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Funzione

Funzione: in matematica una funzione è definita dai seguenti oggetti: un insieme A detto dominio della funzione (f), ovvero l’insieme dei valori che la x può assumere, e un insieme B detto codominio della funzione (f) formato dalle immagini degli elementi R, si chiama funzione reale definita di A.

Sia A un sottoinsieme di nell’insieme A una relazione/legge che ad ogni elemento x in A associa uno ed un solo numero reale, elemento y in B indicandolo con f(x), ed è detta corrispondenza univoca.

Si dice che x è l’argomento della funzione, la variabile indipendente, mentre y è una variabile dipendente della funzione.

Dati due insiemi non vuoti A e B si chiama funzione da X in Y una relazione f tale che per ogni x ∈ A esiste uno ed un solo elemento y ∈ B tale che (x,y) ∈ f e quindi y = f(x).

Il fatto che f sia una funzione da X in Y che associa a x l’elemento f(x) si può esprimere con la scrittura f: x → y per cui x → f(x).

Classificazione

Le funzioni reali di variabili reali sono definite per valori reali, cioè il loro dominio è R e il codominio sarà sempre R.

Le funzioni reali si dividono in algebriche e trascendenti.

Le funzioni algebriche si dividono in intere (espressa mediante un polinomio di primo grado rispetto alla x, lineare/retta, o di secondo, quadratica/parabola), fratte (espressa mediante un quoziente di polinomi), razionali, irrazionali (se la variabile indipendente compare sotto il segno di radice) e trascendenti (esponenziali, logaritmiche, goniometriche, iperboliche).

Limiti

Si dice che la funzione f(x) definita in un insieme E ha per limite l

lim f(x) = l

per x tendente a x0, e si scrive quando in corrispondenza di un numero ε > 0 è possibile determinare un intorno completo I di x0 tale che, per tutti i valori di x ∈ E e diversi da x0, risulti |f(x) − l| < ε.

∀ ε > 0 ∃ I ∋ x0 ∀ x ∈ I / x ≠ x0 |f(x) − l| < ε.

Se I è un intorno dx di k si parla di limite destro di f(x), per cui

limx → k+ f(x) = l1.

Se I è un intorno sx di k si parla di limite sinistro di f(x), per cui

limx → k− f(x) = l2.

Se per f(x) esiste il lim dx e il lim sx e questi sono uguali allora la f(x) ha limite per x → k.

Limite infinito

Si dice che la funzione f(x) ha per limite l’infinito

lim f(x) = ∞

per x → k e si scrive quando, in corrispondenza del numero M > 0, esiste un intorno completo I di k tale che per tutti i valori di x ∈ I e diversi da k risulti |f(x) − l| > M.

∀ M > 0 ∃ I ∋ k ∀ x ∈ I / x ≠ k |f(x) − l| > M.

Limite all’infinito

Si dice che la funzione f(x) per x → ∞ ha per limite l e si scrive

limx → ∞ f(x) = l

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Sintesi

Funzione

In ambito matematico una funzione viene definita dai seguenti oggetti: un insieme

[math]A[/math]
definito dominio della funzione (
[math]f[/math]
), ossia l’insieme dei valori che la
[math]x[/math]
può assumere, e un insieme
[math]B[/math]
detto codominio della funzione (
[math]f]) formato dalle immagini degli elementi di [math]A[/math]
. Sia
[math]A[/math]
un sottoinsieme di
[math]\mathbb{R}[/math]
, si chiama funzione reale definita nell’insieme
[math]A[/math]
una relazione/legge che ad ogni elemento
[math]x[/math]
in
[math]A[/math]
associa uno ed un solo numero reale, elemento
[math]y[/math]
in
[math]B[/math]
indicandolo con
[math]f(x)[/math]
, ed è detta corrispondenza univoca. Si dice che
[math]x[/math]
è l’argomento della funzione, la variabile indipendente, mentre
[math]y[/math]
è una variabile dipendente della funzione.

Dati due insiemi non vuoti

[math]A[/math]
e
[math]B[/math]
si chiama funzione da
[math]X[/math]
in
[math]Y[/math]
una relazione
[math]f[/math]
tale che per ogni
[math]x \in A[/math]
esiste uno ed un solo elemento
[math]y \in B[/math]
tale che
[math](x,y) \in f[/math]
e quindi
[math]y = f(x)[/math]
. Il fatto che
[math]f[/math]
sia una funzione da
[math]X[/math]
in
[math]Y[/math]
che associa a
[math]x[/math]
l’elemento
[math]f(x)[/math]
si può esprimere con la scrittura
[math]f: x \rightarrow y[/math]
per cui
[math]x \mapsto f(x)[/math]
.

Classificazione

Le funzioni reali di variabili reali sono definite per valori reali, cioè il loro dominio è

[math]\mathbb{R}[/math]
e il codominio sarà sempre
[math]\mathbb{R}[/math]
. Le funzioni reali si dividono in algebriche intere (espressa mediante un polinomio di primo grado rispetto alla
[math]x[/math]
, lineare/retta, o di secondo, quadratica/parabola), fratte (espressa mediante un quoziente di polinomi), razionali, irrazionali (se la variabile indipendente compare sotto il segno di radice) e trascendenti (esponenziali, logaritmiche, goniometriche, iperboliche).

Limiti

Si dice che la funzione

[math]f(x)[/math]
definita in un insieme
[math]E[/math]
ha per limite
[math]l[/math]
per
[math]x[/math]
tendente a
[math]x_0[/math]
, e si scrive
[math]\lim_{x\to x_0} f(x)= l[/math]
quando in corrispondenza di un numero
[math]\epsilon >0[/math]
è possibile determinare un intorno completo
[math]I[/math]
di
[math]x_0[/math]
tale che, per tutti i valori di
[math]x \in I\cap E[/math]
e diversi da
[math]x_0[/math]
, risulti
[math]|f(x)- l|< \epsilon[/math]
.

[math]\forall\ \epsilon > 0\ \exists\ I_{x_0}\ |\ \forall\ x\in (I_{x_0}\cap E)\setminus\{x_0\}\ \Rightarrow\ |f(x)-l|<\epsilon[/math]

Se

[math]I[/math]
è un intorno destro di
[math]k[/math]
si parla di limite destro di
[math]f(x)[/math]
per cui
[math]\lim_{x\to k^+} f(x)=l_1[/math]
.

Se

[math]I[/math]
è un intorno sinistro di
[math]k[/math]
si parla di limite sinistro di
[math]f(x)[/math]
per cui
[math]\lim_{x\to k^-} f(x)=l_2[/math]
.

Se per

[math]f(x)[/math]
esistono il limite destro e il limite sinistro e questi sono uguali allora la
[math]f(x)[/math]
ha limite per
[math]x\to k[/math]
.

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