Insieme di numeri reali
a, b ∈ R con a ≤ b
Intervallo chiuso
Insieme che indichiamo con a, b tutti gli x ∈ R tali che x ≥ a e x ≤ b
[a,b] = {x ∈ R: a ≤ x ≤ b}
Intervallo aperto
Insieme che indichiamo con a, b tutti i numeri reali x ∈ R tali che x < a x < b
(a,b) = {x ∈ R: a < x < b}
Intervallo
Relaz. d'ordine indotta da R
a, b sono detti estremi
Se intervallo è chiuso contiene estremi, altrimenti non li contiene (aperto)
I numeri reali si rapportano con la retta che ha origine ed ogni punto è un concetto esprim. da un numero.
Determiniamo origine e verso di percorrenza della retta
Ci spostiamo dx - crescente
Si ammette lunghezza e intervallo e lunghezza è il numero b-a dell'intervallo chiuso [a,b] e di quello aperto (a,b)
Intervalli infiniti
Si definisce l'intervallo oo a dx e di x lui io si x l'insieme
[a,+∞) = {x ∈ R, x > a}
"Tutti i numeri reali appartn.- a R tali che x >> a"
Si definisce l'intervallo oo a dx e apeto si x l'insieme
(a,+∞) = {x ∈ R, x > a}
"Tt i num. reali appartm.- a R tcl che x > a"
Analoge definiz. - per: (-∞,b) per b ∈ R
Numeri reali positivi
R+ è sottoinsieme di x appatrnt - a R tcl che x è positivo
R+ = {x ∈ R, x > 0} = (0, +∞)
"E il sottoinsieme dei numeri reali positivi"
Insieme di numeri reali
a, b ∈ ℝ con a ≤ b
Intervallo chiuso
Insieme che indichiamo con a, b tutti gli x ∈ ℝ tali che x ≥ a e x ≤ b
[a,b] = {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b}
Intervallo aperto
Insieme che indichiamo con a, b tutti i numeri reali x ∈ ℝ tali che x > a e x
(a,b) = {x ∈ ℝ : a
Intervallo
Relaz. d’ordine indotta da ℝ
a, b sono detti estremi
Se intervallo è chiuso contiene estremi, se intervallo è aperto non li contiene (a, b)
I numeri reali si rapportano con la retta che ha origine ed ogni punto è un coerente espressione di un numero.
Determiniamo origine e verso di percorrenza della retta
Ci poniamo due gemi - euclideesi associa lunghezza a intervallo e lunghezza è il numero b-a dell’intervallo chiuso [a, b] e di quello aperto (a,b)
Si definisce l'intervallo ∞ a dx e chiuso a sx l'insieme
[a, +∞) = {x ∈ ℝ, x ≥ a}
"Tutti i numeri reali apparten. a ℝ tali che x ≥ a"
Si definisce l'intervallo ∞ a dx e aperto a sx l'insieme
(a, +∞) = {x ∈ ℝ , x > a}
"Tutti i num. reali appparten. a ℝ tali che x > a"
Es. analogie definiz. per (-∞,b)
Per b ∈ ℝ
R⁺ è sottoinsieme di x apparten. a ℝ tali che x è positivo
R⁺ = {x ∈ ℝ, x > 0} = (0; +∞)
"E è sottoinsieme dei numeri reali positivi"
[a,b) = {x ∈ ℝ : a ≤ x
Esistono sottoinsiemi di ℝ che non sono intervalli
Es.: β: {x ∈ ℝ: x = 1/n n ∈ ℕ-{0}}
Insieme limitato
E ⊆ ℝ, E ≠ ∅ (∅: insieme vuoto)
E è supremum-limitato se ∃ (esiste) N ∈ ℝ tale che
∀ x ∈ E n ha x ≤ N
N è un maggiorante per E
E è infimum-limitato se ∃ N ∈ ℝ tale che
∀ x ∈ E m ha x ≥ M
M è un minorante per E
E è illimitato superium (-rispettiamo--illimitato infierum--)
E non ammette maggioranti (rispettiamo--minoranti)
E è limitato se E è limit.-super- e infier-in tutti gli altri casi: è illimitato
Es. 2 ℕ (insieme -) {x ∈ ℝ, x < 0} 2 ins.-Numeri e ℤ - insieme illimit.-infier.-- Interi
E può avere più maggioranti o minoranti, anche ∞
Un maggior.-o minor.-può non appartenere a insieme
Alcuni sottoinsiemi non hanno né maggioranti--né minoran...
Estremo superiore
E ammette estremo sup--se ∃ L ∈ ℝ tale che
- L è maggiorante di E (∀ x ∈ E, x ≤ L)
- L è "" ed è il più piccolo
- ∀ ε (piccolo a piacere) > 0 x ∈ E tale che x > L - ε
La notazione è sup E = L
Estremo inferiore
E ammette estremo inf--se ∃ L ∈ ℝ tale che
- L è minorante di E (∀ x ∈ E, x ≥ L)
- L è il qunale tra i minoranti
Noon sanno incrementare il mentre di essere minorante ⇒ ∀ ε >0 ∃ x ε E tale che x < l + ε
3) La notazione è l=inf E
Se E è limitato super -- non ammette estremo se E è " " " " " " " "
Massimo e minimo
Sottoinsieme E ammette massimo se ∃ M ε E M è massimo di E:= max E
Sottoinsieme E ammette minimo se ∃ m ε E m è min
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