Meccanica dei fluidi primo esonero

Meccanica dei fluidi

Primo esonero

Cinematica dei continui

La cinematica descrive dal punto di vista matematico come si muove un fluido. Il moto può essere osservato secondo due punti di vista: lagrangiano e euleriano.

Lagrangiano

Per un campo spaziale abbiamo sia dipendenza dal tempo che dallo spazio, indico con la variazione rispetto al tempo dal punto di vista di una derivata materiale, osservatore solidale con la particella.

( ) ( ) ρ ρ ρ + Δt −t t D = lim Δt Δt→0 Dt

Euleriano

Sistema inerziale nel quale è valida la meccanica newtoniana. Definendo la densità e ipotizzando una variazione dal punto A al punto B, la variazione di densità non è solo funzione del tempo ma anche dello spazio dato che il sistema di riferimento è fisso.

( )( ) ( ) ( ) ρ x t , y t , z t ,t

Dal punto di vista euleriano si inserisce un sistema di riferimento esterno al corpo, nel quale esso si muove e che consente di percepirne il movimento.

La variazione della grandezza vettoriale dal punto di vista euleriano è:

velocità   ∂   Dv v= + ⋅∇v v ∂t Dt

Dove posso definire tensore:

⎡ ⎤ ∂u ∂v ∂w ⎢ ⎥ ∂x ∂x ∂x ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ∂u ∂v ∂w   ⎡ ⎤ ⎦ ⋅∇ = ⋅v v u v w ⎢ ⎥ ⎣ ∂y ∂y ∂y ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ∂u ∂v ∂w ⎢ ⎥ ∂z ∂z ∂z ⎣ ⎦

Quello che accomuna il punto di vista euleriano e lagrangiano è che la variazione nel tempo comunque la si osservi sia la stessa.

ρ ρ ρ ρ ρ ∂ ∂ ∂ ∂ D dx dy dz= + ⋅ + ⋅ + ⋅ ∂t ∂x ∂y ∂z Dt dt dt dt

Posso sostituire le componenti del vettore velocità lungo i 3 assi.

ρ ρ ρ ρ ρ ∂ ∂ ∂ ∂ D = + + +u v w ∂t ∂x ∂y ∂z Dt essendo

ρ ρ ρ ⎧ ⎫ ∂ ∂ ∂ ρ∇ = ⎨ ⎬ , , ∂x ∂y ∂z ⎩ ⎭

Il prodotto scalare tra il gradiente della densità e le componenti del vettore velocità, dunque il legame fra la derivata in uno schema lagrangiano ed euleriano.

ρ ρ ∂  D ρ= + ∇ ⋅ v ∂t Dt

Principio di conservazione della massa

Invece di considerare un punto o elemento materiale, considero un volume di controllo e verifico la conservazione della massa sia in termini lagrangiani che euleriani.

Ipotizzando un generico volume posso considerare la massa come la sommatoria delle masse parziali.

∫ ρ=M dV V

Dal punto di vista lagrangiano la variazione di massa di questo volume di controllo è:

DM D ( ) ∫ ρ= =t dV 0 Dt Dt V (t )

Che rappresenta l’equazione di continuità in termini lagrangiani. La variazione della massa nel tempo è sempre nulla, per quanto possa essere deformato il volume ad un certo istante sarà formato sempre da tutti gli elementi del volume iniziale.

Per esplicitare la conservazione della massa in termini euleriani si usa il teorema del trasporto di Reynolds.

Teorema del trasporto di Reynolds

Il teorema del trasporto di Reynolds permette di portare l’operazione di derivazione sotto il segno di integrale, usato in meccanica dei fluidi per studiare le variazioni di una grandezza fisica associata ad un dominio, è usato ad esempio per dimostrare l’equazione di continuità in forma indefinita. Considero un volume di controllo fisso V che al tempo t è coincidente con il volume materiale V(t).

