Il sole, un amico caloroso

Il Sole: un amico caloroso

Diego Alberto, Novembre 2004

Ringraziamenti

A Gabriella,

Desidero ringraziare Roberto Garello, Bruno Leone e Marco Massazza per il tempo dedicatomi.

Un pensiero va a Natale Maffioli e all’amore che ha saputo trasmettermi per il passato in generale.

Laudato sie, mi’ Signore, cum tucte le Tue creature,

spetialmente messor lo frate Sole,

lo quale è iorno, et allumini noi per lui.

Et ellu è bellu e radiante cum grande splendore:

de Te, Altissimo, porta significatione.

[S. Cantico delle Creature - 1224]

Francesco, II

Indice

Ringraziamenti II

1 Il Sole: un amico caloroso 1

1.1 Situazione Orbita Terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Ore di illuminazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Applicazione II legge di Keplero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 Altezza del Sole a mezzogiorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5 Altezza del Sole nella giornata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.6 Azimut del Sole nella giornata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.7 Equazione del Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

A Altezza del Sole a Mezzogiorno: secondo metodo 36

B Sorgere e tramonto del Sole 38

Bibliografia 40

III

Capitolo 1

Il Sole: un amico caloroso

1.1 Situazione Orbita Terrestre

Il Sole scandisce da sempre la nostra vita sulla Terra, nel suo moto apparente giornaliero ci riscalda, ci illumina e con i suoi passi dà il ritmo usuale alla nostra esistenza, al pari di un metronomo. Il lavoro che segue vuole ripagare la nostra stella più vicina con una sorta di presa di coscienza e di ringraziamento per il dono che elargisce quotidianamente.

Vogliamo ricavare una formula che, noti i valori di latitudine e longitudine del luogo interessato ed il giorno dell’anno (gg/mm), restituisca il numero di ore di illuminazione (dal sorgere al tramonto del Sole).

Consideriamo l’orbita terrestre: 1

1 – Il Sole: un amico caloroso

Figura 1.1.

In un qualsiasi giorno dell’anno (es: estivo 25/7) la Terra si trova in un generico punto P dell’orbita (figura 1.1), nell’esempio compreso tra il Solstizio d’Estate (21-6) e l’Equinozio d’Autunno (23-9). Secondo le leggi di Keplero, un pianeta descrive un’orbita ellittica attorno al Sole e questo si trova in uno dei due fuochi (per la Terra il più lontano dal Solstizio Estivo per l’emisfero Boreale il 21-6).

Inoltre un pianeta descrive aree uguali in tempi uguali, cioè si muove più velocemente in prossimità del perielio (quando è più vicino al Sole) rispetto a quando si trova nelle vicinanze dell’afelio (il punto più lontano del pianeta dall’astro). Supponiamo per semplicità che la Terra sia una sfera perfetta (e non un geoide) e che si trovi nel punto P, i raggi del Sole la colpiranno con inclinazione di α gradi rispetto alla linea dei Solstizi con centro il fuoco dell’ellisse orbitale (occupato dal Sole); guardando dall’alto, facendo una proiezione sul piano xy, osserviamo:

2

1 – Il Sole: un amico caloroso

Figura 1.2.

L’orbita è ellittica, tuttavia essendo l’eccentricità molto bassa (0.017) sembra circolare, comunque ingrandendo possiamo osservare il centro dell’ellisse ed il fuoco (centro del Sole: intersezione della linea degli Equinozi con quella dei Solstizi) come punti separati (vedi figura 1.3). 3

1 – Il Sole: un amico caloroso

Figura 1.3.

4

1 – Il Sole: un amico caloroso

1.2 Ore di illuminazione

Nella prima proiezione (quella sul piano xy, fig 1.4.a) la circonferenza che separa la zona d’ombra

Fig 1.4.a α visione

dall’alto

N C S

. F

y x α;

α;

S O

N ε Eq

Fig 1.4.b A

.

F visione

A=K laterale

C ε

z α l γ zona

d’ombra

x S zona

Fig 1.4.c ρ d’ombra

.

A

ϑ O

r ρ

2 N=S=C

visione

z ϑ

N

ε dall’alto r

y b

⊥ Equatore R

F K

x

ε = 23° 27’ inclinazione asse Figura 1.4.

La zona in ombra da quella illuminata dal Sole è rappresentata da un segmento (effetto prospettico) perpendicolare alla direzione dei raggi solari. Questa circonferenza, proiettata sul piano xz (fig 1.4.b) diventa un’ellisse di semiasse maggiore R (raggio della circonferenza) e minore Rsin(α) (per comodità considereremo il raggio unitario R=1) dove α è l’angolo sotto il quale i raggi del Sole illuminano la Terra nello specifico giorno considerato.

5

1 – Il Sole: un amico caloroso

Ogni punto del Pianeta, in un giorno compie una rotazione di 360^o attorno all’asse terrestre (considerata rispetto alle stelle fisse, non rispetto al Sole; si tratta di un’ulteriore approssimazione, in quanto rispetto al Sole tale rotazione va aumentata di una piccola quantità variabile di circa 1^o, corrispondente ad una variazione massima nel tempo di circa 4 min, vedi sezione Equazione del Tempo); in questa rotazione, il punto considerato descrive una circonferenza di raggio r pari a Rcos(α_lat), dove R è sempre il raggio (unitario) della Terra e α_lat è l’angolo di latitudine del luogo considerato.

