Meccanica dei fluidi - secondo esonero

Meccanica dei fluidi

Secondo esonero

Dalle equazioni di continuità

ρ∂  D ∫ ∫ ∫ρ ρ= + ⋅ =dV dV v n dA 0∂tDt V V A

Se però divido l’area in 2 parti e proietto la velocità lungo la normale alla superficie

( )ρ ρ∂ ∂ ∂M     ∫ ∫ ∫ ∫ ∫  ρ ρ ρ+ ⋅ = − ⋅ − ⋅ = − +dV v n dA dV v n dA v n dA Q Q∂t ∂t ∂t e uV A V A Ae u∂M  = −Q Q∂t e u

Dall’equazione di bilancio della quantità di moto applicando il teorema del trasporto

    π+ − = +I M M Gu e

I momento delle inerzie locali, M portata Dove rappresenta il mentre rappresenta la della quantità di moto.

Correnti monodimensionali

Le correnti monodimensionali si sviluppano prevalentemente lungo una direzione, ad esempio in tubi e canali. Il moto è sempre turbolento e si usano le equazioni globali per studiare il moto.

Correnti in pressione

Preso un tubo a geometria cilindrica

1 ∫=U u dΩΩ Ω

( )ρ= =M U Q Me u

∂M = == U U U0∂t e u∂ Ω = Ω= 0 e u∂t

Considero la velocità media e la sezione costante.

Definisco la pendenza della linea dei carichi

∂H= −J ∂S

Con il carico H pari a

2p Uα= + +H z γ 2g

Portata costante, volume di controllo. Ipotizzo la nel Perciò:

∂M ∫ ρ = == dV 0 Q Q0∂t e uV

Velocità della La entrante e uscente è la stessa, perciò proiettando l’equazione quantità di moto in direzione del moto (s)

π+ − = +I M M Gs u e s ss s

ρ∂ u∫moto permanente = =Ma essendo il sI dV 0∂ts V

( )portata di quantità di motoLa ρ → =U Q M Me us s

La sommatoria delle forze di superficie è uguale a zero, allora forza peso e forza di superficie si elidono.

( )ρ θ ρ= ⋅sin = − −G gΩL gΩ z zs 2 1

π= +0 G s s

π τ= Ω − Ω −p p BLs 1 2

G è la proiezione della forza di massa lungo la direzione (s). s

Le forze di superficie sono rappresentate dalla somma di sforzi viscosi e sforzi pendenza della tangenziali. BL rappresenta la superficie laterale. Posso riscrivere la linea piezometrica:

( )ρ τ− − + Ω − Ω − =gΩ z z p p BL 0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞p p2 1 1 2 + − +1 2z z⎜ ⎟ ⎜ ⎟τ γ γp p BL τ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) 1 2 B− + − − =1 2z z 0 = = iγ γ γΩ2 1 γΩL

Moto uniforme per condotte in pressione

ε⎛ ⎞λ ⎜ ⎟Re,⎝ ⎠ 2UR=J 4R 2g Q=condotte circolari

Per U

Ωλ λ ε⎛ ⎞2 2 2Q 16 Q Qγ= = = ⎜ ⎟J Re,⎝ ⎠π⎛ ⎞π 5 2 524R D 2g R DD2g ⎜ ⎟⎝ ⎠4

Calcolo delle condotte

Il problema progettuale è il diametro da assegnare alla condotta, l’informazione a disposizione è il dislivello quindi l’energia potenziale. Oltre alle perdite di carico dovute alle resistenze ci sono anche delle perdite di carico dovute all’allargamento o restringimenti geometrici delle tubazioni.

Brusco allargamento di sezione

L’acqua entra nella sezione maggiore e forma 2 strutture vorticose che dissipano l’energia, diventa l’equazione di continuità.

∂M    = − = ⇒ Ω = ΩQ Q Q Q U U∂t e u e u 1 1 2 2

Bilancio della quantità di moto: l’equazione di

    π+ − = +I M M Gu e

Proiettandola lungo la direzione di scorrimento S e ricordando che il fluido è permanente

π− = +M M Gu e s ss s

ρ ρ γ θ− = Ω − Ω − ΩU Q U Q P P Lsen2 1 1 2 2 2 2

( )ρ ρ γ− = Ω − Ω − Ω −U Q U Q P P z z2 1 1 2 2 2 2 2 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞2U U U P P P P− = − − + = + − +2 1 2 1 2 1 2z z z z⎜ ⎟ ⎜ ⎟ρ ρ ρ ρ⎝ ⎠ ⎝ ⎠2 1 1 2g g g g g g

Perdita di carico. Si sta cercando la dissipazione di energia quindi la

⎛ ⎞ ⎛ ⎞2 2P U P UΔH = + + − + +1 1 2 2z z⎜ ⎟ ⎜ ⎟ρ ρ⎝ ⎠ ⎝ ⎠1 2g 2g g 2g

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 2P P U UΔH = + − + + −1 2 1 2z z⎜ ⎟ ⎜ ⎟ρ ρ⎝ ⎠ ⎝ ⎠1 2g g 2g 2g

2 2 2U U U U U 1 ( ) 2ΔH = − + − ΔH = −2 1 2 1 2 U U1 22gg g 2g 2g

Condizioni di moto permanente

Se ci si scosta dal moto uniforme, dei profili nascono dalle equazioni del moto.

∂Ω ∂Q+ = 0∂t ∂S

⎛ ⎞∂ ∂U2U 1+ = − −y i J⎜ ⎟∂S ∂t⎝ ⎠ f2g g

Essendo il moto permanente i termini che dovrebbero variare nel tempo si annullano.

Q=costante, si ottiene che e c’è un equilibrio tra le forze

⎛ ⎞∂ ∂U2U 1+ = − −y i J⎜ ⎟∂S ∂t⎝ ⎠ f2g g

∂E = −i J∂S f

L’energia è solo funzione dell’altezza y

E=E(y)

Allora

∂E ∂y = −i J∂y ∂S f

Posso quindi ricavare l’equazione di bilancio della quantità di moto

−∂y i J= f∂E∂s ∂y

Valida per ogni alveo cilindrico purché le variazioni siano moderate. I profili si distinguono in base al tipo di alveo, Q se a forte o a debole pendenza.

Equazioni delle correnti monodimensionali del moto vario

Applico le equazioni globali ad un volume di controllo

ρ= ΩdsM∂M

L’equazione di continuità e u

ρ=Q UΩe

ρ∂ UΩAllora ρ= +Q UΩ ds∂su

ρ ρ ρ ρ ρ ρ∂ Ωds