantità di luce emessa da una sorgente
• Luminanza (nit : intensità luminosa di una sorgente per unità di superficie
• Illuminamento (lux : quantità di luce incidente su una superficie per unità di area

4) Kilogrammo: è definito prendendo il valore fisso della costante di Planck quando espressa nell'unità che è uguale a dove metro e secondo sono definiti in termini di e .

Realizzazione del campione

• (legge di Planck, )
• Bilancia di Watt o di Kibble (Mette in relazione: massa, tensione e corrente. possibile realizzazione del campione)

Tensione e corrente sono misurate con strumenti quantistici "legati" alla costante di Planck

Per determinare ed si sfruttano due fenomeni, noti come effetto Josephson ed effetto Hall quantistico.

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5) Ampere: è l'unità della corrente elettrica. È definita prendendo il valore e della carica elementare 1.602176634x10^-19 espressa in C, uguale ad A/s dove il secondo è espresso in termini di .

6) Kelvin è l'unità di misura nel SI unità della temperatura. È definita prendendo il valore della costante di Boltzmann espressa in che è uguale a dove il kilogrammo, metro sono definiti in termini di e .

L'effetto di questa definizione è che un kelvin è uguale alla variazione della temperatura termodinamica che si traduce in una variazione dell'energia termica kT di 1.380649

7) Quantità di sostanza. La mole, nel sistema internazionale SI è la quantità di sostanza. Una mole contiene esattamente 6.02214076 di unità elementari. Questo numero è il valore della costanza di Avogadro espresso nell'unità chiamato numero di Avogadro.

Quando si usa la mole le entità elementari devono essere specificate e possono essere atomi, molecole, ioni, elettroni…

Grandezze supplementari

• Radiante (rad): il radiante è l'angolo al centro di una circonferenza, di raggio arbitrario che sottende un arco di lunghezza uguale al raggio stesso.
• Steradiante (sr): lo steradiante è l'angolo solido al centro di una sfera, di raggio arbitrario che sottende una superficie uguale al quadrato del raggio stesso elementi di metrologia Pagina 2

Probabilità

Probabilità: è il rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili, purché siano tutti ugualmente possibili. Questo tipo di definizione è detta frequentista poiché è ottenuta valutando la frequenza con cui un risultato appare durante la prova. Probabilità condizionata P[A|B] (teoremi di Bayes): è la probabilità che ha un evento qualsiasi A di manifestarsi, se si manifesta un evento B, detto condizionante. la probabilità del prodotto di due eventi è : . Se risulta P[B|A]=P[B] si dice che B è indipendente da A. Risulta quindi che se A e B sono due eventi indipendenti risulta

Variabili aleatorie

Variabili Aleatorie: si definisce v.a. ogni volta che si stabilisce una regola mediante la quale si fa corrispondere un numero (reale), e uno solo, a ogni risultato di un esperimento aleatorio. A ogni valore di una v.a. corrispondono uno o più risultati, cioè un sottoinsieme di S, quindi un evento.

Supponiamo di voler misurare la velocità di un mezzo in moto rettilineo uniforme. Si fanno in tutto 20 letture. Per un certo numero il valore è 49 km/h, 50 km/h ed 51 km/h. . il display dello strumento rappresenta la variabile aleatoria. Ad ogni valore poi corrisponde una probabilità. La probabilità associata al valore 49 km/h è ; 50 km/h ; 51 . la distribuzione delle probabilità in questo caso della v.a. "velocità" è quindi Distribuzione di probabilità di una v.a.: all'insieme delle probabilità associate a tutti i valori di una v.a. si dà il nome di distribuzione di probabilità.

