Matematica: Dimostrazione dell'irrazionalità  di pi

Dimostrazione dell’irrazionalità di π (I. Niven)

Elefante Paola

26 novembre 2007

Teorema 1. Il numero π è irrazionale.

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo π ∈ Q, ovvero che esistano a, b ∈ N, b ≠ 0 tali che π = a/b. Definiamo per n ∈ N la funzione:

f(x) = xⁿ(a - bx)ⁿ/n!, x ∈ R

e denotiamo¹:

F(x) = f(x) - f⁽²⁾(x) + ... + (-1)^j f^(2j)(x) + ... + (-1)ⁿ f⁽²ⁿ⁾(x)

Articoliamo la dimostrazione in alcuni punti:

(i) F(0) = F(π)

Notiamo che f(x) = f(π - x) = f(a/b - x):

f(π - x) = ((a/b - x)ⁿ(a - b(a/b - x))ⁿ)/n! =

= (1/bⁿ)(a - bx)ⁿ(a - a + bx)ⁿ/n! = (a - bx)ⁿxⁿ/n! = f(x)

In particolare f(0) = f(π). Per induzione si vede inoltre che f^(j)(x) = (-1)^jf^(j)(π - x) e dunque f^(2k)(x) = f^(2k)(π - x), k = 1, ..., n. Allora, per come abbiamo definito F, F(0) = F(π).

(ii) F(0) ∈ Z

Sviluppiamo con la formula di Newton (a - bx)ⁿ:

f(x) = xⁿ/n! [somma da k = 0 a n di (n su k)(-bx)^ka^n-k]

Cambiando l'indice di sommatoria in j = k + n otteniamo:

f(x) = xⁿ/n! [somma da j = n a 2n di (n su j - n)(-b)^j-nx^j-na^2n-j =

= 1/n! [somma da j = n a 2n di (n su j - n)(-b)^j-nx^ja^2n-j]

I coefficienti di x⁰, x¹, ..., x^n-1 sono nulli e quindi f^(m)(0) = 0 se 0 ≤ m ≤ n - 1. Inoltre, se m > 2n, f^(m)(x) = 0, ∀ x ∈ R. Infine, calcolando la

¹Con f⁽ⁱ⁾ indichiamo la i-esima derivata di f

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m-esima derivata in 0, con n ≤ m ≤ 2n, tutti i termini tranne uno si annullano:

f^(m)(0) = m!/n! [n/(m-n)] a^2n-m(-b)^m-n

Dato che n ≤ m ≤ 2n, tutti i fattori sono interi e dunque f^(m)(0) ∈ Z, e così anche F(0) ∈ Z.

(iii) F(0) = 1/2 ∫₀^π f(x) sin(x) dx

Si ha che F⁽²⁾ + F = f; infatti, dato che f⁽²ⁿ⁺²⁾ = 0:

F⁽²⁾ + F = (f⁽²⁾ - f⁽⁴⁾ + f⁽⁶⁾ - ... + (-1)ⁿ f⁽²ⁿ⁺²⁾) +

+ (f - f⁽²⁾ + f⁽⁴⁾ - ... + (-1)ⁿ f⁽²ⁿ⁾) = f

Si verifica facilmente che (F'(x) sin(x) - F(x) cos(x))' = f(x) sin(x). Per il Teorema fondamentale del calcolo integrale si ha:

1/2 ∫₀^π f(x) sin(x) dx = 1/2 [F'(x) sin(x) - F(x) cos(x)]₀^π = 1/2 (F'(π) sin(π) -

- F(π) cos(π) - F'(0) sin(0) + F(0) cos(0)) = 1/2 (F(π) + F(0)) = F(0)

Dato che nell’intervallo [0, π] sia f che sin sono positive, per le proprietà degli integrali, anche F(0) > 0. Osserviamo inoltre che

x(π - x) = (π/2)² - (x - π/2)² ≤ (π/2)²

Possiamo operare la seguente maggiorazione:

xⁿ(a - bx)ⁿ = xⁿbⁿ(π - x)ⁿ ≤ bⁿ(π/2)²ⁿ

e, dato che il π/2 corrisponde ad un punto di massimo assoluto della funzione sin ristretta all’intervallo [0, π], per le proprietà degli integrali abbiamo anche:

0 < F(0) = 1/2 ∫₀^π f(x) sin(x) dx ≤ 1/n! 4 (π/2)²ⁿ bⁿ ∫₀^π dx =

= (π/2)²ⁿ⁺² bⁿ / n! n ∈ N

Ma questo, dato che F(0) ∈ Z, è assurdo.

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