Matematica per le applicazioni I - limiti e successioni

Appunti elaborati dal collega Prof. Vincenzo De Pasquale

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Infinitesimi

→ = Si dice che f è infinitesima o che è un infinitesimo per se .x x lim f ( x) 00 →x x 0

Un infinitesimo, quindi è una variabile che tende a zero.

π Es. 1- = → = è un infinitesimo per poiché y cos x x lim cos x 0 π2 →x 2

= → = = è un infinitesimo per poiché .y ln x x 1 lim ln x ln 1 0 →x 1

α β Dati due infinitesimi, può accadere che essi tendano a zero con diversa rapidità.

Es. 2 = = 2e y x y x^{1 2} →

Sono entrambi infinitesimi per x 0.

= = = Per ex 0,1 y 0,1 y 0, 01^{1 2}

= = = Per ex 0 , 01 y 0 , 01 y 0, 0001^{1 2}

Anche graficamente si nota che le ordinate diminuiscono più y² → rapidamente di per .y x 01

Per confrontare la diversa rapidità di tendenza a zero, si introduce il concetto di ordine di un infinitesimo.

1. Diciamo che due infinitesimi α e β sono dello stesso ordine se:

α = ≠ con e finito. lim k k 0 β →x a

sin x Es. 3 = lim 1 → x x 0

Quindi sin x e x sono infinitesimi dello stesso ordine.

−   1 cos x 0 sin x 1 Es. 4 == =   lim lim   2 → →x 0 2 x 2x 0 x 0²

Quindi e sono infinitesimi dello stesso ordine 1− cos x x.

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2. Diciamo che l’infinitesimo α è di ordine superiore a β se:

α = lim 0 β →x a

− −   1 sin x cos x 0 Es. 5 = = =   lim lim 0 −   π π cos x 0 sin x → →x x² 2 2

Quindi è di ordine superiore a cos x 1 sinx.

3. Diciamo che α è infinitesimo di ordine inferiore a β se:

α = ∞ lim β →x a

4. Se non esiste, i due infinitesimi non sono confrontabili (almeno con lim α β →x 0 il criterio del rapporto).

5. Diciamo che α è un infinitesimo di ordine n per se α →x 0ⁿ è dello stesso ordine di , cioè se x:

α = ≠ con e finito. lim k k 0 n → x x 0

− 1 cos x 1 Es. 6 = Dato che lim 2 → x 2x 0

Concludiamo che è un infinitesimo del secondo ordine. 1− cos x

α n Per stabilire l’ordine di un infinitesimo lo si confronta con (con n x incognito) eseguendo il calcolo del:

α lim n → x x 0

Es. 7 = − → Per determinare l’ordine di per si ha: y x sin x x 0

− −       x sin x 0 1 cos x 0 sin x 0 = = = = = =       lim lim lim − − −       n n 1 n 2 0 0 0 → → →x nx n ( n 1) x x 0 x 0 x 0

cos x lim − − − n 3 → n ( n 1)( n 2 ) x x 0

− = − Se la forma non è più indeterminata, pertanto è infinitesimo del n 3 0 x sin x terzo ordine.

α β Siano due infinitesimi dello stesso ordine, per cui e

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α = ≠ con lim k k 0 β →x a

avremo:

α = + εkβ ε α β dove è un infinitesimo simultaneo con . Segue che e

α = β + β εk   β kβ β  =  l’infinitesimo è dello stesso ordine di e quindi anche di k lim k   β   →x a

α . β ε essendo il prodotto di due infinitesimi è un infinitesimo di ordine superiore a ciascuno dei due: in particolare è di ordine superiore a β.

In conclusione: Ogni infinitesimo si può decomporre nella somma di due infinitesimi parte:

α = α + α α α in cui è dello stesso ordine di ed è detto 1 2 1 principale α α di , mentre è di ordine superiore rispetto ad 2 parte complementare α α ed è detto di .

Principio di sostituzione degli infinitesimi

Il limite del rapporto di due infinitesimi è uguale al limite del rapporto delle loro parti principali.

