Meridiane solari un'interpretazione geometrica

Meridiane solari: un’interpretazione geometrica

Diego Alberto, marzo 2005

Ringraziamenti

A Gabriella,

Desidero ringraziare Roberto Garello, Bruno Leone e Marco Massazza per il tempo dedicatomi.

Un pensiero va a Natale Maffioli e all’amore che ha saputo trasmettermi per il passato in generale.

Agli uomini non importa quanto nobilmente vivano, ma solo quanto a lungo, benché sia nelle possibilità di tutti vivere nobilmente e invece nelle possibilità di nessuno allungare la vita.

[Seneca, 40 a.C. - 50 d.C.]

Indice

Ringraziamenti II

1 Meridiane solari: un’interpretazione geometrica 1

1.1 Che cos’è una meridiana solare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Arco diurno solare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Tipi di meridiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1 L’ombra proiettata dallo stilo e le diverse numerazioni orarie 4

1.3.2 Meridiane orizzontali con gnomone parallelo all’asse terrestre 10

1.3.3 Meridiane orizzontali con gnomone perpendicolare a terra . . 12

1.3.4 Meridiane verticali con gnomone parallelo all’asse terrestre . 13

1.3.5 Meridiane verticali con gnomone perpendicolare al muro . . . 16

1.3.6 Declinazione parete e piano inclinato . . . . . . . . . . . . . . 19

A Simulazione di meridiana con Matlab 25

B Un esempio di meridiana reale 34

C Qualche motto... 37

Bibliografia 38

Capitolo 1

Meridiane solari: un’interpretazione geometrica

1.1 Che cos’è una meridiana solare

Per meridiana solare intendiamo un orologio in grado di indicare l’ora, giorno per giorno, anno per anno sfruttando l’ombra di uno stilo proiettata su di un piano (verticale, orizzontale o inclinato) dal Sole durante il suo moto apparente diurno (e annuale) nella Sfera Celeste.

Fin dall’antichità l’uomo ha cercato di misurare il tempo per i motivi più svariati come individuare specifici periodi dell’anno: per effettuare la semina, il raccolto, per fare previsioni di eclissi, di inondazioni, oroscopi,... sfruttando le tecniche più disparate, si pensi ai monoliti di Stonehenge del II millennio a.C. che permettevano di segnalare i cambi di stagione, agli obelischi egizi, ai giganteschi gnomoni indiani e cinesi che venivano usati anche per prevedere le eclissi.

Gli annali cinesi raccontano infatti che nel 2169 a.C. gli astronomi imperiali Ho e Hi sotto il regno di Ciu-Kang vennero giustiziati mediante decapitazione per non essere stati in grado di prevedere l’eclissi di Sole verificatasi quell’anno (la prima che sia stata registrata nella storia dell’astronomia).

Non bisogna dimenticare il ruolo divino ricoperto dal Sole presso molte popolazioni per la sua luce, il suo calore e le caratteristiche fisiche che hanno impressionato tutti i popoli dell’antichità facendo sbocciare veri e propri culti religiosi.

Le meridiane possono essere solari, lunari o astronomiche; tutte servono per scandire il corso del tempo, nella trattazione che segue ci occuperemo delle meridiane solari.

Il termine tempo deriva dal greco tèmnō e dal latino temperare, entrambi significano l’atto con cui qualcosa è diviso secondo ordine e misura.

1

1 – Meridiane solari: un’interpretazione geometrica

1.2 Arco diurno solare

Ogni giorno il Sole descrive, nel suo moto apparente, un arco di circonferenza di ampiezza che è funzione del periodo dell’anno considerato. Tale arco giace su un piano la cui inclinazione dipende dalla latitudine del luogo considerato.

1

§1.5 §1.6

Nei capitoli e abbiamo ricavato le coordinate locali di altezza e azimut del Sole, istante per istante per il luogo ed il periodo dell’anno considerati.

Combinando tali valori possiamo rappresentare l’arco diurno solare della specifica giornata.

Ecco le equazioni che ci permettono di passare al grafico tridimensionale, si tratta di un passaggio da coordinate sferiche (R, Az, Al = raggio, azimut, altezza) a coordinate cartesiane con origine in (0,-1,0), con riferimento alla fig. 1.17:

· ·

x = R sin(Az) cos(Al)

−R · − ·

y = (1 cos(Az) cos(Al))

·

z = R sin(Al)

Ecco il grafico, in rosso l’andamento al Solstizio d’Estate, in verde quello d’Inverno, in blu la data considerata (25/7, località Foglizzo Canavese (To)), le ore sono locali e solari. L’osservatore è posto all’intersezione dei punti cardinali.

