Meccanica delle Vibrazioni - Appunti

Lezione 1: analisi sistemi lineari meccanici e non

[LEZIONE ]1 2.2 cap 2.3.1-dei lineari Analisi sistemi lineari meccanici e non 2 è Cos'è un sistema.

• Analisi sistemi lineari e non lineari.
• Definire: si vogliono scrivere equazioni.
• Si vuole sapere il sistema esterno → mondo -0¥, le condizioni vincolate, forzate, le reazioni, iniziali; mette in evidenza tutto il sistema scelto in base al gdl.

Definire fa III. '° Sistema: numero vincoli 6 SPAZIO * ne nv n=-#3 Piano nv nc n=- Scegliere gdl e variabili indipendenti = n = La n moto l'vogliamo rispetto alle quali di variabili scrivere equazione.

Scegliere sistemi assoluti o relativi di riferimento. Definizione dei segni, convenzione f esplicitamente dipendenti dal tempo.

Mettere in evidenza azioni in sistema esterne applicate al *h@fC.X i IMPLKIT), .= È reazioni vincolari = variabili del sistema di stato, forze inerziali dissipative e elastiche FCXIÌ*) forte di introdurre nel sistema stabilità o instabilità, possono o.

Approcci usati

Approcci usati che verranno:

• Equilibri dinamici.
• Lavori virtuali.
• Te energetici.
• Bilancio di potenze ↳ equazioni di Lagrange.

Indipendenti ✗ variabili i pà! f.Yn Serve semplificare le K at variabili yn fisiche (yi Xi →) = per, è BARICENTRO ¥9 origine della terna V. timgh se SE →→ È Yn /(✗ Yn i ' NDIP trovare variabili fisiche tra e rapporto il =.

"di Per moto l'è dell' scrittura c'è approccio la minimal equazione" Lagrange l' di moltiplicatori associato SET approccio e ai. t il legame subito introduce si Nello le salare seguiremo prima equazioni approccio, approccio scrivere un une poi matriciale i.

Noto risposta sistema nota i -8 è sistema *- _ integrazione numerica 1- noto noto 0 identici → sistema gweaam.ua,,no µ, inpum, no o →,,, utilizzando Equazioni scritte nel dominio della frequenza e del tempo possono essere o, antitrasf ] l'FOURIER usare poi e.

] Fisicamente [equilibrio Per la scrittura dell'equazione di moto • immediato eq. equazione. Può automatiz[ si Lagrange zaee •?

Esempi e metodo degli equilibri

⃝ Esempi # vogliamo Mg scrivere dell'equazione # nuoto il metodo delle equilibri con equazioni Mo dinamico |R 1) Sistema di riferimento '00 libertà gdl 2) Gradi di 2*3=6 GDL • M], Zgdv cerniera → [✗ fune trascuriamo oscillazione • della rotazione M massa • di rotolamento puro condizione [altro sull' due sono rotolano ci corpi che uno di punto nel contatto, assenza abbiamo e strisciamento 'di quindi velocità abbiamo non,] relativa coordinata quindi scegliere vogliamo. Dobbiamo la descrivere cui con moto il.

Sistema: isolo il ③ variabile indip MigJ fisica variabile ✗ a Mio] TG T0! PMI § consiglio mettere ① le forze d'inerzia: Inertia" ✓ µ al opposte moto supposto □ f ×1mg semplicità di Grado 1 libertà 1 equazione ✗ inseriamo → per, dovuto mettere Se segno mi avrei freccia avessi con µ ma messo questa -{ JÒ "Mo TR "+ approccio → o furbo + = sistema primo F- MI secondo → sistema my- indip Variabile fisiche e ✗ (a) R✗ ✗ = -0 = → RÒÈ È E R.ioi == =.00¥-0.

Jacobiano: variabile il legame era esprime indipendente fisica variabile e ← → da! Dipende Costante carino.tt Eq lineari Cq non lineari JÒ RÒ Mot (+ /m' Rmg- :OÒ IMR') -1J MGR- no- - dell'equazione JTMÌIÈ( moto Rmy Mo- -- massa generalizzata F n¥[ Note forze // la troviamo integrino → E → µ →. _ risposta sistema, Ò Ò JTMRYÈ^n (Rt¥ Mo mg=. cinetostatica ~ → non, , taglio andamento questo > E.

