Determinare massimi e minimi liberi della funzione
f(x, y) = x4 − 2x2 + (ex − y)4.
I punti critici di f sono dati dal sistema
4x3 − 4x + 4(ex − y)3ex = 0
−4(ex − y)3 = 0
che ha come soluzioni:
P1 = (0, 1), P2 = (1, e), P3 = (−1, e).
L’Hessiano di f è
H =
12x2 − 4 + 4ex(ex − y) + 12e2x(ex − y)2
−12(ex − y)2ex
−12(ex − y)2ex
12(ex − y)2.
Osserviamo che tutti i punti critici annullano det H, per cui per tutti si necessita uno studio locale. Osserviamo inoltre che ∂f/∂y ≥ 0 ⇔ y ≥ ex, per cui fissato x, la funzione y ↦ f(x, y) è crescente se y > ex, ed è decrescente se y < ex; lungo la curva y = ex, f(x, y) = x4 − 2x2, che ha un massimo locale in x = 0 e due minimi assoluti in x = ±1.
Dunque il punto (0, 1) è di sella per f. Invece i punti (1, e) e (−1, e) sono minimi.
Infatti, ad esempio, consideriamo (1, e), e l’intorno
U = {(x, y) ∈ R2 |x − 1| < 1, |y − e| < 1}.
Allora, preso un generico P = (x, y) ∈ U, si ha
f(x, y) ≥ f(x, ex) ≥ f(1, e).
Ne segue che (1, e) è minimo locale; analogamente si vede che anche (−1, e) è minimo locale.
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