Meccanica razionale

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di REAN99

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Appunti di meccanica razionale basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni della prof. Lazzari, dell’università degli Studi di Bologna - Unibo, facoltà di …

Esame Meccanica razionale

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Lazzari Barbara

Università Università degli Studi di Bologna

A.A. 2020-2021

122 pagine

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Meccanica razionale

Il Tempo in meccanica classica, è postulato

Assoluto
Omogeneo
Totalmente ordinato

Si può rappresentare lo spazio euclideo orientato ℝ i suoi elementi (t) sono detti istanti.

Lo Spazio deve essere tridimensionale (per far avvenire il moto).

Lo spazio è euclideo affine tridimensionale ℝ³. I suoi elementi sono detti punti.

Un vettore libero è definito da una coppia ordinata di punti (A,B)r direzione "verso da A a B".

A origine
B estremo libero
|B-A| = d(A,B)

Sono equivalenti se hanno stessa direzione, verso, modulo.

Lo spazio dei vettori è uno spazio vettoriale di dimensione B.

Formalmente μ = (B-A) A = B+μ(B-A) verso da A a B.

Spazio dei vettori V₃

Meccanica razionale

Il Tempo in meccanica classica, è postulato

Assoluto
Omogeneo
Totalmente ordinato

Si può rappresentare lo spazio euclideo orientato ℝ, i suoi elementi (t) sono detti istanti.

Lo Spazio deve essere tridimensionale per far avvenire il moto.

Lo spazio è euclideo affine tridimensionale ℝ³. I suoi elementi sono detti punti.

Un vettore libero è definito da una coppia ordinata di punti (A, B)r direzione "verso da A a B".

A origine
B estremo libero
|B-A| = d(A, B)

Sono equivalenti se hanno stessa direzione, verso, modulo.

Lo spazio dei vettori è uno spazio vettoriale di dimensione 3.

Formalmente μ = (B - A).

Notazione Proprietà A = B + μ(B - A) = verso da A a B.

Spazio dei Vettori V₃

Calcolo vettoriale

Prodotto scalare

Prodotto scalare

\(\bar{u} \cdot \bar{v} = |\bar{u}| |\bar{v}| \cos \vartheta\)

Commutativo \(\bar{u} \cdot \bar{v} = \bar{v} \cdot \bar{u}\)
Bilineare \(\bar{u} \cdot (\lambda_1 \bar{v_1} + \lambda_2 \bar{v_2}) = \lambda_1 (\bar{u} \cdot \bar{v_1}) + \lambda_2 (\bar{u} \cdot \bar{v_2})\)
Definito positivo \(\bar{u} \cdot \bar{u} \geq 0\)

\(\bar{u} \cdot \bar{u} = 0 \Leftrightarrow \bar{u} = 0\) vettore nullo.

\(\bar{u} \cdot \bar{v} = 0 \forall \bar{v} \Rightarrow \bar{u} = 0\)

Se \(\vartheta = 90^\circ\) \(\Rightarrow\) \(\bar{u} \cdot \bar{v} = 0\) \(\quad\) perché \(\cos \vartheta = \cos 90^\circ = 0\).

Prodotto vettoriale

Prodotto vettoriale

\(\bar{u} \land \bar{v} = |\bar{u}| |\bar{v}| \sin \vartheta\)

\(0 \leq \vartheta \leq \pi\)

\(\cos \vartheta \geq 0\)

La direzione è ortogonale al piano.

Il modulo è l'area del parallelogramma formato.

Verso tale che volga terra destra.

Anticommutativo \(\bar{u} \land \bar{v} = -\bar{v} \land \bar{u}\)
Bilineare

Non è associativo \((\bar{u} \land \bar{v}) \land \bar{w} \neq \bar{u} \land (\bar{v} \land \bar{w})\).

Non ha senso scrivere \(\bar{u} \land \bar{v} \land \bar{w}\).

Se \(\vartheta = 0\) (parallele \(\bar{u} || \bar{v}\)) \(\Rightarrow\) \(\bar{u} \land \bar{v} = 0\).

Prodotto misto

Prodotto misto

∧ v · w = |∧ v||w|cos ρ = |u||v||w|sin β|cos β

È il volume del parallelepipedo individuato da u v w.

N.B. ∧ v · w = v∧w - w∧u = w∧∧.

Allora ∧ v · w = u∧v∧w.

Rappresentazione cartesiana

Si utilizza un sistema di coordinate cartesiane in E₃.

ù = (P - O) = (P - Pi¹) + (Pi^1′ - Pi¹) + (Pi^′ - P)

= μ₃ λ₃ + μ₂ λ₂ + μ₁ λ₁

In generale μ_k = ù . i_k K = 1, 2, 3, … componenti di ù nella base (i₁ i₂ i₃).

Nota: (μ₁, μ₂, μ₃) sono le coordinate di P sul sistema cartesiano O_x₁x₂x₃.

Osservazioni in forma compatta

i_h · i_k = δ_hk

δ_hk = { 0 se h ≠ k 1 se h = k i₁ ∧ i₂ = i₃ = - i₂ ∧ i₁

i₂ ∧ i₃ = i₁

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