Funzioni - Programma del quinto anno

Le funzioni reali di una variabile reale f: R → R

Teorema dell’unicità del limite

Se esiste il limite della funzione y = f(x), per x che tende a x₀, tale limite è unico.

La funzione

La funzione è una relazione tra due grandezze variabili in modo che, assegnati i valori arbitrari ad una di esse (variabile indipendente), risultino determinati i corrispondenti valori dell’altra (variabile dipendente).

La corrispondenza tra elementi si indica con: y = f(x) (si legge: effe di x).

Teoremi e operazioni sui limiti

Teoremi / operazioni sui limiti: si possono schematizzare nella seguente tabella.

Legge di ∞

Lim f(x) L + + 0 + 0 L 0 -

Y f(x)

L’equazione y = f(x) è l’espressione analitica della funzione matematica, con x e y rispettivamente variabile indipendente e variabile dipendente.

Lim g(x) L L + - + 0 L 0 0 -

2 2 ∞ ∞ ∞ ∞

2

Se A è un qualsiasi elemento dell’insieme F (x) con f

Indichiamo l’elemento che corrisponde ad A mediante la funzione f.

L’elemento di B si dice immagine di A mediante F.

Lim [f(x) + g(x)] L + + F.I. + + L L 0 -

1 1

∞ ∞ ∞ ∞

Y = f(x)

Lim [f(x) · g(x)] L . + - F.I. F.I. 0 0 +

1

Classificazione di una funzione

• Iniettiva;
• Suriettiva;
• Biiettiva.

Rappresentazione di una funzione

• Tabulare;
• Analitica;
• …

Classificazione delle funzioni analitiche

Le funzioni analitiche si classificano in questo modo: con L e L 0.

Funzioni algebriche

Le funzioni algebriche sono quelle in cui compaiono solo operazioni di tipo algebrico: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, potenza.

Funzioni trascendenti

Le funzioni trascendenti contengono operazioni trascendenti: logaritmo, esponenziale o le funzioni goniometriche.

Le funzioni algebriche possono essere:

• Razionale intere;
• Razionale fratte;
• Irrazionali.

Le funzioni trascendenti possono essere:

• Logaritmiche;
• Esponenziali;
• Goniometriche.

Nel calcolo del limite di una funzione si possono trovare queste forme di indecisione, si dicono forme di indecisione perché possono assumere qualsiasi valore.

∞

0

∞ − ∞ ∞

Le funzioni trascendenti possono essere: ; ; ; 0. ;

Forme di indecisione

Per risolvere queste F.I. ci sono delle regole particolari.

Calcolo dei limiti

Il dominio

Si chiama dominio l’insieme dei valori che si possono attribuire alla variabile indipendente (x) per ottenere un valore reale e finito per la variabile dipendente (y).

Il dominio si chiama anche insieme di definizione oppure insieme di esistenza della funzione.

Se da una parte il dominio è l’insieme di variabilità della x (variabile indipendente), l’insieme di valori di variabilità per la variabile y (variabile dipendente) si chiama codominio.

Il codominio C di una funzione è il sottoinsieme di R costituito da tutti gli elementi y corrispondenti dei punti appartenenti al dominio della funzione.

Insieme dei numeri reali e struttura topologica

L’insieme dei numeri reali, oltre alla struttura algebrica e d’ordine, possiede anche una struttura topologica.

Cominciamo dal fondamentale concetto di intorno di un punto, che allude ad una totalità di punti “vicini”, cioè poco “distanti”, dal punto dato.

Il calcolo del limite di una funzione, quando esiste, si può considerare come un nuovo tipo di operazione, che si aggiunge alle operazioni già note dell’aritmetica e dell’algebra.

Si tratta della cosiddetta operazione di passaggio al limite, nella cui esecuzione è di notevole importanza l’applicazione dei teoremi raccolti nella tabella di cui sopra.

Se la funzione è continua in x₀, il limite si calcola sostituendo nella funzione data il valore x₀ al posto della variabile indipendente x.

Qualora la sostituzione porti ad una forma di indecisione F.I., il calcolo del limite di tale funzione necessita di alcuni accorgimenti.

Per meglio chiarire quanto detto, vediamo alcuni esempi di calcolo del limite di una funzione.

Intorno completo

Si chiama intorno completo di un numero reale c, o di un punto c, un qualsiasi intervallo aperto che contenga c.

Gli intervalli aperti di centro c sono intorni di tale punto che si chiamano intorni circolari di c.

Ad esempio, un intorno completo del numero 7 è dato dall’intervallo aperto: (-3;12); oppure dall’intervallo: (1;9), ecc.

L’intersezione di due o più intorni di un punto c ∈ R è ancora un intorno di c.

Intorno destro e intorno sinistro

Si dice intorno destro del numero, o punto, c, ogni intervallo aperto a destra, che abbia c come estremo inferiore; intorno sinistro del numero c ogni intervallo aperto a sinistra, che abbia c come estremo superiore.

Ad esempio l’intervallo [3,5) costituisce un intorno destro del punto 3, mentre l’intervallo (1;3] costituisce un intorno sinistro dello stesso punto.