0 ( ) ∫ ∫ ρ ρ + Δt −t dV (t)dV DM = V (t+Δt ) V (t ) lim Δt Δt→0 Dt

Che può essere scritto come:

( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ρ ρ ρ ρ + Δt − + + Δt − + Δt t dV t dV t dV t dV DM ( ) ( ) ( ) ( )= V t+Δt V t V t V t lim Δt Δt→0 Dt

( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ρ ρ ρ ρ + Δt)dV + + Δt − +(t t dV (t)dV (t)dV DM = V V V V lim 2 1 Δt Δt→0 Dt

Il primo ed il terzo integrale sono calcolati sullo stesso dominio ma in tempi diversi, allora posso scrivere:

( ) ∫ ∫ ρ ρ + Δt)dV − ρ(t t dV ∂ ∫=V V lim dV Δt ∂t Δt→0 V

Il secondo e terzo integrale posso dire che, detto ds un elemento di superficie del volume iniziale, la normale n e la velocità u di traslazione risulterà per il volume V₂:

  = ⋅dV u nΔtds

Mentre per il volume V₁:

 = − ⋅dV u nΔtds

Allora sostituendo dV negli integrali posso scrivere:

( ) ∫ ∫ ρ ρ + Δt)dV −(t t dV       ( ) ∫ ∫ ∫ ρ ρ ρ= + Δt) ⋅ + ⋅ = ⋅V V lim lim (t u n ds t u nds u n ds2 1 Δt Δt→0 Δt→0 s s s2 1 0

Perché per t→0, S₁ + S₂ = S₀.

ρ ∂   DM ∫ ∫ ρ= + ⋅dV u n ds ∂t Dt V s 0

ρ ∂   DM ∫ ∫ ρ= + ⋅ =dV v n dA 0 ∂t Dt V (t ) A(t )

Al secondo integrale compare il flusso, portata, cioè la quantità di massa che attraversa una superficie nell’unità di tempo. Il flusso coincide con la massa, euleriano, fa riferimento al metodo teorema del trasporto di Reynolds esprime il fatto che la variazione nel volume di controllo è la differenza tra la portata entrante e quella uscente.

Grazie al teorema della divergenza è possibile migliorare la formula con il quale posso trasformare l’integrale di superficie in un integrale di volume.

∂b ∫ ∫=bn dA dV ∂x x A V

⎛ ⎞ ∂u ∂v ∂w ( ) ∫ ∫ ρ ρ+ + = + +un vn wn dA dV ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂x ∂y ∂z x y z ( )A t V

Il termine tra parentesi è la divergenza della velocità, come se fossero tante piccole sorgenti di materia.

 ⎛ ⎞ ∂u ∂v ∂w  + + = ∇ ⋅ v ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂x ∂y ∂z

Infine l’equazione di bilancio della quantità di massa può essere riscritta nella forma:

 ρ ∂ ( )  ∫ ρ+ ∇ ⋅ =v dV 0 ∂t V (t )

Dunque l’equazione di continuità in forma indefinita:

ρ ∂  ( ) ρ+ ∇ ⋅ =v 0 ∂t

L’equazione esprime il fatto che dato un determinato volume fisso nello spazio, le variazioni di massa sono date dalla variazione di portata entrante e uscente. In generale per un volume finito:

ρ ∂     ∫ ∫ ∫ ρ ρ+ ⋅ + ⋅dV v n dA v n dA ∂t V (t ) A A e u

∂M − + =Q Q 0 ∂t e u

In conclusione il principio di conservazione della massa si può scrivere in forma integrale:

∂M = −Q Q ∂t e u

Principio di conservazione della quantità di moto

Una qualunque massa soggetta a forze la cui risultante non sia nulla modifica la sua quantità di moto.

  ( )   d mv d v ∑= = = =F ma m Fi dt dt i

Considerando dal punto di vista lagrangiano, focalizzo una singola particella: un volume soggetto ad una serie di forze.

• Forze di superficie che agiscono sulla frontiera lungo una superficie di contatto.
• Forze di massa agiscono per unità di volume e riguardano il volume.