α β Infatti se sono infinitesimi simultanei si ha decomponendoli e:

  α   α + 2 1   α α α + α α 1   = = = 1 1 2 1 lim lim lim lim β β + β β  β  → → → →x a x a x a x a   β +1 2 1 2 1   β 1   1

Poiché α = α α 2 perché è di ordine superiore rispetto ad e lim 0 α 2 1 →x a 1

β = β β 2 perché è di ordine superiore rispetto ad lim 0 β 2 1 →x a 1

concludiamo che α α = 1 lim lim β β → →x a x a 1

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Segue che il limite del rapporto di due infinitesimi non si altera eliminando gli infinitesimi di ordine superiore (ciò semplifica il calcolo).

+ +2 8 sin x 2 x x sin x Es. 8 lim − 2 → 3 x x sin x x 0

Al numeratore: sin x è del primo ordine; 2 è del secondo ordine x; è del secondo ordine x sin x.

Al denominatore x è del primo ordine; 2 è del terzo ordine x sin x.

Pertanto + +2 8 sin x 2 x x sin x 8 sin x 8 = = lim lim − 2 → → 3 x x sin x 3 x 3x 0 x 0

Es. 9 Le due funzioni α = − + β = − ex ln( 1 x ) 1 cos x β α → per sono due infinitesimi. Confrontare con x 0.

Si ha 11 −1 α − + +   + 2x ln( 1 x ) 0 (1 x)1 x = = = = =   lim lim lim lim 1 β −   → → → → 1 cos x 0 sin x cos x x 0 x 0 x 0 x 0

I due infinitesimi sono dello stesso ordine 2x.

Es. 10 α = − − Confrontare l’infinitesimo con l’infinitesimo 1 cos x 2 β = − .tg x x

Si ha 2x − − 1 cos x α − − sin x x cos x 1 2 = = = = lim lim lim lim β − + − +2 2 → → → → tg x x 1 tg x 1 2 tg x (1 tg x) x 0 x 0 x 0 x 0

− sin x 0 = = =[ ] lim 0 + + +2 2 2 → 2 1 tg x 3 tg x (1 tg x) 2 x 0

α β Pertanto è di ordine superiore rispetto a.

α = − β = −2 2 Confrontare l’infinitesimo con l’infinitesimo x sin x tg x sin x.

Si ha α − − x sin x 1 cos x = = = lim lim lim β − + −2 2 2 → → → tg x sin x 2 tg x(1 tg x ) 2 sin x cos x x 0 x 0 x 0

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sin x = =[ ] lim + + + − +2 2 2 2 → 2 1 tg x 3 (1 tg x) cos x sin x x 0

cos x = = ∞[ [ ] ] lim + + + + + +2 2 2 2 → 2 2 tg x (1 tg x ) 3 2 tg x (1 tg x) 3tg x (1 tg x) 4 sin x cos x x 0

α β Si conclude che è infinitesimo di ordine inferiore rispetto a.

1 Es. 11 = La funzione se x tende a zero, tende a zero, perciò y è un y x sin x infinitesimo. Confrontare y con l’infinitesimo x.

Il rapporto è 1xsin y 1x = = sin x x x

e quindi il y 1 = lim lim sin → →x x x 0 x 0

non esiste. 1 → Dobbiamo concludere che l’infinitesimo , per non è confrontabile x sin x 0 x con l’infinitesimo x, cioè non è dello stesso ordine di x, né di ordine superiore.

Es. 12 Riguardando x come infinitesimo di confronto, determinare l’ordine e la parte principale dell’infinitesimo, determinare la parte principale dell’infinitesimo 3 8 x+2x 4.

Siccome si può scrivere y 8 = +3 2x x 4

essendo y 8 = = ≠ lim 2 0 3 → x 4x 0

si conclude che y è infinitesimo del 3° ordine rispetto ad x e che la sua parte 3 principale è . Pertanto si può scrivere 2 x

= + ε3 3 y 2 x x

ε = ove .lim 0 →x 0

Es. 13 Determinare l’ordine e la parte principale dell’infinitesimo = − y 1 cos x.

