Massimi e minimi vincolati

Gianni Sammito Appunti di Analisi II

Massimi e minimi vincolati

In problemi di massimo e minimo vincolato viene richiesto di ricercare massimi e minimi di una

n

funzione non definita su tutto R , ma su un suo sottoinsieme proprio. 2

Esempio: calcolare massimo e minimo della funzione f : A → R : (x, y) 7→ x + 3y, con

¾

½ 2

2 y

x

2 ≤ 1

+

A = (x, y) ∈ R : 9

4

Il dominio in questo caso è un’ellisse con semiassi di lunghezza 2 e 3. Dato che A è chiuso e

limitato, e quindi compatto, e che f è continua, allora le ipotesi del Teorema di Weierstrass sono

soddisfatte, pertanto il problema ha soluzione. I punti di massimo e minimo assoluti possono

appartenere o all’interno di A o alla frontiera di A.

I punti di massimo e minimo possono appartenenti all’interno di A vanno ricercati fra i punti che

1

annullano il gradiente, e dato che f ∈ C (A) le ipotesi del Teorema di Fermat sono rispettate. I

restanti punti possono essere vincolati sulla frontiera di A.

Il gradiente di f vale ∇f (x, y) = (2x, 3), e non si annulla mai, pertanto non ci sono punti critici

nell’interno di A.

Resta ora da studiare cosa succede sulla frontiera di A, che coincide con l’insieme

¾

½ 2

2 y

x

2 =1

+

∂A = (x, y) ∈ R : 9

4

La frontiera di A può essere parametrizzata cosı̀ come segue

½ x = 2 cos(θ) θ ∈ [0, 2π]

y = 3 sin(θ)

Quindi la funzione lungo la frontiera di A vale 2

f (x(θ), y(θ)) = 4 cos (θ) + 3 sin(θ)

In questo modo è stata ottenuta ua funzione di una variabile. I massimi e minimi si trovano

azzerando la derivata prima e guardando cosa agli estremi dell’intervallo in cui è definito θ,

ovvero cosa succede per θ = 0 e θ = 2π. La derivata prima vale

0

f (2 cos(θ), 3 cos(θ)) = −8 cos(θ) sin(θ) + 9 cos(θ)

32

π π. Studiando il segno della

∨ θ =

La derivata si azzera solo se cos(θ) = 0, ovvero se θ = 2

π , a cui corrisponde il punto (0, 3) c’è un massimo, mentre in

derivata prima si vede che in θ = 2

32 π, a cui corrisponde il punto (0, −3) c’è un minimo. Inoltre, a θ = 0 ∨ θ = 2π corrisponde

θ =

il punto (2, 0). Calcoliamo ora i valori che la funzione assume in questi punti

f (2, 0) = 4 f (0, 3) = 9 f (0, −3) = −9

Il valore più grande è il massimo assoluto della f in A, il valore più piccolo è il minimo assoluto.

Come detto la f è continua in A e ammette massimo e minimo assoluto, dato che il dominio

1

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è connesso per archi, per il Teorema dei valori intermedi, l’immagine di f è un intervallo,

precisamente f (A) = [−9, 9]

ovvero la funzione assume tutti i valori compresi fra il minimo assoluto e il massimo assoluto,

estremi compresi.

Problemi di max/min vincolato

n

Data una funzione f : A → R, con A ⊂ R , se f è continua in A e A è compatto allora ha

massimo e minimo assoluto in A per il Teorema di Weierstrass.

∗

In tal caso si devono trovare tutti i punti x ∈ A tali che

∗

f (x ) = max f

A

e tutti i punti x ∈ A tali che

∗ f (x ) = min f

∗ A

Il Teorema di Fermat dà solo una parziale risposta a questo quesito. Se f è derivabile per prima

cosa si trovano i punti critici appartenenti all