Meccanica del volo spaziale

Meccanica del volo spaziale

Leggi di Keplero

• L'orbita di ogni pianeta è un'ellisse con il sole in uno dei due fuochi.
• Legge delle aree: il raggio vettore spazza aree uguali in tempi uguali.
• Il quadrato del periodo di un pianeta è proporzionale al cubo della sua distanza dal sole.

Ci preoccupiamo principalmente per quanto riguarda i problemi gravitazionali riguardanti 2 soli corpi, dunque analizzeremo il cosiddetto "problema ristretto". Dunque avremo due masse, di cui una molto più grande della seconda. Attraverso la legge gravitazionale di Newton possiamo definire: GM = μ.

Definiamo così l'equazione della dinamica del problema ristretto ai due corpi: il problema dei 2 corpi sarà alla base di tutto il corso.

Integrali primi del moto

Ora invece, troviamo gli integrali primi del moto per analizzare il raggio vettore in funzione del tempo: energia, momento angolare, eccentricità. Il vettore eccentricità viene usato per calcolare l'angolo del corpo interessato. L'utilizzo di queste quantità costanti per descrivere il moto dei corpi sarà alla base di tutto il corso.

Definiamo ora l'angolo anomalia vera ν, ovvero l'angolo compreso tra il vettore eccentricità e il raggio r. Attraverso questo angolo possiamo definire l'equazione polare della traiettoria.

Equazione polare della traiettoria

Possiamo dimostrare che si tratta di un'equazione di una conica. In generale una conica è un luogo geometrico di punti tali per cui il rapporto tra il raggio (distanza dal punto al fuoco) e la distanza "d" da una retta (detta direttrice) è costante ed è pari alla quantità chiamata "eccentricità".

La quantità al numeratore viene chiamata "semilato retto", e viene identificata dalla lettera p: 2hP = μ.

Sezioni coniche

Ellisse: Diamo una definizione euclidea, l'ellisse è il luogo dei punti tale per cui la somma delle distanze dai fuochi è costante, pari al doppio del semiasse maggiore. Definisco inoltre:

• Pericentro: punto più vicino al corpo (Terra: Perigeo, Sole: Perielio)
• Apocentro: punto più lontano (Terra: Apogeo, Sole: Afelio)

L'equazione canonica dell'ellisse è: Dove: a=semiasse maggiore, b=semiasse minore. Attraverso vari calcoli arrivo a dire: Dove la quantità al numeratore rappresenta proprio il semilato retto P. Dunque siamo riusciti a legare una quantità dinamica, con una quantità geometrica: P = a(1 - e²).

Inoltre possiamo dire: Dove: Rp rappresenta il raggio al pericentro (anomalia vera = 0), mentre Ra è il raggio all'apocentro (anomalia vera = π).

Iperbole: L'equazione canonica dell'iperbole è:

E posso dire: Phi rappresenta l'angolo beta calcolato all'infinito, ovvero in coordinate polari ho: E ancora:

Parabola: La parabola deriva dall'iperbole nel caso limite di eccentricità unitaria e semiasse maggiore (a) pari a infinito. Se volessimo ora legare il semiasse maggiore all'energia diciamo: μℇ = -2a

Posso dire:

• < 0 a > 0 Ellisse
• ℇ > 0 a < 0 Iperbole
• ℇ = 0 a = Parabola
• ℇ ± ∞-

Analisi del moto

Introduciamo dei sistemi di riferimento:

• Riferimento Perifocale: Si tratta di un riferimento inerziale e solidale all'orbita, è fisso.
• Riferimento Rotante: Rotante, centrato nello spacecraft.

Equazioni cinematiche

́r = V r V t́θ = r Dove Vr rappresenta la velocità radiale e Vt la velocità tangenziale.

Equazioni dinamiche

V−μ tV́ = +r² rr V−V r tV́ = t r

Definisco infine come l'argomento del pericentro, ci dice come è orientata l’ellisse rispetto ad un sistema di riferimento inerziale assegnato, ci dice come è orientato il vettore eccentricità rispetto a x. Chiamiamo il Flight Path Angle l’angolo compreso tra il vettore velocità e la sua componente trasversale, la tangent.