Meccanica Razionale: vincoli

Vincoli

Assegnato un sistema materiale S, si dice configurazione: all'istante t₀, l'insieme delle posizioni occupate dai punti del sistema in quell'istante rispetto a un dato osservatore.

• Un sistema si dice libero (rispetto ad un osservatore) quando può assumere qualunque configurazione (posizione) nello spazio fisico.
• Un sistema si dice vincolato, quando la sua libertà di movimento è limitata da altri corpi (incastri, cerniere ...).
• Le condizioni che limitano le posizioni e le velocità dei punti del sistema S sono dette vincoli: matematicamente i vincoli sono descritti da equazioni o disequazioni che legano le coordinate dei punti P_i di S e le derivate rispetto al tempo.

Si consideri il sistema di punti materiali S: P_i.

Un generico vincolo verrà descritto da f(x₁, y₁, z₁, ..., x_N, y_N, z_N, ẋ₁, ẏ₁, ż₁, ..., ẋ_N, ẏ_N, ż_N, ℎ) ≥ 0.

Ci saranno tante condizioni quanti sono i vincoli.

Vincoli

Assegnato un sistema materiale S, si dice configurazione: gli istanti t_o. L'insieme delle posizioni occupate dai punti del sistema in quell'istante rispetto a un dato osservatore.

• Un sistema si dice libero (rispetto ad un osservatore) quando può assumere qualunque configurazione (posizione) nello spazio fisico.
• Un sistema si dice vincolato, quando la sua libertà di movimento è limitata da altri corpi (incastri, armieri, ...).
• Le condizioni che limitano le posizioni e le velocità dei punti del sistema S sono dette vincoli. Matematicamente i vincoli sono descritti da equazioni o disequazioni che legano le coordinate dei punti P_i di S e le derivate rispetto al tempo.

Si consideri il sistema di punti materiali S: {P_i} i=1,2,3,...N.

Un generico vincolo verrà descritto da f(x₁, y₁, z₁, ..., x_N, y_N, z_N, ẋ₁, ẏ₁, ż₁, ..., ẋ_N, ż_N, t) ≥ 0.

Ci saranno tante condizioni quanti sono i vincoli.

Grado di libertà del sistema

1) Si dice grado di libertà del sistema S il numero di parametri scalari indipendenti, necessari e sufficienti per individuare in ogni istante le possibili configurazioni del sistema.

Il numero di gradi di libertà di S dipende dal sistema considerato.

I parametri scalari sono le coordinate lagrangiane q₁...q_m.

Le derivate rispetto al tempo q̇₁,...,q̇_m sono dette velocità generalizzate.

Classificazione dei vincoli

Vincoli bilateri e unilateri

1) Un vincolo si dice bilatero se le relazioni che legano coordinate e derivate sono equazioni.

f_j(x₁,y₁,z₁,...,z_m,ẋ₁,...,ż_m,t) = 0 ; j = 1,...,m

Con m pari al numero di relazioni (vincoli) presenti.

✦) Il vincolo è invece unilatero se c'è almeno una disuguaglianza fra le relazioni presenti.

Vincoli fissi e mobili

2) Un vincolo è fisso se le relazioni f_j non dipendono esplicitamente dal tempo:

f_j(x₁,...,z_m,ẋ₁,...,ż_m) ⊃ 0 ; 5 = 1,...,m

Se ciò non è vero, allora il vincolo è mobile.

Vincoli olonomi e anolonomi

3) Un vincolo si dice olonomo (o di posizione) quando la f_k non dipendono dalla velocità:

f_j (x₁, x₂, x₃, ..., x_m, t) > 0            j = 1, ..., m

In caso la f_k pongano delle relazioni anche fra le velocità generalizzate il vincolo è detto anolonomo (o di mobilità).

Gradi di libertà e vincoli

4) Un sistema S - P₁, P₂, ..., P_N libero nello spazio ha 3N gradi di libertà.

In caso ci siano vincoli bilateri (equazioni) con equazioni indipendenti, il numero di coordinate lagrangiane libere (e quindi di gradi di libertà) diventa l = 3N - m            (l = caratteristiche mancanti).

Quindi, l = 3N - m coordinate lagrangiane sono sufficienti a individuare la configurazione del sistema.

5) Al contrario, vincoli unilateri non riducono i gradi di libertà; essi si limitano a restringere gli intervalli di valori che le coordinate lagrangiane possono assumere.

Indipendenza delle equazioni vincolari

6) Indipendenza delle equazioni vincolari.

Consideriamo m_k equazioni vincolari per vincoli olaterici e olonomi:

f₁ (x₁, ..., x_n, t) = 0
...
f_m (x₁, ..., x_n, t) = 0
(*)

Vogliamo sapere se le m equazioni sono indipendenti.

Si calcola allora la matrice Jacobiana:

𝓕 = _{𝜒₁ 𝜓₁}