Lagrange e variabili

Lagrange riferimento Sistema di definire n gdl variabili indip e fisiche ✗✗ forme delle funzione fisiche Scrivere di energia varie variabili in (YK il tra Legame YK ✗ fisiche variabili isolip= e vai. Scrivere in ohpdi delle forme funzione le energia var in applicare Lagrange Ettie ¥-8¥{;) e ← ⇐+ -- General È continuazione Qes × =.[ È 2JÉ Ec mi §= + { [h È(Ec Jtmr ✗ } Ro )== - - = V mgn = R -0 ✗ = mgr = - Legame JL tra voi Mog -0. -= fisiche indi ge p,. mg,,,= Eq funzione Ind in var.. Eq fisiche Variabili. ↳ È) off ☒ Q=+ +- applico Lagrange 00 O_08-0@= detto scritto che 'Non e Ò(' Mgh) Mo JTMR dinamiche + così = e con eq- stessa la ottenga cosa si.

Lezione 2: sistemi lineari, moto libero smorzato

Lezione Sistemi 2 d.1 L Linearia g. 2.4.1 Cdp 2 per [ MI ] ri FCE + Kx )+ = le tramite proprie risolte [ frequenze presenta integrale generale. Possono essere il ] vibra cui con corpo dipende [dalle] forzati particolare integrale.

Moto libero smorzato non " il MI sistema smorzato comporta KX come nono + = si se di lol perturbato configurazione nella viene -"? statico possibile soluzione cerco una ↳ #di" " l'✗ It'✗✗ ✗ e = ee = == • □ ott ° sostituisco omogenea algebrica equazione,, k¥-0 Xo ✗ in lineare parametrica e ÌM()K + soluzioni 2 ↳ valida qualsiasi ↳ banale tempo in soluzione ✗ o = ↳ banale e non det KIHam o=+? Im2m 1 Wo ✗ = o Pulsazione propria non Sist = → + - smorzato soluzione' ± ✗ iwo <→ ×wo →- ==.

Integrale generale di combinazione dei modi, da punto di vista fisico vibrare questa lineare une durante risposta rappresenta il transitorio. Il periodo transitorio è quel dove superato iniziata un, lo spostamento vincolo spostamento impresso o oscillare al inizia impresso) sistema spostamento, tendono nel oscillazioni smorzato che a sistema l' quindi finire diminuire tende integrale generale a e.

Integralmente di rappresentazione E per -4ps -3 sono ① eiwot-pxje-iwot-xaeiw.tt iwot dei ✗ ✗ _= < e- La data nel è risposta tempo da vettori due controrotanti complessi nel piano. In ^ fisico significato non ha i > Red Xz cos cuot Sinnot ② z sincwoti ✗ + i)(×✗ Woe✗ cos)= + -, i(2) coswot (i+ sincvot ✗ 2) ✗ + ) ×× = -, ,-4 Costco B sinlwot A ⑦) +=.

Il sistema oscillerà di opportuna combinazione sincos e una con della propria freq sistema, delle oscillazioni alla uguali che sono.

③ trasformazione coordinate di Hcosq A = HsingB = - HsinlwotlsincfHcoslwotlcoscq(✗))t)= -( Rappresentazione Haas Watty) tramite la proiezione vettore di reale asse un sull' con condizione determinata una iniziale da 9.

Calcolo risposte

Calcolo risposte I metodo Xz ✗ cerco e {✗ ✗ » C-( = o = • i(E) ✗ = o = o)( da dare' definita I altre inform qui non posso e, {iwotcinti {_ ✗✗ ✗ ✗✗ = ✗ a + e 2 = < i° condizioni inizia, i "tnei e-"i al ✗ Io ino C-tempo iwo iwoxz ✗ iwox0 == z- = -, i t generiche eq con imponendo cq. calcola iniziali Xi ✗ e 2 mi µ{{ Io" ✗ ✗ Xz + = " #= + o segnali eti ampiezze ✗ ← 2 = <- È IWO 2×2 ✗ permettono = che mio - di iwo risposta la calcolare.

# Metodo B cerco A e } Poi m i {Bsincvof calcolo * ✗✗ A ✗ t E - awo otcos = = o B* e~, Ì Ioi Awosinwot BWO × = Bwo coswot - - = + -.

☒ Metodo ti4 cerco e {Hcoslwot + {✗ -191 to{ "= * cosa = = E- o I t; Hwa io (Hcvosiny ×) sin = Watty -- = - - ± { cosq = H IÌ ione Egy = → -= ja * Sing noto = - ÈÈ. jwÈ sin' cos' + µy + -aq _- +=_.

Moto libero smorzato e dissipazione

(dovuto Ammortizzatore ad smottamento smorzato Moto IBERO <, all' del materiale isteresi, colombiano attrito) definito lo (normalmente riintroducendo spostamento stessa viene con direzione di) opposto ma verso TF [§ -4 Molla non Lineare ✗ f- :- dissipativi sistema puramente t Ias ' funzione en dell' del cerchio area ȱ dissipativi elastico Sistema ^ > Nei esercizi lo rappresentiamo nostri • @ con una rlr-oeconimookk.ro/ogia' studiare posso smorti.

