Meccanica razionale

Meccanica razionale anno 20-21: vettori

Teoria dei vettori

Grandezze fisiche. Grandezze scalari: grandezze individuate da un solo valore numerico, P, T, °, M, solo valore numerico. Grandezze vettoriali: grandezze caratterizzate oltre che da un valore numerico, anche da una direzione e un verso, come forza, velocità, ecc.

Segmenti orientati. Un segmento orientato AB è un segmento in cui viene definito un verso di percorrenza da A a B.

Segmenti equipollenti. Due segmenti orientati AB e CD si dicono equipollenti se hanno la stessa direzione, la stessa lunghezza e lo stesso verso.

Vettori liberi. Un vettore libero è un ente matematico noto come classe dei segmenti orientati tra loro equipollenti. Un vettore libero è caratterizzato da: modulo, numero non negativo, 79¥ d', direzione detta retta d’azione, verso.

Notazioni per un vettore: notazioni per modulo di un vettore B. Vettore nullo: vettore di modulo nullo e direzione e verso indeterminati.

Versore: vettore unitario di modulo 1. Definisce un orientamento nello spazio.

Rappresentazione intrinseca di un vettore: v = modulo per versore.

Rappresentazione cartesiana, estrinseca o combinazione tra la terna trirettangola: i componenti cartesiani Va, Vs, Vz. V = Va + Vs + Vz rispetto alle componenti cartesiane. Le componenti sono rispetto a {è1, è2, è3}; terna trirettangola levogira diversa una.

{èz, è1, ès}. La terna trirettangola si dice levogira se i versori sono mutuamente ortogonali tra loro e reciprocamente.

Levogira sinistrorsa: un osservatore posto su ès vede ruotare èz in senso antiorario per sovrapporsi a è1 verso sinistro.

Destrogira destrorsa: un osservatore posto su ès vede ruotare èz in senso orario per sovrapporsi a è1 verso destro.

ÈÈ gira destro levogira: È È 0 o -1 èè.

Operazioni tra vettori

Prodotto scalare

Prodotto scalare. Si definisce la quantità scalare data tra due vettori U e V da: U · V = U V cosα, cosa ttae. L’angolo è il più piccolo angolo che si forma tra due direzioni orientate.

Il prodotto scalare si annulla se almeno uno dei due vettori è nullo oppure se i due vettori sono ortogonali.

La proiezione ortogonale di un vettore V su una direzione orientata è data dal prodotto scalare tra il vettore e il versore della direzione orientata: Vr = V · r = V cosα.

Rappresentazione cartesiana. Le componenti cartesiane coincidono con le proiezioni ortogonali del vettore lungo gli assi cartesiani o versori, ovvero: è1, è2, è3. V = Va èa + Vs ès + Vz èz; 91^ IVsVs I lei • = èVz 3È \I✓. i = 2 z 'Vs in è È✓ I.3 =.

Prodotto vettoriale

Prodotto vettoriale. Si definisce il prodotto vettoriale tra due vettori U e W come un vettore: U ∧ W.

Direzione: perpendicolare alla giacitura individuata dai due vettori. Verso: tale che la terna sia levogira, {U, W, U∧W}. Modulo: pari al prodotto dei moduli per il seno dell’angolo compreso: |U ∧ W| = U W senoα.

Rappresenta l’area del parallelogramma i cui lati sono i due vettori.

Il prodotto vettoriale si annulla se almeno uno dei due vettori è nullo oppure se i due vettori sono paralleli: V ∧ V = 0.

Prodotto misto

Prodotto misto. Si definisce prodotto misto la quantità scalare data da tre vettori V, U, W: (V ∧ U) · W. Neliene ea cosa = - - fu.

È nullo se almeno uno dei tre vettori è nullo o se i tre vettori sono complanari.

Proprietà del prodotto misto: è invariante rispetto a permutazioni cicliche dei tre vettori: (V ∧ U) · W = (U ∧ W) · V = (W ∧ V) · U.

È invariante rispetto allo scambio delle operazioni vettoriali: (V ∧ U) · W = V · (U ∧ W).

Doppio prodotto vettoriale

Doppio prodotto vettoriale. Dati tre vettori si definisce il doppio prodotto vettoriale tra essi: V ∧ (U ∧ W) = (V · W) U - (V · U) W, iliene) lana) e ena = -.

Il prodotto vettoriale non è associativo: doppio Iene) ante) A nwna.