Essendo

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x = − = 2 y 1 cos x 2 sin 2 2

basta dividere ambo i membri per , si ha x x²2 sin y 2 x² = = 2sin2 2 2x x x 2

y 2 x 1 = = ≠ 2 lim lim sin 0 2 2 → →x x 2 2x 0 x 0

= − Si conclude che è infinitesimo del secondo ordine rispetto ad x (per y 1 cos x 1 → 2) e la sua parte principale è .x 0 x²

L’infinitesimo si può scrivere 1 = + ε ε =2 2 dove y x x lim 0 →2 x 0

Quando l’artificio di dividere per una opportuna potenza dell’infinitesimo di n confronto non è evidente si deve procedere confrontando con .x

Es. 14 Determinare l’ordine dell’infinitesimo 5 16 x = y 3 +2x 2

→ Per si ha x 0:

−5 5 5 3 n y 1 16 x 16 x 16 x = = = y 3 3+ + +2 3 n 2 2n n x 2 x ( x 2 ) x 2x x

→ Poiché il denominatore non tende a zero per , determiniamo n in modo che x 0 − = anche il denominatore non vi tenda, occorre quindi che sia , da cui 5 3 x 0 5 = n 3

Avremo pertanto 16 y = = =3 lim lim 8 2 3 +2 5 → → x 2x 0 x 0 3x

Es. 15 Applicando il principio di sostituzione degli infinitesimi calcolare:

+ +3 2 3 x 2 x sin x cos x lim + + 2 → 4 x xtg x sinx tg x x 0

Al numeratore è infinitesimo del 1° ordine rispetto ad x 3 x 3; è infinitesimo del 3° ordine rispetto ad x 2 x²; è infinitesimo del 2° ordine rispetto ad x sin x cos x.

Al denominatore è infinitesimo del 1° ordine rispetto ad x 4 x.

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è infinitesimo del 2° ordine rispetto ad x tg x²; è infinitesimo del 3° ordine rispetto ad x sinx tg x.

Per cui + +3 2 3 x 2 x sin x cos x 3 x 3 = = lim lim + + 2 → → 4 x xtg x sinx tg x 4 x 4x 0 x 0

Es. 16 Calcolare:

+ − − − ln( 1 x) ln( 1 x ) 2 x lim − → tg x x x 0

E’ immediato verificare che sia il numeratore che il denominatore sono → infinitesimi (per ) e determinare l’ordine. x 0

Per il numeratore 1 1+ − 2+ − − − + − ln( 1 x) ln( 1 x ) 2 x 1 x 1 x = = lim lim − n n 1 → →x nx x 0 x 0

2 2 1 1 + − + + − + − 3 3 2 2 (1 x) (1 x)(1 x ) (1 x ) = == lim lim − − − − − n 2 n 3 →→ n (n 1) x n ( n 1)( n 2 ) x x 0x 0

= Se poniamo il limite non è più indeterminato e si ha: n 3 2 2

++ − − − + −3 3 ln( 1 x) ln( 1 x) 2 x (1 x) (1 x) 4 2 = = = lim lim ⋅ ⋅3 → →x 3 2 1 6 3x 0 x 0 2 3

Pertanto la parte principale dell’infinitesimo è x³.

Per il denominatore − + − +2 3 tg x x 1 tg x 1 2 tg x 2 tg x = = = lim lim lim − − − n n 1 n 2 → → →x nx n ( n 1) x x 0 x 0 x 0

+ + +2 2 2 2 (1 tg x ) 6 tg x (1 tg x ) = lim − − − − n 3 → n ( n 1)( n 2 )( n 3 ) x x 0

− = Ponendo il limite risulta determinato. Si ha n 3 0

− + + +2 2 2 tg x x 2 (1 tg x) 6 tg x (1 tg x) 1 = = = lim lim ⋅ ⋅3 → →x 3 2 1 3x 0 x 0 1

− 3 la parte principale dell’infinitesimo è tgx x x³.