Dalle definizioni date segue che un numero c ammette infiniti intorni sia completi, sia destri che sinistri.

Numeri o punti di accumulazione

Sia E un sottoinsieme di R e c ∈ E.

Il punto c si dice che è un punto di accumulazione di E quando in ogni intorno di c cadono infiniti punti di E.

Dati due numeri reali a e b, con a < b, si distinguono 4 intervalli limitati:

• Aperto: insieme di tutti i numeri reali tali che: a < x < b e si indica col simbolo (a,b), oppure ]a,b[;
• Chiuso: a ≤ x ≤ b [a,b];
• Aperto a destra: a ≤ x < b [a,b);
• Aperto a sinistra: a < x ≤ b (a,b].

I numeri a e b si chiamano estremi dell’intervallo, e precisamente: a è l’estremo inferiore e b quello superiore.

Esempi di calcolo del limite

Es 1) Lim 3x³ + 2x² − 4x + 5 = 3 · 2³ + 2 · 2² − 4 · 2 + 5 = 29

x → 2

3 − 3 = 8 − 3 = 5

x

+x 4 + 2 = 6

4

Es 2) Lim =

x → 2

√ 5 − 4x

Es 3) Lim = non esiste, perché non esiste

√ −3

numeri o punti di accumulazione

in quanto radicando negativo, sotto una radice quadrata.

Concetto di limite

Se f(x) è una funzione reale, e c ed L sono dei numeri reali, dire che: “L è il limite di f(x) per x tendente a c”, equivale a dire che: “Se x è molto prossimo, ma non identico, a c, allora f(x) è molto vicina a L”.

Si esprime con la scrittura: lim_x→c f(x) = L.

Il passaggio al limite di una funzione è un’operazione che ci permette di studiare il comportamento della funzione nell’intorno di un punto o all’infinito.

Pertanto calcolare il limite di f(x) per x → x₀ significa trovare a quale valore si avvicina y = f(x), quando x si avvicina, tende, a x₀ e si scrive: lim f(x) = L.

x → x₀

Poiché x₀ ed L possono essere numeri finiti o infiniti, si presentano 4 casi.

1) Limite finito per x che tende ad un numero finito

Lim f(x) = L ed n è un numero pari.

x → x₀

2) Limite infinito per x che tende ad un numero finito

Lim f(x) = ∞

x → x₀

3) Limite finito per x che tende ad infinito

Lim f(x) = L

x → ∞

4) Limite infinito per x che tende ad infinito

Lim f(x) = ∞

x → ∞

Limite di una funzione

Limite di una funzione +

Se a > 0

Per x → +∞ si ha: lim f(x) =

Se a < 0

Per x → −∞ si ha: lim f(x) =

Se a > 0

Per x → +∞ si ha: lim f(x) =

Ed n è un numero dispari.

Se a < 0

Per x → −∞ si ha: lim f(x) =

A) Forma di indecisione ∞ − ∞

Quando il calcolo del limite di un polinomio di grado n, per x tendente a ∞, presenta la F.I. ∞ − ∞, per risolvere tale F.I. basta raccogliere il termine di grado massimo xⁿ e poi calcolare il limite per x tendente a ∞ della funzione a xⁿ, ricordando che:

Limite di una funzione:

Se a > 0

Per x → +∞ si ha: lim f(x) = +∞.

Se a < 0

Per x → −∞ si ha: lim f(x) = −∞.

Lim f(x) = 0

x → ∞

Ed n è un numero pari.

Lim f(x) = +∞

x → ∞

Se a > 0

Per x → +∞ si ha: lim f(x) = +∞.

Se a < 0

Per x → −∞ si ha: lim f(x) = −∞.

Ed n è un numero dispari.

B) Forma di indecisione ∞ / ∞

Quando il calcolo del limite di una funzione razionale fratta, per x tendente a ∞, presenta la F.I. ∞ / ∞, si può utilizzare la seguente regola pratica, purché il numeratore e il denominatore siano due polinomi nella variabile x.

Allora:

Se grado di A(x) è maggiore del grado di B(x)

Rapporto tra i coefficienti di grado massimo di A(x) e di B(x), se A(x) e B(x) hanno ugual grado.

Lim = 0 se grado di A(x) è minore del grado di B(x).

Concetto di asintoto

Asintoto è una parola che deriva dal greco: a privativo, che significa no, e sympìptein, che significa congiungere, cioè significa che non tocca.

In pratica si tratta di una retta che si avvicina alla funzione senza mai toccarla; per questo si dice anche che l’asintoto è la tangente all’infinito della funzione.

Quindi, se non sappiamo come si comporta una funzione all’infinito, sappiamo però come all’infinito si comporta una retta e, se troviamo l’equazione della retta che accompagna la funzione all’infinito (asintoto), potremo tracciare il grafico della funzione che tende all’infinito con buona approssimazione.

Non sono continue: l’iperbole equilatera y = k/x, l’iperbole non equilatera y = ax + b/x + c.

Asintoti

Rapporto tra i coefficienti di grado massimo di A(x) e di B(x).

A(x)

B(x)

Lim = 0 se grado di A(x) è minore del grado di B(x).

x → ∞