Matematica per l'economia I

Definizione 8

Un insieme A È denso in R se per ogni coppia di numeri reali x; z, esiste a ∈ A tale che x

Definizione 10

Un insieme A ⊂ R si dice finito se È vuoto o se esiste un numero n ∈ N, n ≠ 0, tale che gli elementi di A possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i numeri {1, 2, 3, ..., n}.

Definizione 15

Un insieme A ⊂ R si dice numerabile (o infinitamente numerabile) se A È finito oppure ha lo stesso cardinalità di N ossia i suoi elementi possono essere messi in corrispondenza biunivoca con gli elementi di N.

Definizione 18

Un insieme A ⊂ R ha la potenza del continuo se A può essere messo in corrispondenza biunivoca con R.

Definizione 42

Si dice intorno sferico di centro x ∈ Rⁿ e raggio r > 0, e lo si denota con B_r(x), l'insieme: B_r(x₀) = {x ∈ Rⁿ / d(x, x₀)

Definizione 66

Un insieme E ⊂ Rⁿ si dice limitato se esiste un intorno sferico dell’origine che lo contiene, cioè se ∃r > 0 tale che E ⊂ B_x(0).

Definizione 68

Dato un insieme E ⊂ R, si dice maggiorante di E un numero M ∈ R se esiste tale che x ≤ M ∀ x ∈ E, e dice minorante di E un numero m ∈ R se esiste tale che x ≥ m ∀ x ∈ E.

Definizione 50

E ⊂ R si dice limitato superiormente se ha almeno un maggiorante e si dice limitato inferiormente se ha almeno un minorante.

Definizione 8

Un insieme A è denso in R se per ogni coppia di numeri reali x/z, esiste a ∈ A tale che x < a < z.

Definizione 10

Un insieme A ⊂ R si dice finito se è vuoto o se esiste un numero n ∈ N⁺ tale che gli elementi di A possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i numeri {1, 2, 3,..., n}.

Definizione 15

Un insieme A ⊂ R si dice numerabile (o infinito numerabile) se A è infinito, ma ha lo stesso cardinale di N cioè i suoi elementi possono essere messi in corrispondenza biunivoca con gli elementi di N.

Definizione 18

Un insieme A ⊂ R ha la potenza del continuo se può essere messo in corrispondenza biunivoca con R.

Definizione 42

Si dice intorno sferico di centro x ∈ Rⁿ e raggio r > 0, l’insieme: B_c(x₀) = {x ∈ Rⁿ / d(x, x₀) < r}.

Proposizione 43

In R l’intorno sferico di centro x ∈ R e raggio r è l’intervallo (x₀-r, x₀+r), cioè: B_z(x₀) : (x₀ - r, x₀ + r)

Definizione 66

Un insieme E ⊂ Rⁿ si dice limitato se esiste un intorno sferico dell’origine che lo contiene, cioè se ∃z > 0 tale che E ⊂ B_z(0).

Definizione 68

Dato un insieme E ⊂ R, si dice maggiorante di E un numero M > R se esiste tale che x < M ∀ x ∈ E, si dice minore di E un numero m ∈ R se esiste, tale che x > m ∀ x ∈ E.

Definizione 50

E ⊂ R E si dice limitato superiormente se ha almeno un maggiorante, si dice limitato inferiormente se ha almeno un minorante.

Definizione 52

Dato A ⊂ R limitato superiormente si dice che z ∈ R è l'estremo superiore di A si scrive z=supA se z è il più piccolo dei maggioranti di A, cioè se z≤x per ogni x maggiorante di A.

Definizione 53

Dato A ⊂ R limitato inferiormente si dice che β ∈ R è l'estremo inferiore di A si scrive β=infA se β è il più grande dei minoranti di A, cioè se β≥b per ogni b minorante di A.

Definizione 54

Dato A ⊂ R si dice massimo di A e si indica con maxA il punto M ∈ A se esiste t.c. M≥x ∀x∈A si dice minimo di A e si indica con minA il punto m ∈ A se esiste t.c. m≤x ∀x∈A il maxA se esiste è unico. Il minA se esiste è unico.

Definizione G1

Siano E ⊂ Rⁿ x₀ ∈ Rⁿ il vettore x₀ si dice punto interno ad E se esiste un suo intorno sferico tutto contenuto in E, cioè se ∃r>0 t.c. B_r(x₀)⊂E.

Definizione G2

Siano E ⊂ Rⁿ y₀ ∈ Rⁿ il vettore x₀ si dice punto esterno ad E se ed λl'interno a E (cioè E⊂(Rⁿ\E)).

Definizione G3

Siano E ⊂ Rⁿ sanno x₀ ∈ Rⁿ il vettore x₀ si dice un punto di frontiera per E se non è né interno né esterno ad E.

Proposizione G4

Dato E ⊂ Rⁿ e siano x₀ ∈ Rⁿ x₀ ∈ E ma un punto della frontiera per E se e solo se ogni suo intorno sferico contiene sia punti di E sia punti di E^c cioè se e solo se ∀r>0 si ha B_r(x₀)∩E ≠ ∅ e B_r(x₀)∩E^c ≠ ∅.

Definizione 6.1

Dato A &subseteq; &Reals;ⁿ