Posso quindi esprimere la variazione della quantità di moto:

   D ∫ ∫ ∫ ρ ρ τ= +v dV f dV dA Dt V V A

L’equazione di variazione della quantità di moto è vettoriale e corrisponde a 3 equazioni scalari. Di queste volendo dare una forma indefinita:

 D ∫ ρ v dV Dt V

Proiettando la relazione lungo l’asse x cioè la componente u della velocità, sfruttando il teorema del trasporto e applicando il teorema della divergenza:

ρ ρ ∂( ∂(    u) u) ∫ ∫ ∫ ∫ ρ ρ+ ⋅ = + ∇ ⋅(dV ( u)v n dA dV u v)dV ∂t ∂t V A V V

Dove la divergenza del vettore velocità per la sua componente u:

ρ ρ ρ ∂ ∂ ∂u u u+ +u v w ∂x ∂y ∂z

Allora posso riscrivere la variazione della quantità di moto:

ρ ρ ρ ρ ∂( ∂ ∂ ∂u) u u u ∫ + + +u v wdV ∂t ∂x ∂y ∂z V

Ma per l’equazione di continuità:

ρ ρ ρ ρ ∂ ∂ ∂ ∂u v w+ + + = 0 ∂t ∂x ∂y ∂z

Quindi non c’è variazione di massa.

ρ ∂  ( ) ρ+ ∇ ⋅ =v 0 ∂t

Sviluppando le derivate parziali:

ρ ρ ρ ρ ∂( ∂ ∂ ∂u) u u u ∫ + + +u v wdV ∂t ∂x ∂y ∂z V

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ρ ρ ρ ρ ∂u ∂ ∂ ∂u ∂u ∂ ∂u ∂u v w ρ ρ ρ ρ+ + + + + + +u u u v u w u ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂t ∂t ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ =0 =0 =0=0

Riscrivendo l’equazione di conservazione della quantità di moto:

⎛ ⎞ ∂u ∂u ∂u ∂u D ∫ ∫ ρ ρ= + + +v dV u v w dV ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂t ∂x ∂y ∂z Dt V V

Dove compare il prodotto scalare tra la velocità e il gradiente della velocità lungo l’asse x; perciò ipotizzando lo stesso risultato per le altre componenti posso scrivere in forma vettoriale:

 ∂ ⎛ ⎞   D v ∫ ∫ ρ ρ= + ⋅∇ ⎜ ⎟v dV v v dV ⎝ ⎠ ∂t Dt V V

Ricordando che l’equazione di partenza era:

  D ∫ ∫ ∫ ρ ρ τ= +v dV f dV dA Dt V V A

Analizzando l’integrale di superficie del tensore degli sforzi e considerando tau come il tensore degli sforzi che agiscono su un tetraedro di Cauchy, facendo tendere il volume a zero i primi integrali essendo infinitesimi di ordine superiore possono essere trascurati. Posso scrivere l’equilibrio in base alle forze di superficie:

 ∫ τ =lim dA 0 ΔV→0 A

Bisogna trasformare l’integrale di area in un integrale di superficie:

     ∫ τ τ τ τ τ= + + + =dA A A A A 0 n n x x y y z z A

Se divido tutto per A:

n A A α= = α α= → = n n cos zz n A A cos cos z zz n A n n

Allora:

    τ τ τ τ+ + = n n nx x y y z z n

I vettori τ i costituiscono le componenti vettoriali di un tensore del secondo ordine.

⎧ τ = + +T n T n T n nx xx x xy y xz z ⎪ τ = + + ⎨ T n T n T n ny yx x yy y yz z ⎪ τ = + +T n T n T n ⎩ nz zx x zy y zz z

T T T xx xy xz  τ = n n n T T T x y z yx yy yz T T T zx zy zz

Applicando il Teorema di Gauss posso trasformare l’integrale di area in integrale di volume introducendo la divergenza.

  τ = nT

   ∫ ∫ ∫ τ = = −∇ ⋅T dA nT dA dV A A V

Allora l’equazione di bilancio della quantità di moto diventa:

   Dv ∫ ∫ ∫ ρ ρ= + −∇ ⋅T dV f dV dV Dt V V V

      Dv ⎛ ⎞ Dv ∫ − + ∇ ⋅T =ρ − + ∇ ⋅T = f 0 ⎜ ⎟f dV 0 ⎝ ⎠ Dt Dt V

Riepilogo

ρ ∂ ⎧  ( ) ρ+ ∇ ⋅ = Equazione di continuità v 0 ⎪ ⎪ ∂t ⎨     ! Dv ⎪ Equazione di bilancio della quantità di moto ρ ρ= − ∇ ⋅f T ⎪ ⎩ Dt

In tutto ho 4 equazioni, una data dall’equazione di continuità e 3 dall’equazione di bilancio della quantità di moto, in tutto 13 incognite, sistema indeterminato.

