Missione sommersa

La notte del 25 agosto i sismografi del mondo intero registrano scosse di grado 8,5 della Scala Richter, con epicentro nell'Oceano Pacifico. La zona era già sotto osservazione da tempo per la intensa attività vulcanica sommersa.

Si teme che un'eruzione a scala imponente possa causare preoccupanti spostamenti di una placca continentale. Gli scienziati di diversi Paesi, dopo consultazioni, propongono l'invio di un mezzo subacqueo per accertamenti.

Gli Stati Uniti decidono di inviare un sottomarino nucleare ad uso civile, attrezzato con sistemi di monitoraggi subacquei (foto, video, rilievi e misure varie). Il sommergibile NHT-528-RX parte in missione dalla base di San Diego, in navigazione subacquea verso la destinazione. Il mezzo viaggia alla velocità costante

nodi, prossima al limite massimo del mezzo. Sono note le caratteristiche geometriche e fluidodinamiche del mezzo (file EXCEL allegato).

Resistenza al moto e potenza richiesta

Desideriamo calcolare la potenza necessaria a mantenere il moto.

Il sommergibile ha la forma di un sigaro (quindi a sezione circolare), opportunamente sagomato alle estremità per minimizzare la resistenza al moto. Sappiamo che un mezzo immerso in un fluido, in moto relativo, è soggetto ad una forza resistente che si oppone al moto, che in generale è così definita:

Mentre la potenza dissipata, per definizione, è data dal prodotto della forza per la velocità.

Dove:

• [math]c_x[/math]
  = coefficiente di resistenza
• [math]ho[/math]
  = densità del fluido
• [math]v_0[/math]
  = velocità
• [math]S[/math]
  = sezione trasversale del mezzo

Il file EXCEL allegato contiene tutti i dati necessari e riporta il calcolo di resistenza e potenza con le formule (1) e (2). Perché il moto avvenga a velocità costante la potenza dissipata così calcolata deve essere esattamente uguale a quella (meccanica) fornita dalle eliche (

) che spingono il sommergibile. Ma il mezzo che produce la potenza, a monte delle eliche, è l'energia nucleare. Come è noto, l'energia deriva dalla fissione del nucleo (della quale parleremo in seguito). Il calore generato dalla fissione viene trasferito a dei fluidi tramite scambi termici con circuiti pressurizzati. Infine un ciclo termodinamico trasforma la potenza termica in potenza meccanica, per mezzo di una turbina.

La Termodinamica (2 Principio) ci ricorda che solo una frazione del calore prodotto può essere convertito in potenza meccanica; al massimo si può ottenere un rendimento termodinamico

pari a quello del ciclo di Carnot che operi tra le stesse temperature (rispettivamente sorgente di calore e refrigerante). Inoltre la potenza meccanica ottenuta sull'asse della turbina deve essere trasmessa alle eliche; questo avviene con inevitabili perdite per attriti, per il tramite dell'efficienza (meccanica) della trasmissione .

In definitiva la potenza alle eliche è solo una frazione della potenza nucleare:

Quindi la potenza nucleare necessaria per la propulsione è data da:

Naturalmente il sommergibile necessita anche di una notevole potenza elettrica per i numerosi servizi di bordo (pompaggio, compressione, riscaldamento, illuminazione, strumentazione). Immaginiamo che ci voglia un ulteriore 30% rispetto a

.

In definitiva la potenza nucleare totale vale:

Possiamo così calcolare la potenza complessiva richiesta (file EXCEL).

Riduzione della velocità

Supponiamo ora che dopo una lunga navigazione subacquea il sommergibile arrivi in prossimità della zona da indagare. Il comandante si avvede che la velocità di crociera è troppo alta e si rischia di andare oltre. L'errore commesso potrebbe essere dovuto ad imprecise indicazioni dei giroscopi. Si desidera ridurre la velocità di marcia da 27 a 10 nodi.

Si decide allora di fermare le eliche. In assenza di propulsione la resistenza fluidodinamica rallenterà il moto. Ci chiediamo per quanto tempo deve continuare la fermata e quanto spazio si percorre.

Bene, ora il calcolo è un po' più complicato. Mentre nel caso precedente (formule 1 e 2) si aveva un moto a velocità costante, nel quale si bilanciavano tra loro la resistenza fluidodinamica e la reazione del fluido alla spinta delle eliche, nel calcolo attuale ci troviamo un mezzo in moto accelerato (accelerazione negativa) nel fluido. Abbiamo un sommergibile soggetto a una forza variabile che si oppone al moto: la resistenza del fluido. Dobbiamo quindi applicare il secondo principio della dinamica: forza = massa*accelerazione. In formule:

Per risolvere poniamo:

e dividiamo ambo i membri per . La semplice equazione differenziale (3) diventa a variabili separabili:

In definitiva il tutto si riduce al calcolo di due integrali definiti:

Che integrata diventa:

Che risolviamo rispetto a

:

Si tratta chiaramente di una funzione iperbolica. La velocità tende a

quando t tende ad .

