Matematica generale

La funzione

Dati 2 insiemi X e Y, chiamiamo funzione da X a Y una assegnata corrispondenza che a ogni x ∈ X associa al più un unico y ∈ Y.

• Corrispondenza univoca.
• Funzione iniettiva: ogni elemento dell'immagine proviene da un unico elemento di A.
• Se f(x) è crescente ➔ sarà iniettiva.
• Se f(x) è iniettiva ➔ è possibile calcolare la funzione inversa f^-1.
• f^-1 ≠ ¹/_f(x).

Nel caso di funz. reali, sia una funz. iniettiva se una generica retta y=k interseca il grafico della funzione 1 sola volta.

• Funzione composta: h = g f.

Diversi insiemi numerici

• N e Z ➔ discreti (tra 2 numeri non c'è un altro di mezzo).
• Q ➔ denso e discontinuo (tra 2 numeri non tutti ∈ all'insieme Q, ad es: √2, π).
• R ➔ è presente ogni allineamento decimale.

• Funz. concava = la corda congiungente 2 punti del grafico sta al di sotto del grafico.
• Funz. convessa = la corda congiungente 2 punti del grafico sta al di sopra del grafico.
• Funz. pari ➔ f(x) = f(-x) ➔ funz. dispari ➔ f(x) = -f(-x).

La funzione: seconda formulazione

La funzione: Dati 2 insiemi X e Y, chiamiamo funzione da X a Y una assegnata corrispondenza che a ogni x ∈ X associa al più un unico y ∈ Y.

• Corrispondenza non univoca univoca.
• Funzione iniettiva: ogni elemento dell'insieme delle immagini proviene da un unico elemento di A.
• Se f(x) è crescente → sarà iniettiva.
• Se f(x) è iniettiva → è possibile calcolare la funzione inversa f ^-1.
• f ^-1 ≠ ¹/_f(x).

Nel caso di funz. reali, se ho una funz. iniettiva se una generica retta y=k interseca il grafico della funzione 1 sola volta.

Funzione composta: h = g[f].

Diversi insiemi numerici

• N e Z → discreti (tra 2 numeri non c'è via di mezzo).
• Q → denso e discontinuo (tra 2 numeri non tutti ∈ all'interno di ad es. √2, π).
• R → è presente ogni allineamento decimale.
• Funz. concava = la corda congiungente 2 punti del grafico sta al di sotto del grafico.
• Funz. convessa = la corda congiungente 2 punti del grafico sta al di sopra del grafico.
• Funz. pari → f(x) = f(-x) → funz. dispari → f(x) = -f(-x).

Tipi di funzioni

1) Funz. lineari

y=mx+q; // m=m₁ - m₂ - m₁ = ^- m₂

2) Funz. parabola

y=ax²+bx+c; V (^-b/_2a; ^-Δ/_4a)

a>0 -> verso l'alto, a≤0 certe vo basto.

3) Funz. iperbole

f(x) = ^ax+b/_cx+d; C (^-d/_c; ^a/_c)

Iperboli equilaterie: f(x) = ^b/_x (a=0, d=0, c=1) -> C (0,0)

4) Funz. esponenziale

Definita per ∀ x ∈ℚ

f(x) = a^x

5) Funz. trigonometriche

• Seno: dispari, periodo 2π.
• Coseno: pari, periodo 2π.
• Entrambi limitato da 1 a -1.
• Tg: dispari, periodo π.
• Funzione illimitata.

6) Funz. logaritmica

log_a x = y -> a^y = x

2 casi:

• A>1 -> crescente + concava.
• 0<a<1 -> decrescente + convessa.
• Definita per ∀ x>0.

Le grafico consiste con le 2 asint. nel 1^o e 2^o quadrante -x per x>0.

Altri casi

Funz. valore assoluto numero reale x: f(x) = |x| = funz. valore assoluto di una funzione: |f(x)| ->

• f(x) per f(x) ≥0.
• -f(x) per f(x) < 0.

Funz. dove nella variabile indipendente compare un valore assoluto f(|x|) -> f(x) = (x)⁄|x|

Traslazione verticale: g(x) = f(x) + k.

Traslazione orizz.: g(x) = f(x +k) des se k > 0 vero sinis, devo k <0 vero destra.

Prodotto tra continue e funzione data: g(x) = c・f(x)

*se f ≠ -1 -> aumento sua grafico notaluto rispetto all'asse x.

Le strutture

• Struttura algebrica: è quella che ammette ogni volta che eseguiamo dei calcoli (somma e prodotto).
• Struttura d'ordine: utilizzata per stabilire quali valori sono minori e maggiori; serve per confrontare e ordinare.

Sia compatibilità tra tipi di strutture se valgano 2 principi:

• 1° principio → x <y (⇔) x + z < y + z comp. tra strut. d'ordine e somma.
• 2° principio → x <y (⇔) x · z < y · z comp. tra strut. d'ordine e moltiplicazione.

3° Struttura Met