Con T definito come:

T T T xx yx zx = T T T T xy yy zy T T T xz yz zz

Secondo principio cardinale del moto

Grazie a questo principio posso dimostrare la simmetria del tensore degli sforzi. Il momento della quantità è il prodotto vettoriale tra la quantità di moto e il vettore posizione che individua il punto in esame.

         D ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ρ ρ τ − × = − × + − × x x vdV x x f dV x x dA 0 0 0 Dt V V A

Posso applicare il teorema del trasporto di Reynolds al primo termine il quale mi permette di portare l’operatore derivata nell’integrale.

     D Dv ( ) ( ) ∫ ∫ ρ ρ − × → − × x x vdV x x dV 0 0 Dt Dt V V

Dimostrazione

     D Dv ( ) ( ) ∫ ∫ ρ ρ − × → − × x x vdV x x dV 0 0 Dt Dt V V

Perché:

⎡ ⎤    D ( ) ∫ ρ − × x x v dV ⎢ ⎥ 0 ⎣ ⎦ Dt V

   D ( ) − =x x v 0 Dt

 ⎡ ⎤     Dv ( )( ) ∫ ρ × + − ×v v x x dV ⎢ ⎥ 0 ⎣ ⎦ Dt V

Quindi:

   Dv ( ) ∫ ρ − × x x dV 0 Dt V

Prendendo ora in esame il terzo termine:

  τ = nT

   ( ) ∫ τ − × x x dA 0 A

ˆi ĵ k̂

− − −(x x ) (y y ) (z z ) 0 0 0

   ( ) ( ) ( ) τ τ τ x y z

La componente lungo x:

  ( ) ( ) ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ ˆ τ τ − − −y y z z i 0 z 0 y

Con:

 τ = + +n T n T n T y x xy y yy z zy

 τ = + +n T n T n T z x xz y yz z zz

Sostituendo:

( ) ( )( ) ( ) ∫ ⎡ ⎤ − + + − − + +y y n T n T n T z z n T n T n T dA ⎣ ⎦ 0 x xz y yz z zz 0 x xy y yy z zy A

Applicando il teorema di Gauss per trasformare l’integrale di superficie in un integrale di volume ottengo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎛ ⎞ ∂ − ∂ − ∂ − ∂ − ∂ − ∂ −z z y y y y z z z z z z ∫ + + − + +0 0 0 0 0 0T T T T T T dV ⎜ ⎟ ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ⎝ ⎠ xz yz zz xy yy zy V

Ma essendo le derivate parziali:

⎧ ⎫ ∂y ∂y ∂z ∂z= = = = ⎨ ⎬0 ∂x ∂z ∂x ∂y ⎩ ⎭

∂T ∂T ∂T ∂T ∂T ∂T ⎡ ⎤ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ − + − + + − − − + − + − +yz xy yy zyxz zzy y y y T y y z z z z z z T dV ⎢ ⎥ ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z 0 0 yz 0 0 0 0 zy ⎣ ⎦ V

Stessa cosa per le componenti y e z, alla fine si avrà:

   ( )     ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ⎡ ⎤ τ ⎡ ⎤ − × = − × ∇ ⋅ − −x x dA x x T T T dV ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 0 0 zy yz A V V x

Dove il primo integrale a secondo membro rappresenta la componente x della divergenza di T.

Riscrivendo tutta l’equazione per componenti, iniziando dalla componente x:

    ( ) ⎡ ⎤       Dv ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ρ ρ − + = − × − − × ∇ ⋅ − −x x dV x x f dV x x T dV T T dV ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ 0 0 0 zy yz ⎣ ⎦ Dt V V V V x xo

Ovvero:

    ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ( )   Dv ( ) ∫ ∫ ρ ρ − × − + ∇ ⋅ − − =⎜ ⎟x x f T dV T T dV 0⎢ ⎥⎝ ⎠0 zy yz⎣ ⎦DtV V