Meccanica dei fluidi
Fluido considerato come un sistema continuo
Non considero la distribuzione discreta di atomi/molecole.
\[\rho (x,t) = \rho (x,y,z,t) = \frac{dm}{dV}\]
Forze in un fluido
- Forze di volume, proporzionali a dV.
- Forze di superficie, proporzionali a dS.
Si eserciano sulla superficie e contiamo dFm e dFE.
Spostamenti reciproci:
Fn: \( \frac{dFm}{dS} \) = pressione.
Ft: \( \frac{dFE}{dS} \).
Effetto alla viscosità.
Pressione
In un fluido in quiete Fn gli elementi sono ortogonali alla superficie di separazione e alternativamente dal movimento.
Il valore della pressione in un punto del fluido non dipende da l'orientazione di dS → P è grandezza scalare.
Lavoro della forza di pressione
Superficie dS a cui è applicata una forza dF si sposta di dr.
dW = dF . dr = pdSdr = pdV → \[W = \int pdV\]
Il lavoro provoca una variazione di volume.
Equilibrio statico
Le forze si equilibrano.
- Forza di volume: \[dFE = \rho d\omega = \rho_{z}\rho dV\]
- Forze di superficie: \[dF = \frac{S}{z}\]
\[dF_{z} = \rho(t) dS - \rho(z + dz) dS\]
\[1 - \left(\rho \cdot \frac{\partial z}{z} - \rho(z) \right) dS = 1 - \frac{\partial \rho}{2} \frac{dz \cdot dS}{z}\]
\[\left(1 - \frac{\partial P}{\partial z}\right) dV\]
Meccanica dei fluidi
Fluido considerato come un sistema continuo
Non considero la distribuzione discreta di atomi/molecole.
Densità ρ (x, t) = ρ (x, y, z, t) = dm / dV.
Forze in un fluido
Forze di volume proporzionali a dV es. forza peso.
Forze di superficie proporzionali a dS.
Si esprimono sulla superficie e contiamo dFm e dFe.
Spostando il ragionamento:
pn = dfm / dS = pressione.
τe = df / dS legata alla viscosità.
Celefies.
In un fluido in quiete tutti gli elementi sono ortogonali alle superficie di separazione, altrimenti c’è spostamento.
Il valore della pressione in un punto del fluido non dipende da orientamento di dS —> P è grandezza scalare.
Lavoro della forza di pressione
Superficie dS a cui è applicata una forza dF si sposta di dr.
dW = dF . dr = pdS . dr = pdV —> Ws = ∫ pdV.
Se lavoro provoca una variazione di volume.
Equilibrio statico
Le forze in equilibrio.
Forza di volume dEf = ρ dV = fz p dV.
2 forze di superficie: dFs.
dEs = ρ(x, t) dS - ρ(z + dz) dS.
1 - (ρ (z + dz) - ρ(z)) dS.
1 - ρ / z dz dS.
1 - ∂P / ∂z ∂V.
Ho equilibrio.
∂P/∂z = ρg.
∂P/∂x = ρfx.
∂P/∂y = ρfy.
∂P/∂z = ρfz.
Condizione di equilibrio statico.
Caso della forza peso:
fz = g (a0 − g).
∂P/∂x = −ρg.
Se Fo demista è costante.
z1 = (z2 − z1).
Legge di Stevino
P1 = P2 + ρg (z2 − z1) P2 + ρg (z2 − z1).
Px = cost → superfici equipotenziali.
Principio di Pascal
Una variazione di pressione esterna indegno a una variazione uguale di pressione indotto ie fluido.
ΔPe = ρ (Pz) − ρxg.
Barometro di Torricelli
Patm = ρg h.
h = 0.76 m.
1.01 · 105 Pa.
Altro esempio: tubo a U.
P1 − P2 + ρg h.
h = (P1 − P2)/ρg.
Principio di Archimede
Un corpo immerso in un fluido riceve una spinta verso l'alto pari al peso del volume di fluido spostato.
Fv = Fb - mgf = FR = 0 → FP = -mgf.
Sostituendo alla massa mf una massa mi di ugual volume mi - ρfV.
FP non vince.
mg - FP = Ft = mg - mgf (mi - mf = ∫(g)(1-ρ) Vg).
Risultante dipende da ρ i = ρ.
Attrito interno, viscosità
Fluido in movimento.
Forza di attrito interno:
- Direzione tangenziale.
- Senso contrario alla velocità relativa.
F - (ci opponiamo sempre al moto).
F = η S Δv / Δr.
[η] = kg/m.s.
Viscosità del fluido.
Area di contatto.