• Gli eventi corrispondenti ai valori di una v.a. sono tutti fra loro incompatibili, dato che all'atto dell'effettuazione dell'esperimento la v.a. può assumere un solo valore
• La loro somma è l'evento certo, poiché un valore certamente si manifesta dunque

Ci interessa trovare un centro e un parametro che rappresenti la dispersione attorno al centro. Momento di ordine n : è la media pesata, con probabilità come pesi, della potenza ennesima della v.a. Il centro di una distribuzione è individuato dal momento del primo ordine, detto valore medio (v.m.): . Si chiama scarto di una v.a. la differenza tra la v.a. stessa e il suo v.m., Lo scarto è una nuova v.a. e si deduce subito che il v.m. è nullo. Si chiama varianza di una distribuzione di probabilità il momento del secondo ordine del suo scarto:.

• Tutti gli addendi sono essenzialmente positivi, quindi la varianza è sempre positiva e diversa da zero (è uguale a 0 solo se fosse una costante)
• È tanto più grande quanto più sono probabili scarti grandi, e può essere quindi considerata una misura della dispersione della distribuzione attorno al proprio v.m.
• La radice quadrata della varianza , presa col segno +, si chiama scarto quadratico medio o deviazione standard.

Distribuzioni continue di probabilità

In generale un singolo punto ha probabilità nulla, perché la probabilità dell'evento certo, che è l'intera retta, è finita e uguale a 1. Si parla allora di probabilità finita solo in relazione ad intervalli, finiti o infiniti.

Si definisce Funzione di Distribuzione , con , la probabilità che la variabile assuma valori minori o uguali ad :

• , Perché è impossibile
• , Perché è certo
• È una funzione non decrescente, cioè se è
• .

Per v.a. continue la derivata: definisce la densità di probabilità. È:

In particolare è: Distribuzione uniforme

Si consideri una v.a. con densità di probabilità costante (k) in un certo intervallo e nulla all'esterno. È : , da cui

Per il valor medio e la varianza si ha:

Distribuzione normale

La più importante fra le distribuzioni continue è la distribuzione normale o di Gauss con densità di probabilità: . Si dimostra che tale distribuzione ha v.m. e varianza . Importanza della distribuzione normale

Teorema del limite centrale: sommando valori di una variabile aleatoria con densità di forma qualsiasi, media e varianza , si ottiene una v.a. che tende in distribuzione alla normale con media e varianza , al tendere di all'infinito.

Se invece della somma si esegue il valor medio è immediato dimostrare che la variabile così ottenuta, oltre alla distribuzione approssimativamente normale, ha la stessa media delle variabili mediate e varianza inferiore pari a , quindi è meno dispersa

Teorema di Laplace-Liapunov. Anche la somma di variabili fra loro indipendenti, aventi distribuzioni diverse l'una dall'altra, tende ad una v.a. con distribuzione normale purché siano soddisfatte certe condizioni (basta che fra le v.a. non ve ne siano alcune con varianza molto più grande di tutte le altre.)

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Notare come nella seconda immagine si abbia praticamente una distribuzione normale

Statistica

La statistica è un metodo di indagine che permette di stimare le caratteristiche di un'intera popolazione" dall'osservazione di quelle di un numero limitato di individui presi come "campione". La teoria delle probabilità è lo strumento matematico utilizzato a questo fine; permette di prevedere quali saranno le caratteristiche di un campione estratto a caso da una popolazione nota.

• La qualità della misura (attendibilità) dipende dalle modalità di prelievo del campione

Affinché un campione estratto da una popolazione sia significativo è necessario che esso possieda, per quanto possibile, le stesse caratteristiche della popolazione.

Per ottenere un campione significativo occorre fare in modo che ogni elemento della popolazione abbia la stessa probabilità degli altri di essere estratto. Se questa condizione è soddisfatta il campione è casuale ed ogni suo elemento è una variabile aleatoria con la stessa distribuzione della popolazione.

Solitamente nelle nostre applicazioni la condizione di casualità del campione è in genere realizzata senza che sia necessario adottare particolari accorgimenti, ma not always.