Se invece risolviamo la (4) rispetto a

, possiamo calcolare quanto tempo ci vuole affinché la velocità rallenti fino a raggiungere il valore : (5')

Per calcolare quanto spazio richiede la frenata ci ricordiamo che lo spazio percorso è dato, in generale, dal prodotto della velocità per il tempo impiegato a percorrerlo. Questo vale, chiaramente, anche se spazio e tempo sono infinitesimi:

E sostituendo la (5) al posto di v:

Ora non resta che integrare, separatamente, i due membri della (6):

Raggiunto l'obiettivo vengono fatti i necessari monitoraggi. Poi il sommergibile riparte per riportare a terra i dati da analizzare e interpretare.

Fabbisogno di energia per l'intera missione

Vogliamo fare un bilancio energetico dell'intera missione.

Supponiamo che la durata totale della navigazione sia stata di 20 giorni, e che sia stata misurata, ad intervalli di tempo regolari, la potenza istantanea. In tal modo è possibile tracciare la curva della potenza (in questo caso espressa in MW) in funzione del tempo (misurato in ore). Per definizione l'energia è l'integrale della potenza nel tempo. Vale a dire che è l'area sotto la curva (tempo, potenza).

Dal momento che nel nostro caso non possediamo una definizione analitica della potenza in funzione del tempo, dovremo effettuare l'integrazione con un metodo numerico. Ne esistono diversi: proviamo ad usare quello di Simpson:

Per usare la formula si suddivide l'intervallo di integrazione in intervalli (temporali) costanti di ampiezza (h). Il file EXCEL riporta la tabella con i calcoli. Risultato: l'energia complessiva è di

(1 TeraJoule = .

Si tratta di una grande quantità? Vediamo: una famiglia media italiana consuma in un anno

. Il consumo del sommergibile in questa missione è dunque pari a famiglie per un intero anno.

Consumo di combustibile nucleare per la missione

Per valutare il consumo di combustibile ci serve qualche informazione in più. Si è detto che la produzione di energia avviene mediante fissione nucleare. Fissionare significa rompere. Che cosa? Una sostanza fissionabile, nel nostro caso Uranio 235, in simboli

. Per ottenere la fissione è necessario porre in un reattore nucleare questo composto, con una massa adeguata (massa critica). Se un nucleo di viene colpito da un neutrone si rompe in frammenti più piccoli con produzione di altri neutroni, i quali continuano la reazione con un processo a catena opportunamente controllato. Una delle reazioni chimico-nucleari che avvengono è la seguente: Un nucleo di

[math]U_{235}[/math]

, colpito da un neutrone si scinde in isotopi di Bario e Kripton + 2 neutroni.

Ma esistono diverse altre reazioni, altrettanto probabili. Le reazioni complessive producono circa 200 MeV (Mega elettronVolt), per ogni nucleo di

fissionato. L'energia sviluppata non è di tipo chimico, ma nucleare, vale a dire proviene dalla trasformazione di massa in energia. Questo avviene sulla base della equazione di equivalenza massa-energia, la nota formula di Einstein: . Di questa energia circa il 5% viene emessa come raggi gamma, che sono dispersi. La differenza viene ricuperata come calore, che sarà poi convertito parzialmente in energia meccanica ed elettrica. Il combustibile nucleare sottoposto a fissione è uranio arricchito, vale a dire una miscela di (5%) e (95%). Il file EXCEL riporta in dettaglio il calcolo del combustibile consumato durante l'intera missione. Risultato finale: circa 4 kg di , corrispondenti a 83 kg di combustibile. Massa trasformata in energia: 3,6 g. Davvero piccola!

Riepilogo

Abbiamo utilizzato la formula che determina la resistenza fluidodinamica al moto del sommergibile. Nel moto a velocità costante questa resistenza deve essere bilanciata da una forza eguale e contraria, la spinta del fluido sull'elica. Per il Terzo principio della Dinamica (Ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria) questa spinta deve essere, a sua volta, uguale e contraria alla spinta che l'elica esercita sul fluido. Abbiamo quindi calcolato la potenza come prodotto spinta * velocità.

Nel moto a eliche ferme abbiamo usato il Secondo principio della dinamica (massa*accelerazione = forza) per determinare l'andamento della velocità del sommergibile, con una semplice equazione differenziale, facilmente risolvibile.

Una ulteriore integrazione della velocità nel tempo, ci ha permesso di calcolare lo spazio percorso a motore spento.

Abbiamo poi calcolato l'energia totale utilizzata nella missione tramite il calcolo numerico dell'area sotto la curva

: l'integrale della potenza nel tempo determina l'energia consumata.

Abbiamo infine calcolato il consumo di

, e di combustibile. E la massa trasformata in energia, con il principio di equivalenza massa-energia.