Per la proprietà anti-commutativa del prodotto vettoriale si ha: (a ∧ b) = - (b ∧ a). (anima) eIn ana w nonv. = - = - laa) luiantenne) ee = -.

{èz, è1, ès}. Introdotta una terna trirettangola levogira di versori, si ha: V = Va èa + Vs ès + Vz èz; U = Ua èa + Us ès + Uz èz; W = Wa èa + Ws ès + Wz èz.

Prodotto scalare: V · U = Va Ua + Vs Us + Vz Uz.

Prodotto vettoriale: def. U ∧ V = |è1 è2 è3; U1 U2 U3; V1 V2 V3| = (Us Vz - Uz Vs)è1 + (Uz Va - Ua Vz)è2 + (Ua Vs - Us Va)è3.

Prodotto misto di U, V, W: detK A = det [Ua Us Uz; Va Vs Vz; Wa Ws Wz] = Ua Vs Wz - Us Va Wz - Uz Vs Wa + Va Us Wz, Ne W¥ Ne 434 Net° = -.

Notazione a indici

Notazione: serve a comparare le formule. Gli indici rappresentati con dei pedici sono detti enti matematici. Possono assumere in meccanica classica valori 1, 2, 3.

Vs, Vx, Vx, Vi: V = V1 è1 + V2 è2 + V3 è3; vi, ivs, e, tva, è, atvs ès viI v. === 3 33.

bi, bis, bis, bi, disdis, dis dis == i, i, >= ==.

Espressioni di questo tipo si chiamano monomi. I monomi si dicono falsi se hanno indici ripetuti. Non fa mutare il loro nome in quanto il valore del monomio cambia.

èi èn + tva èè Vs èUn Ve Vi += =.

Indici liberi: due monomi falsi sono uguali se hanno lo stesso numero di indici liberi con lo stesso nome.

Un monomio falso contenente m indici liberi e n indici ripetuti rappresenta 3^m polinomi, ciascuno formato da 3ⁿ termini.

Vi: m = 1, n = 0, polinomio formato da 3 termini. bi: m = 0, n = 1, polinomi formati da 3 termini. bis: m = 2, n = 0, polinomio formato da 9 termini.

basta basta bis bAss di e = » »] 923623 + 931631 + 932632 + 933633 bzztaszbeztaabsstdzzbzztazzbz.at = se.

Simbolo di Kronecker

Simbolo di Kronecker. Principale diagonale: fi !!: te » si.

Proprietà del simbolo di Kronecker: {Và + vzszs + VISSI = Vs sostituendo}. SisSzgtvss 532 VasiSiSig SuSeat VaVVi + tvVi VaVstra = = =, = », g. gg = p ↳++ ↳, », qq.gsgnqggp aqepµ, =, SisSi VsVi VsViviV Vi Vs -.

Relazione tra il simbolo di Kronecker e i versori della terna trirettangola levogira {è1, è2, è3}: condizione di ortonormalità: èi · ès = δis. Èi, lèi) SidÈè SiaSis !§= = ; ii.

Simbolo di Levi-Civita

Simbolo di Levi-Civita: Eijk = 0 se almeno due indici sono uguali; Eijk = 1 se i, j, k è una permutazione pari di classe di (1, 2, 3); Eijk = -1 se i, j, k è una permutazione dispari di classe di (1, 2, 3).

E 8213, E Essa = LEssa 321 = 1, E = 123 231.

Il simbolo di Levi-Civita cambia segno ogni volta che si scambiano due indici: Esik = -Eisk.

Relazione tra il simbolo di Levi-Civita e i versori: {è1, è2, è3}. èi ∧ èn = ès per una permutazione pari di classe (1, 2, 3); èi ∧ èn = -ès se una permutazione dispari di classe (1, 2, 3).

(èi ∧ èn) = Eisn ès = sia Sia Sis. (èn ∧ èi) = Eisn '. = ; ], Sse Sse s. (») = Sis Sissia =, Skz § SKI.

Trasposta: Spa siSia SpaSp SiaSis SasSp Sis Sra, Ssa SegaSsa SsaSqzSss SpaSsa893 592Sgs SeraEpqrEisn == Su Sra sns.SNSnSms SrsSrs 593Sn Sr5ps.

Sip sia SirSilspl SipAzz sisspetsizspztsissps '= gisngpqr-S.jp Ssq SsrSissqetsizsqztsissqsesies SiaAzz == Snq Starsnp) Sii (L CSia Sir.