Arco descritto dal Sole nel giorno considerato (in blu)

13 14

12 15

11

0.8 16

10

0.6 17

Z 9

asse 0.4 18

0

1

2

3

4

20

21

22

23

24

0.2 8 19

S

0 W

7

0 E 0.5

-0.5 N

6 0

-1 5 -0.5

-1.5

asse Y asse X

1 vedi Il Sole: un amico caloroso

2 vedi Il Sole: un amico caloroso 2

1 – Meridiane solari: un’interpretazione geometrica

1.3 Tipi di meridiane

I principali tipi di meridiane solari che tratteremo nel seguito sono:

• Orizzontali
• Verticali

Approfondiremo inoltre la differenza tra stilo perpendicolare (al piano su cui viene proiettata l’ombra) e stilo parallelo all’asse terrestre.

Nella figura 1.1 mostriamo come siano duali le situazioni di meridiana orizzontale e meridiana verticale entrambe con stilo parallelo all’asse terrestre: si osservino massimi e minimi delle ombre ai solstizi; per le meridiane con stilo perpendicolare vale lo stesso ragionamento, cambia solo la direzione dell’ombra.

piano P

N

estate

equin

cerchio

orario inverno

estate stilo piano

orizzontale

equin ombra

cerchio stilo

orario ombra

inverno piano

verticale

Figura 1.1.

3

1 – Meridiane solari: un’interpretazione geometrica

1.3.1 L’ombra proiettata dallo stilo e le diverse numerazioni orarie

In questa sezione cercheremo di dimostrare che, fissata una specifica ora del giorno (ad esempio le 10 del mattino), il luogo dei punti che sulla meridiana indica quell’ora è un segmento, ovvero una porzione di retta.

Consideriamo per primo il caso di una meridiana orizzontale con stilo (in verde nella figura) parallelo all’asse terrestre: una determinata ora durante l’anno, costituisce un segmento poiché la direzione dell’ombra (giorno per giorno) è la stessa, varia solo la lunghezza dell’ombra, in quanto la posizione del Sole sull’orizzonte (fissata l’ora) varia quotidianamente, vedi cap. §1.5. Supponiamo che siano le 10 del mattino, quindi la distanza in gradi dal riferimento (il mezzogiorno) corrisponde a 2 · 15 = 30°, abbiamo così fissato il valore di α°.

Z P

N

M estate W

M α

equin lat

α C

M o estate

inver.

α o.

S N

α C

o equinozio

.

C inverno

E

Figura 1.2.

mattino, quindi la distanza in gradi dal riferimento (il mezzogiorno) corrisponde a

o o

·

2 15 = 30°, abbiamo così fissato il valore di α°.

o

3 vedi Il Sole: un amico caloroso 4

1 – Meridiane solari: un’interpretazione geometrica

che contiene tutti i centri delle circonferenze, che individuano la traiettoria dei vari archi solari diurni, è parallelo all’asse terrestre ed individua un diametro nella Sfera Celeste.

Come possiamo notare, fissare l’angolo α (vedi fig. 1.2), di giorno in giorno,

o

corrisponde a sezionare la Sfera Celeste individuandone uno spicchio.

La posizione del Sole alla stessa ora, nel corso dell’anno, traccia un arco sulla Sfera Celeste che prende il nome di cerchio orario.

Se lo stilo (in verde nella figura) è parallelo all’asse terrestre ed è elemento (= è contenuto all’interno) della retta che è orientata verso il Polo Nord (ovvero parallela all’asse terrestre), allora il cerchio orario di una qualsiasi ora della giornata e la suddetta retta sono elementi di un piano (elemento a sua volta di un fascio proprio di piani avente come generatrice proprio tale retta) vedi fig. 1.3.

P

piano N

estate

equin

cerchio

orario inverno stilo ombra

Figura 1.3.

Questo piano conterrà la retta che individua la direzione dei raggi del Sole, inoltre, contenendo anche tutto lo stilo (non solo la punta), conterrà anche l’ombra (in nero nella figura) dello stilo, indipendentemente dalla lunghezza dell’ombra che è funzione della posizione del Sole nel cerchio orario (= periodo dell’anno). Le ombre convergono nel punto in cui viene piantato lo gnomone nel suolo, quindi, da un punto di vista pratico, se vogliamo individuare la direzione (= retta, abbiamo bisogno di due punti) dell’ombra per ogni ora della giornata abbiamo bisogno di conoscere i valori di altezza e azimut (ora per ora) di una singola giornata. Ovviamente la lunghezza dell’ombra dipende dalla posizione del Sole nel cerchio orario, cioè dal periodo dell’anno.

Per essere sicuri di non dimenticare le prime ore del mattino (visibili solo in estate), conviene sfruttare le coordinate solari del dì più lungo: il Solstizio Estivo.

Volendo conoscere per ogni ora gli estremi dell’ombra, bisogna ricavare la direzione.