Matematica Generale - Parte 2

Derivate successive

y = f(x) D -> f'(x) D -> f''(x) D -> f'''(x)D -> f†(x) f‡(x) -> f‡(x)‡ -> f^(m)(x)

D(sen x) -> cos x -> -sen x -> -cos x -> sen x

D(x³) -> 3x² -> 6x -> 6 -> 0 -> 0 ...

D(e^x) -> e^x -> e^x -> ...

y = f(x) D(f(x)) = y' D(f(x)) = f'(x) D(f(x)) = df/dx

D(f^-1) = 1/f' dy/dx = 1/(dx/dy)

f(g(h(t))) = w

dw/dt = dw/dy * dy/dx * dx/dt

Teoremi su funzioni derivabili

• Fermat
• Rolle
• Lagrange
• L'Hopital
• Taylor

Fermat

1) Fermat -> Def. punto di Massimo/minimo relativo: x0 e Df∃ Y(x0): V x e Y(x0) f(x) >= f(x0): x0 p.to di minimo (rel)

ad un certo Y(x0)

f(x) <= f(x0): x0 p.to di massimo (rel)

massimo forte

max debole

x0 h.to max relativo

f(x0) >= f(x) V x e Y(x0)

f'(x0) = f'_(x0) = 0

o N.E

f.t. => max/min rel => f'(x0) < 0 f'(x0) <= 0

min

max

lim (f(x)-f(xo))/(x-xo)

lim (f(x)-f(xo))/(x-xo)

lim x->x0

f'(xo) = f'_+(xo) = 0 f'(x) D -> f''(x) D -> f'''(x)

f^(iv)(x) -> f⁽⁵⁾(x) -> ... -> f^(m)(x)

D(sen x) -> cos x -> -sen x -> -cos x -> sen x

D(x³) -> 3x² -> 6x -> 6 -> 0 -> 0 ...

D(e^x) -> e^x -> e^x -> ...

y = f(x) D(f(x)) = y' D(f(x)) = f'(x) D(f(x)) = df/dx

D(f^-1) = 1/f' -> dy/dx = 1/(dx/dy)

f(g(h(t))) = w

dw/dt = dw/dy . dy/dx . dx/dt

Teoremi su funzioni derivabili

• Fermat
• Rolle
• Lagrange
• L'Hopital
• Taylor

Definizione di punto di massimo/minimo relativo

1) Fermat -> Def. punto di Massimo/minimo relativo: x0 é Dfné M(x0): V x é Y(x0)

f(x) >= f(x0): x0 p.to di minimo (rel)

ad un certo Y(x0)

f(x) <= f(x0): x0 p.to di massimo (rel)

ASSRel

Max forte

Max debole

x0 h.to Max relativo

f(x0) >= f(x) V x é Y(x0)

f'(x0) = f+1'(x0) = 0

N. e.f.to Max/min Rel => f'(x0) < 0

m.en. e.

Implih x>x0 (f(x)-f(x0))/(x-x0) lim x>x0 (f(x)-f(x0))/(x-x0)

(-)/(-) -> +

(-)/(+) -> -

lim > 0

f'-(x0) = f'+(x0) = 0

f'-(x0) = f'+(x0) = 0

Teorema di Fermat

Teorema di Fermat: x₀ punto di max/min relativo

f'(x₀) = 0

f'(x₀) ≤ 0 (l improssi) s.t. e m.e

Weierstrass

Weierstrass

y = x

y' = 1

Teorema di Rolle

Teorema di Rolle: f ∈ C([a,b]) e f ∈ D((a,b))

e f(a) = f(b) => ∃ x₀: f'(x₀) = 0

Teorema di Lagrange

Teorema di Lagrange: f ∈ C([a,b]) e f ∈ D((a,b))

=> ∃ x₀: f'(x₀) = [f(b)-f(a)]/(b-a)

Applicazioni

Applicazioni:

D(f(x) = cost) = 0

D(h) ≡ f' = 0

f(x₁) - f(x₂)

x₁ - x₂ = f'(x₀)

= 0 => f(x₁) = f(x₂)

Derivata = coeff. angolare

f. strettamente monotone: [f(x₁) - f(x₂)]/[x₁ - x₂] ≥ 0

lim_x→x0 [f(x)-f(x₀)]/(x-x₀) = f'(x₀) ≥ 0

f cresce / f. strett. cres=> derivata sempre crescente

f. crescente => f' ≥ 0

f(x₁) - f(x₂)

x₁ - x₂ = f'(x₀) ≥ 0

N'finito

F' = 0> C

f. crescente (No strettamente)

f'(x) ≥ 0 ooo volte

No cambio di segno essere monotone

f' → N'finito

f'(x) > 0

Funzione invertibile

f(x) = x + lg x

x > 0

f'(x) = 1 + 1/x > 0

f(e) = e+1

(e; e+1) ∈ G_f

(e+1; e) ∈ G_f^-1

D(f^-1(y₀)) = 1/f'(x₀)

D(f^-1(e+1)) = 1/(1+1/e)

Teorema monotonia

Teorema monotonia: f(x) crescente <=> f'(x) ≥ 0 in ]a,b[

decrescente ≤ 0

f(x) = x³ · lg²x E. E. x > 0

f'(x) = 3x²·lg²x + x³·2·lg x · 1/x

= f'(x) = x²·lg x · (3 lg x + 2) > 0

lg x ≥ 0: x ≥ 1

3 lg x + 2 ≥ 0: lg x ≥ -2/3 => x > 1/e^2/3 = 1/³√e²

f. invertibile tra 1-2-3

log₁₃ x? x