Dimostrazione dell'irrazionalità  di e

Dimostrazione dell'irrazionalità di e

Elefante Paola

19 novembre 2007

Teorema 1. Il numero e è irrazionale.

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che e ∈ Q, ovvero che esistano a, b ∈ N, b ≠ 0 tali che e = a/b. Definiamo il numero:

x = b!(e − somma_n=0^b 1/n!)

Vediamo che x ∈ Z:

x = b!(a/b − somma_n=0^b 1/n!) = a(b − 1)! − somma_n=0^b b!/n!

Dato che n ≤ b, x è un intero. Utilizzando la seguente definizione di e:

e = somma_n=0^∞ 1/n!

e sostituendola in quella di x, si ottiene:

x = b!(somma_n=0^∞ 1/n! − somma_n=0^b 1/n!) = somma_n=b+1^∞ b!/n! > 0

Possiamo effettuare la seguente maggiorazione:

b!/n! = 1/((b + 1)...(b + (n − b))) < 1/(b + 1)^n−b, b < n

e dunque, con il cambio di indice k = n − b, abbiamo:

x = somma_k=1^∞ 1/k! < somma_k=1^∞ 1/(b + 1)^k = 1/(b + 1) (1/(1 − 1/(b + 1))) = 1/b < 1

In definitiva abbiamo provato che x ∈ Z, 0 < x < 1, raggiungendo un assurdo.

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