Per ricavare il numero di ore di illuminazione è sufficiente trovare le intersezioni tra la circonferenza descritta dal punto (del luogo considerato, di raggio r) e la circonferenza che divide la porzione in ombra da quella in luce della Terra (di raggio R, che vista in proiezione sul piano xz, diventa un ellisse), a questo punto, secondo questo procedimento, basta ricavare i valori dei due angoli esplementari individuati dalle due intersezioni e dal centro delle circonferenze.

Le circonferenze sono sempre concentriche ma non sono mai complanari poiché quella della linea d’ombra giace su un piano perpendicolare al Piano dell’Eclittica, mentre quella tracciata dal punto sulla Terra, giace su un piano parallelo all’Equatore e quindi inclinato di 23^o 27’ sempre rispetto al piano orbitale.

Noti tali angoli, diventa semplice ricavare le ore di illuminazione (quelle in ombra sono il complemento a 24 ore) con una semplice proporzione: l’angolo considerato sta a 360^o come il numero di ore di illuminazione sta a 24 ore (si tratta di un’ulteriore approssimazione: la Terra per ruotare di 360^o impiega solo 23 ore 56 min 4 sec).

Vediamo quindi come ricavare le intersezioni tra le due circonferenze:

Una possibile soluzione è quella di considerare una nuova proiezione (vedi fig 1.4.c): quella condotta perpendicolarmente al piano dell’Equatore, fissando il punto di osservazione sull’asse polare (polo Nord ad esempio). Secondo questa nuova proiezione, la traiettoria descritta dal punto interessato sulla Terra ha sempre proiezione circolare (con raggio r = Rcos(α_lat) come abbiamo già ricavato), mentre la circonferenza che separa la parte illuminata da quella in ombra ha proiezione ellittica in cui il semiasse maggiore è pari ad R e quello minore b che si può ricavare nel modo seguente:

Con riferimento alla figura 1.4.c della pagina precedente, proiettando l’arco di circonferenza N O sul piano dell’Equatore abbiamo:

d ·

ρ = R sinε

che è il raggio vettore dell’ellisse di centro C (ottenuto dalla proiezione della circonferenza luce-ombra), centrato in C e separato dal semiasse maggiore dall’angolo θ

6

1 – Il Sole: un amico caloroso

o −

θ = 90 C K̂A

dove CA

C K̂A = arcsin R

e CA è il raggio vettore dell’ellisse (ottenuto dalla proiezione laterale sul piano xz della circonferenza luce-ombra) centrato in C e sotteso dall’angolo γ pari a 90^o + ε rispetto al semiasse maggiore e R è il raggio della Terra (per convenzione unitario).

Sfruttando la formula della lunghezza generica del raggio vettore (centrato nel centro dell’ellisse, separato da un angolo γ dal semiasse maggiore) di un ellisse (vedi figura 1.4.b): 2

·

(R sin(α))

2

CA = 2

−

1 e cos²(γ)

1

cioè 2

(semiasse_min)

2

(raggio_vett) =

2

− ·

1 e cos²(angolo)

(da semiasse max)

dove e = eccentricità dell’ellisse considerato ed R = 1, inoltre essendo l’ellisse simmetrico rispetto ai semiassi, non è necessario specificare rispetto a quale semiasse maggiore è considerato l’angolo.

Noti quindi θ e ρ, conosciamo raggio vettore e angolo di separazione dell’ultimo ellisse che ci interessa (vedi figura 1.4.c, ovvero proiezione sul piano dell’Equatore della circonferenza luce-ombra). A questo punto possiamo ricavare il semiasse minore (b, che cercavamo fin dal principio) di quest’ultima ellisse invertendo l’ultima formula scritta, in cui però l’angolo di separazione dal semiasse maggiore vale θ gradi.

Noto b, ci accorgiamo che il raggio r della circonferenza descritta dal punto F in un giorno, all’intersezione tra le due circonferenze (di cui una è in proiezione un’ellisse) può essere considerato anche come raggio vettore dell’ellisse (= circonferenza in proiezione). Chiamiamo il raggio r sotteso dall’angolo θ, questo angolo rimane

2

la nostra unica e ultima incognita. 7

1 – Il Sole: un amico caloroso

Essendo noti il raggio vettore e il semiasse minore b, possiamo ricavare il valore di θ semplicemente invertendo l’ultima formula. Ricavato θ i due angoli luce-ombra

2 2

o

saranno: (180 + 2θ) per le ore di luce ed il suo angolo esplementare per le ore di ombra (ovviamente in riferimento all’esempio mostrato in figura). La somma o la sottrazione di 2θ, come la distinzione tra angolo in luce e angolo in ombra

2

dipendono dal punto in cui si trova la Terra nell’orbita ellittica.

Trovati gli angoli con una semplice proporzione, ricordando che 360^o corrispondono a 24 ore (approssimazione), si possono ricavare le ore di luce e quelle di ombra.

Volendo scrivere tutte le equazioni:

α = inclinazione raggi solari (angolo in gradi)

0

o

ε = 23 27

o

γ = 90 + ε

(ε = inclinazione asse terrestre rispetto alla verticale condotta sul Piano dell’Eclittica)

Ellisse fig 1.4.b:

• Semiasse maggiore R
• Semiasse minore Rsin(α)

s 2 2

·

R sin α

• CA = 21 2

− ·

1 e cos γ

• Eccentricità e = cos(α)

1

Ellisse fig 1.4.c: s 2 2

·

R sin α

• N A = CA = 21 2

− ·

1 e cos γ

NA

o

• −

θ = 90 arcsin R

• Semiasse maggiore R

q 22 2

• · − ·

Semiasse minore b = (Rsin(ε)) 1 e cos θ;

!

1 q 2 2 2

• −

θ = arccos R cos (α_lat) b