Indice saturo con ripetuto: O-efiissqsnrtssrsiasnitsnassisir-ssasirs-siissrsng-f.gsSisi Ssa Ssr ! Eisn Eiar = È isnriyis.si%'srisnasnr3ssaskrtssrsnatgrsna-ssgsnr-3ss.sn # SEiniar -- nr, HSsgsnr SangEisn Eiar -e-SII# 2SnrSnr.

Due indici saturi: Eisn EEisncisr -' Srn6. Tre indici saturi: Eisn Eine.

Cambiamento di base

Cambiamento di base. lei {3 Ei} Suèè E. Sisè = =.... .. , .

Base ortonormale: base ortogonale in cui tutti i vettori hanno norma unitaria rispetto al prodotto scalare fissato. {B} è una base ortonormale se e solo se Va · Vs = δas.

Definiscono vettori a coppie ortogonali rispetto al prodotto scalare e ciascun vettore ha norma 1 della base. Ville ( ) ti = L1 1.

Vs è vie è è: vi : E - v = L ⇐, èi EsRis =) dèi IÈ = L Estes) è è Rise: s, è Rinèi =.

Matrice di rotazione: Rie. Matrice di rotazione ortogonale tra basi ortonormali. La matrice è ortogonale: (Rsq èg) (Rsql ènoèg). Rin RsqsnaRin Rin RinRinèsi -. - -=-=., Snq.

((a)) Rqs èa RasRin RinèSu èEi RisRin :. === =, Sig% % !!: & :{: S ri ;! datteri) ( )! dette1dettadetta dettedette 11 #= {èi èRis={{},} Ris.es ÈÈ È EE. i., e.. =p.

Condizioni di ortogonalità: Si Rinrsn =, 9| 6. Dalle condizioni di ortogonalità della matrice di rotazione sono legati 9 elementi; quindi sono solo 3 indipendenti.

Vite Vsè Levi'è èèi :1 = L, vi Risvs = () )( Ris ètie' èRi Rivi = L ve.. = e = i, RinviiUn =.

Le quantità scalari sono invarianti rispetto a un cambiamento di base: SsnusvnRisu RisRink Rinvivi UsvnL.tl Usb = == ==, Ris rinviaviviv' Ssnvsvn VsvVs = = ==.

Esercizio: vettori applicati

Vettori applicati. Le grandezze fisiche vettoriali possono avere componenti differenti in dipendenza dal loro punto di applicazione.

Un vettore applicato è un vettore definito da un punto dello spazio, detto punto di applicazione, da cui è spiccato.

Si definisce l’ente vettore applicato costituito da un vettore libero e da un punto di applicazione A: (A, v).

Per poter caratterizzare completamente un vettore applicato nello spazio occorrono 6 parametri: 3 coordinate del punto di applicazione e 3 componenti cartesiane del vettore: Va, Vs, Vz.

Dato un polo P, punto arbitrario, si definisce momento polare del vettore applicato rispetto al polo P il vettore libero dato da: M_P = PA ∧ v.

Polo arbitrario P. Il momento polare di un vettore applicato risulta essere nullo quando il punto di applicazione coincide con il polo oppure quando P appartiene alla retta d’azione del vettore: PA ∧ V = 0.

Il momento polare del vettore applicato varia al variare del polo P, al variare del punto di applicazione A e al variare del vettore v.

Legge di variazione del momento polare al variare del polo: M_P = PA ∧ v. QA = QP + PA. M_Q = QA ∧ v = (QP + PA) ∧ v = QP ∧ v + PA ∧ v = QP ∧ v + M_P.

Legge della variazione del momento polare al variare del polo: M_Q = M_P + QP ∧ v.

Risulta invariante rispetto allo scorrere del polo se il polo scorre lungo una retta parallela alla retta d’azione del vettore: QP ∥ v, QP ∧ v = 0, quindi M_Q = M_P.

Il momento polare è invariante rispetto allo scorrimento del vettore lungo la sua retta d’azione. r' f)¥ ('D'Aa a# polare r momento e applicato vettore del.

Il momento polare del vettore applicato è dato da: M_P = PA ∧ v. http 'PaI ' In'A> = ✓ rA • )('' PA Caetani'PA PA taara'taa ne = == p tap etnip A. = p.

Si definisce momento assiale rispetto a una direzione di un vettore applicato: quantità scalare data dalla proiezione del momento polare sulla direzione assegnata; quantità versare.