γs = F / S = η Δr / Δr = η Δv / Δy.
Moto di un fluido
Linee di corrente: traiettorie descritte dagli elementi di un fluido.
Velocità tangente alla linea di corrente.
Tubo di flusso:
- Maggiore densità delle linee di corrente.
- Maggiore velocità.
Fluido perfetto
Se la viscosità (η) è nulla ed è incomprimibile.
ρ costante.
Ogni sua porzione mantiene lo stesso volume indipendentemente dalle pressioni che si esercitano su di esso.
Nei fluidi reali (con viscosità) per velocità più grandi di una certa velocità critica si entra in un regime turbolento che porta alla formazione di vortici.
Per velocità più basse della velocità critica, i vari filetti di fluido scorrono contemporaneamente la loro traiettoria, e procedono in un regime di impermeabilità gel in rapporto agli altri, anche in presenza di ostacoli che frenammo rapidamente.
Regime laminare (impermeabilità totale in un fluido perfetto).
Regime stazionario: velocità costanti, siccome il fluido non cambia nel tempo.
Il passaggio da regime laminare a turbolento è dovuto alla velocità, in un fluido perfetto esiste un regime laminare.
Fluido ideale
Fluido ideale (incomprimibile e μ = 0).
p(x,t) tal. impermeabilità tra tubi di flusso.
Δm₁ = ρ ΔV.
Δm₁ = ρ A₁ Δx₁ Δt.
Δm₂ = ρ A₂ Δx₂ Δt.
Δm₁ = Δm₂.
∮A₁ Δx₁ = ∮A₂ Δx₂.
Equazione di continuità.
Rv = A v.
Portata volumica [m3/s].
Portata di massa [Kg/s].
Rm = ρ Rv.
Portata di massa [Kg/s].
La portata volumica è costante nel tempo.
Consequenza:
Se A₂ Teorema di Bernoulli.
Teorema di Bernoulli
Relazione tra velocità e pressione nel fluido nelle diverse sezioni.
Applicazione del teorema dell'energia cinetica.
Per l'equazione di continuità: dv₁ di v₂ dv₀.
Forze agenti + forze passive -dd(W) = d(EP) - d(mg) (z₂ - z₁) = -ρd v g (z₂ - z₁).
• Forze di pressione (forze di pressione delle parti meno gravose riconole) Δm.
Perpendicolare allo spostamento.
dWP₁ = ∮ F̅ · ΩS = ∮ (F̅, dS) = -P₁ S dS z P₁ dS z₂ z :1(P₁ - P₂) dv̅.
Non ho forze di viscosità perché fluido ideale aderenti alle pareti.
Variazione di energia cinetica:
dEk1 ≠ dAlm1z1.
dEk2 = dAlm1z2 - λ/2 • ρdV (v22-v21).
dW1 + dW2 = p1p2dV(-s2-z1) + (p1-p2)dV.
p1 + 1/2 ρv2 + ρgz1 = p2 + 1/2 ρv2 + ρgz2.
p + 1/2 ρv2 + ρgz = costante.
Estensione della conservazione dell'energia meccanica.
- Energia cinetica.
- Densità di energia cinetica.
- Densità di energia potenziale.
Se v = 0 pressione.
p1 = p2 - ρg(z2-z1).
Legge di Stevin.
Se il tubo è orizzontale.
ΔA1 = ΔA2.
Legge di continuità.
A1v1 = A2v2.
z1 = z2.
p1 + 1/2 ρ v2 = cost.
Effetto di Bernoulli.
v1 2 --> p2 1.
In corrispondenza di una strozzatura v aumenta ma p diminuisce.
Applicazioni:
- Tubo di Flurostato.
- Tubo di Pitot.
Tubo a sezione costante --> v costante.
p1-ρgz1 = p2-ρgz2.
Pressione potabile.
p1-ρgh = p2.
Potenziale.
Teorema di Torricelli
p1 + 1/2 ρv2 + ρgz1 = (p1 + 1/2 ρv2 + ρgz1)sup.
∀(A)sup(∀ A).
Passo.
Lo scorrio superficiale libero.
A --> a A(up arrow) --> V (down arrow) --> Passo tenendo V rispetto Cl = v = √(2gh).
Forze di resistenza viscosa
L'effluido esercita una forza di attrito viscous R.
R = I R I = (Aη + Bρ v2) v2 (base ridotta non troppo elevata).
R = |R| = Aη + Bρ v2.
A, B, coefficienti che dipendono dalla forma e dalle dimensioni del corpo e dal tipo di fluido f ρη[ A m B αρ] R = Aη + B ρ v2.
Due termini paragonabile se Aη = Bρ v2.
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