Meccanica applicata alle macchine Cinematica

Cinematica del punto

Il punto è una entità geometrica, non fisica.

Esempio punto GPS: il punto è molto piccolo rispetto alla mappa.

Moto del punto nello spazio

(Evoluzione della posizione nel tempo)

• Distanza di riferimento
• Tempo
• Posizione
• Origine

SDR: (versori) \( \hat{i}, \hat{j}, \hat{k} \) (x, y, z), terna destrorsa.

• Vettore posizione

\((P(t) - O) = x_p(t)\hat{i} + y_p(t)\hat{j} + z_p(t)\hat{k}\)

In uno specifico istante temporale.

In un piano possiamo usare anche la notazione polare.

Cinematica del punto

Il punto è una entità geometrica, non fisica.

Esempio punto GPS: il punto è molto piccolo rispetto alla mappa.

Moto del punto nello spazio

(Valutazione della posizione nel tempo)

• Distanza di riferimento
• Tempo
• Posizione
• Origine

SDR (versori) _i, _j, _k (x, y, z), terna destrorsa.

Vettore posizione

(P(t) - O) = x_p(t)_i + y_p(t)_j + z_p(t)_k

In uno specifico istante temporale.

In un piano possiamo usare anche la notazione polare.

Nello spazio si aggiungono le coordinate cilindriche o sferiche.

Coordinate cilindriche e piano

Cilindriche: ρ, φ, z.

Piano: notazione esponenziale complessa.

(P(t) - O) = x_{0 i} + y_{p j} = ρ cosθ + ρ senθ = ρ cosθ + i senθ = ρ e^iθ

Ma anche: e^iθ = cosθ + i senθ.

Tabella e traiettoria del punto

Creare una tabella con | t | x_p | y_p | z_p | sopra le funzioni:

Traiettoria del punto.

Ci serve l'equazione che descrive la traiettoria: si deve esplicitare il t dal sistema con θ = Ωt, con costante =1.

Eq. della traiettoria → s = ^y⁄_Ay_g = - B ^x2⁄_μ² + c x², eq. della parabola con concavità verso il basso.

Equazione di moto dell'ascissa curvilinea

Valore che indica la quantità percorsa in funzione del tempo.

Tabella t | y. Tale odore ascissa curvilinea da eq. della traiettoria.

s(t) = ∫₀^t √(dx_p/dt)² + (dy_p/dt)² + (dz_p/dt)² dt

Ascissa curvilinea

Principio circonferenza.

x_p = R cos ωt

y_p = R sen ωt

dx_p/dt = -R sen ωt

dy_p/dt = Rω cos ωt

e s(t) = ∫₀^t √R²ω²sen² ωt + R²ω²cos² ωt dt = = ∫₀^t Rω dt = Rωt = Rθ

Esempio parabola

_dxp / _dt = A ; _dyp / _dt = B_t

es(t) = ∫₀^t √(A² + B²t²) dt

Vettore velocità

Vettore velocità = _{d r(t)} / _dt quando _vp(t) = _ddsd[P(t)_{Δ t} - P(t)] = [P(t + Δt) - P(t)] / Δt

Per Δt → 0 → la differenza tende a ds.

ds non dà info su direzione e verso → ẑ versore tangente → per Δt → 0.

r̂(t) = _ds / _dt ẑ(t)

v_p = _ds / _dt

In notazione cartesiana

d/dt (P(t) - O) = J̅_p = ẋ_p(t) ı̅ + ẏ_p(t) j̅ + ż_p(t) k̅

Esempio

x_p = R cos ωt → ẋ_p = - Rω sen ωt

y_p = R sen ωt → ẏ_p = Rω cos ωt

Esempio

θ = ẏ_p / ẋ_p = dy / dx.

La velocità è sempre tangente alla traiettoria.

Con notazione esponenziale

((t) - ) = (t) e^i(t)

Previsione: eⁱ = cos + i sen. d/dt eⁱ = ( - sen + i cos ) ̇ = i ̇ eⁱ

e^{i( + π/2)}

La derivata del versore è sfasata di 90°.

Quindi se^→ ⟂ ̇^→

|| = √[̇² + ( ̇)²]

ouangolo.

Moto rettilineo uniforme

La traiettoria è una retta.

(P(t) - O) = xpiv̅_P = ẋpi

(P(t) - O) = ρ(t) e^iθ

v̅_P = ρ̇ e^iθ

Nel caso generale

Moto circolare