Soluzione Ricerca MI " È t.xo.catri ✗ Xoekx + o = = + = (k¥-0km) dr K++/det Km ✗ (grandi la I anche matrice matrici vale più '0 qui in r + K 1×1'= + ma per e modo questo) In Kdr o = + + 2✗ In ✗ In +-1 o = Woz ↳ = L EwhIn introducendo 2 = =.

Smorzamento critico adimensionale 1 (Y wi /Li io = + + FÈIn ± Hwi-d. winwo = ± -= -« 2 È tua ][ hNo ± = -È tih' h 2r 2 > rc 1mwo < 22 → > → == - → -a/, -, TÈh dire caso ogni e lo @ sarà vedo meglio in ± a che - ↳ +" t" ×(e) e- ✗ e- + × =,,, ✗ ^ > €h ×te 1 -2 → t Wo • 2mW → == = = o =, -, , -21£ d' t fe- ✗ ×(E) × e +=,, ✗ n • hF- 2mW a <→, > €] notte TÈ[ Wiwiii. h -2 ± = iWo ± = - < = t frequenza del sistema eiwf iwt «+ • e- smorzato e- ✗(f) e- ✗ + ✗ = <" (te cos ✗ G) cit-) += y ^ ÈF- Un >.

Saldato Strutture % acciaio < in 70% gomme % molto I tensione oscillazione alta basso eccitato cavi appena non, dura lungo a Identificazione del valore smorzamento non credo < o.

Decremento logaritmico chieda ^ ".te # 4) cosina. YÈÉÉ the d'" È s-, 4) acquario e-In (ndt = = piccolo d. Tdit y, -e g.. I ipotesi S D = vacciano at T=] smorzamento = che zm è scriviamo WOpiccolo e T 21T Ih5 h 21T = = Em Io = → = 21Td' Ciclo isteresi T T] =] ' dtdt rif E IA) == '^, a Rt Se ✗ = cos imponiamo ✗ AIsindaci = -"=] RANEE- dt 스마트razza = □ F- §a al "rara sottE ciclo area → = □ d' isteresi RALRITf- = □.

Lezione 3: sistemi lineari a un grado di libertà

Sistemi di lineari Lezione grado libertà 3 2.4.1 CAP Per un 2a forzate Moto: moto forzato £fa MI FCE) ri + t = Kx =, t Se sistema lineare il è la effetti degli vale sovrapposizione "| f.È portante periodico Forzamento periodica einwotdt (f) Fn = fa =, Ty- fondamentale della pulsazione do fondamentale periodo T1° metri Cost ✗ ✗ KX → = p + = = op ↳ Kxo Post equilibrio di KC statico < = p Posizione == p µ ✗ ST {MI sinusoidale FG) -92° rit) FCE Kx)+ = di riconduciamo periodica di (come) somma somma armoniche ci sinusoidali risposte periodiche dfandom)( casuali È fcyginsrof {Fn f-di Fourier trasformata.

Forzanti ricostruire = possiamo periodiche off della la fattoria temporale storia periodica ^ t 1- - i- - - T periodo fond. fondamentale Pulsazione Io => lfnleiunFn = ↳ singola demoniaca di relativo ogni sfasamento / ^ risposta Fnl / come questa spettro nello I1 a trasformata denti ndovo E ⇐ lfnlcoslnrottun) Un FCE) - ^- h O = ""-., > ndo- ..Foliat Focostrotri la di reale palla solo) vede mi KX → + cui si = +() generale libero E transito uomini moto integrale o A. soluzione completa Tehama integrale particolare () moto regime apanettoni di il comodo complessi tutto perché risolverci inermi con.

Ai Mi setri Fo ✗ K = + + vedendo stiamo { qui % eislt particolare ✗ ✗ soluzione la = po eire il xp = rerzxp.ci. È = - oscilla sinusoidale la da forzato stessa fortuite pulsazione lineare regime IV. B sistema con una a una. della portante sistema quindi il solo Se questo non non lineare succederebbe fosse una avremo,. sinusoidale periodica non ma risposta mtirr-kjxpoeire-foe.int (d'- ^= L -d') FuirrxkXp + m = - f. sentir r + K_ nel lo trasfasamento Qn armonica ogni 'È e caso step fiorente di nella presente forzati gdli µ ""' / / Xp (exp y)= atcos = xp +. . È ritardo il sistema cui con cer tare agisce una a.