Il limite proposto sarà

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2 3x+ − − − ln( 1 x) ln( 1 x ) 2 x 3 = = lim lim 2 − 1 → → tg x x x 0 x 0 3x³

Es. 17 Calcolare:

( )− +6 3 3 2 5 x arctg x sin x lim ( ) ( )− − − − 4 → x 5 x x 0 e 1 7 x 5 1

La presenza delle potenze suggerisce di trascurare gli infinitesimi di ordine superiore.

• A. è infinitesimo di ordine superiore rispetto a e quindi si può x⁶ sin x⁵ trascurare.
• B. Premesso che sia infinitesimo del 3° ordine, poniamo arctg x³ =3 2x t=2 3x t³ = 2x t.

1 1 2 2 arctg t3 arctg t +3 2+ arctg t 1 arctg t 2 2 1 t1 t = = = ⋅ = lim lim lim lim 1 lim +2 3 2 2 → → → → →t 3t 1 t t 2tt 0 t 0 t 0 t 0 t 0

1 = = lim 1+ 2 → 1 tt 0

=3 3 3 2 Pertanto e sono infinitesimi dello steso ordine, inoltre per cui arctg t t t x ( )3 3 2 è infinitesimo del 2° ordine rispetto ad x.arctg x 5

Ciò suggerisce di trascurare rispetto all’arcotangente.sin x

• C. Verifichiamo l’0rdine di e 1− −x xe 1 e 1.

= lim lim − n n 1 → →x nx x 0 x 0

− = −x Se il limite è determinato, per cui è infinitesimo del 1° ordine. n 1 0 e 1⁵

Trascuriamo inoltre 7 x −x⁴.

• D. Verifichiamo l’0rdine di . Si ha (5 1)− −x 4.

− − −x 4 x 3 x x 3 (5 1) 4 ( 5 1) 5 ln 5 ( 5 1) = = = x lim lim lim 5 ln 5 lim4 3 3 → → → →x 4 x x x 0 x 0 x 0 x 0

− − −x 2 x x 2 x x3 (5 1) 5 ln 5 (5 1) 2 ( 5 1)5 ln 5 = = = = x 2ln 5 lim ln 5 lim 5 ln 5 lim ln 5 lim2 2 → → → →3 x x 2 x x 0 x 0 x 0 x 0

x 5 ln 5 = =3 4 ln 5 lim ln 5 → 1x 0

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−x 4 Pertanto è infinitesimo del quarto ordine, e possiamo trascurarlo perchè (5 1) −x di ordine superiore rispetto a .e 1

Possiamo quindi scrivere:

( ) ( )− + −6 3 3 2 5 3 3 2 3 x arctg x sin x arctg x arctg t = = − = ( ) lim lim lim ( ) ( ) − 3− − − − 4 x → → → e 1x 5 x x 0 x 0 t 0e 1 7 x 5 1

−2te 1 1 1 2 3 arctg t + +3 2 arctg t arctg t2 2 1 t 1 t = − = − = − = lim lim 2 lim lim3 3 1 → → → →3t 0 t 0 t 0 t 0 3 t

−2 2 2t t t e 1 e2e t2 1 2 arctg t + 2 1 t = − ⋅ ⋅ = − ⋅ =2 1 lim lim t arctg t 0 → →1t 0 t 0t²

Calcolare i seguenti limiti

+ −2 3 3 sin x 2 sin x xtg x É 1 lim + − − +3 3 → x ln( 1 x ) x xsin x 3x 0

− +2 3 x sin x cos x tg x É 3 lim → x sin x x 0

3 2 1x tg x É lim + −3 2 2 4 2 → 2 x x sin x tg x x 0

+ + −3 2 2 x x cos x sin x É 2 lim + + 2 → x xtg x sin x tg x x 0

3 1− 1+ + +2 xln( 1 x ) tg x e x É lim 3+ →x 0 3 x x sin x

+ + +4 5 3 (1 cos x) x x sin x Calcolare lim + 4 → sin x 7 x x 0

Al numeratore + 4 è infinitesimo di ordine 8 essendo del 2° ordine (1 cos x) 1+ cos x⁵ “ “ 5x 1 1 7= + =3 3 è infinitesimo di ordine 2x sin x x sin x 3² 2.

Al denominatore è infinitesimo del pr