• 1. Risulta necessario controllare che le condizioni in cui vengono ripetute le misure rimangano sufficientemente costanti da poter considerare invariato il misurando, e quindi la popolazione dei risultati delle misure
• 2. Occorre verificare che lo strumento di misura non produca alterazioni del misurando o almeno che di esse si tenga conto
• 3. L'operatore non deve alterare la casualità del campione scelto

Da un campione significativo è possibile ricavare, sia pure con una certa approssimazione, tutte le informazioni relative ad una popolazione. Spesso però ci basta conoscere soltanto il valore di alcuni parametri che caratterizzano la stessa quali ad esempio la media e la dispersione intorno alla media indicata dalla deviazione standard .

Si chiama stimatore di un parametro della popolazione la funzione dei valori campionari utilizzata per misurare quel parametro.

Mentre i parametri della popolazione, sono variabili aleatorie essendo ricavati dal campione che, per come è stato estratto, è un vettore di variabili aleatorie.

• 1. Corretto (unbiased) quando il suo valore medio coincide con il parametro da stimare; altrimenti si dice distorto (biased)
• 2. Asintoticamente corretto se il suo valore medio tende al valore del parametro al tendere all'infinito della numerosità del campione
• 3. Consistente quando è corretto e la sua varianza tende a zero al crescere della numerosità del campione.
• 4. Più efficiente di un altro quando "approssima meglio" il parametro a parità di
• 5. Efficiente quando è più efficiente di tutti

Rappresentazione frequenziale

Rappresentazione frequenziale della distribuzione di probabilità di una v.a. Diversi metodi tra cui: Grafici "rami e foglie", distribuzione di frequenza (istogrammi) Definizioni

Moda: determinazione a cui corrisponde la massima probabilità puntiforme (caso continuo) o la massima densità di probabilità (caso continuo)

Mediana: determinazione che soddisfa la seguente equazione:

Frattile (o quantile) di ordine p: determinazione per cui

Lo stimatore più usato per il valore medio della popolazione è la media aritmetica m degli n valori campionari

Esso risulta uno stimatore consistente ed efficiente. Ad esso, come si è visto, si può attribuire la varianza: essendo la varianza della popolazione. Quando si devono mediare variabili con diversa dispersione può convenire effettuare una media pesata in modo da attribuire maggior peso ai valori meno dispersi. Ad esempio conviene ricorrere ad una media pesata quando si deve stimare il valore medio da altri valori medi ottenuti da campioni di diversa numerosità. Detti e i valori da mediare e le rispettive varianze, la media pesata vale: essendo la condizione che rende corretto lo stimatore , mentre i pesi possono ad esempio essere presi di valore proporzionale all'inverso della varianza.

Se si conosce soltanto il valore stimato della media della popolazione, uno stimatore corretto della varianza della popolazione stessa è dato dall'espressione: Per cui lo stimatore della varianza della media campionaria risulta:

In presenza di errori aleatori, poiché la deviazione standard del valore medio , cioè la sua dispersione, decresce con la radice quadrata del numero dei valori, è evidente l'utilità di mediare più risultati di una misura per ridurre la sua incertezza

La variabile aleatoria "media" è dispersa meno di quanto non lo sia la variabile aleatoria da cui essa origina. Si definisce un intervallo, detto intervallo di confidenza, entro cui il valore della media può trovarsi con un assegnato valore di probabilità. Per calcolare il valore dell'intervallo di confidenza occorre conoscere la forma ed i parametri della distribuzione della elementi di metrologia Pagina 4 variabile aleatoria. Se essa è la media campionaria di molti valori, il Teorema del Limite Centrale garantisce che la sua distribuzione sia approssimativamente normale quando il suo numero di valori mediati è sufficientemente grandi. Si può scrivere . essendo il fattore di copertura ed è un coefficiente ricavabile dalle tabelle di probabilità della normale standard per ogni valore prefissato di probabilità che si intende associare all'intervallo di confidenza. Ad esempio