Marcus du Sautoy, L'enigma dei numeri primi

La congettura di Riemann

Si tratta di un'ipotesi avanzata nel 1859 dal matematico tedesco Bernhard Riemann ma che non riuscì a dimostrare (o, come vedremo in seguito, a noi non è giunta traccia di alcuna dimostrazione). Sono tanti ed illustri i nomi di matematici che nel corso degli anni si sono avvicinati a questa congettura ma nessuno finora è stato in grado di dimostrarla né tantomeno di confutarla. Ma cosa dice esattamente questa ipotesi e perché è così importante agli occhi della comunità mondiale dei matematici?

L'ordine nei numeri primi

Essa riguarda un argomento che da sempre ha incuriosito gli uomini ed affonda le proprie radici in tempi lontani secoli e secoli nel passato: i numeri primi…
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,…
Eccoli scorrere in successione, in tutta la loro irregolarità! Ma siamo sicuri che il susseguirsi dei numeri primi sia del tutto irregolare? Che nessuna legge precisa determini l'apparire, qua e là tra i numeri naturali, dei numeri primi? Proprio questa è l'essenza della congettura di Riemann, che ipotizzò ordine e armonia nell'apparente caos della successione dei numeri primi. Già Gauss si era interessato all'argomento, introducendo una funzione (il “logaritmo integrale”), che, dato un numero naturale N, restituisce una stima dei numeri primi inferiori a N. Riemann estese una funzione utilizzata per la prima volta da Eulero, la funzione zeta, al campo dei numeri complessi. Risultava dunque possibile dare un valore alla funzione zeta in corrispondenza di qualunque numero complesso, in modo da poter disegnare il grafico di una funzione che coprisse tutto il piano complesso; il paesaggio così creato prende il nome di “paesaggio zeta”. Ovviamente i punti in cui la funzione si annulla risultano essere “al livello del mare” nel paesaggio zeta.

Il paesaggio zeta

“Quello che Riemann aveva fatto era stato prendere ciascuno dei punti situati a livello del mare sulla mappa del mondo immaginario. Da ciascun punto aveva creato un'onda, una nota emessa da un qualche strumento matematico. Combinando tutte queste onde, ottenne un'orchestra che suonava la musica dei numeri primi. La coordinata nord-sud di ogni punto a livello del mare controllava la frequenza dell'onda, ovvero l'altezza della nota corrispondente. Al contrario, la coordinata est-ovest controllava, come aveva compreso Eulero, l'intensità alla quale ciascuna nota sarebbe stata suonata. Tanto maggiore era l'intensità della nota, quanto più grandi erano le fluttuazioni del suo grafico ondulato. A Riemann interessava capire se qualcuno degli zeri suonasse con un'intensità significativamente maggiore rispetto agli altri. Un tale zero avrebbe prodotto un'onda il cui grafico avrebbe oscillato più delle altre onde e quindi avrebbe avuto un ruolo maggiore nel conteggio dei numeri primi. Dopo tutto, sono le altezze di queste onde che controllano la differenza fra la stima di Gauss e il vero numero di numeri primi ”.

La distribuzione degli zeri

Il problema era dunque conoscere la distribuzione degli zeri della funzione zeta e vedere quanto a est nel paesaggio zeta si presentassero. Per vederci più chiaro, Riemann decise di calcolare alcuni dei punti a 'livello del mare' per vedere con precisione dove si trovassero.

La linea retta degli zeri

“Quando cominciò ad analizzare l'esatta collocazione di questi punti, ebbe una grossa sorpresa. Invece di essere sparpagliati qua e là su tutta la mappa, di modo che alcune note sarebbero risultate più intense di altre, gli zeri che calcolava sembravano disporsi come per miracolo su una linea retta che attraversa il paesaggio nella direzione nord-sud. Era come se ogni punto situato a livello del mare avesse la stessa coordinata est-ovest, uguale a ½”.

La congettura e i suoi misteri

Ovviamente, siccome la funzione zeta ha infiniti zeri, Riemann non poté calcolarli tutti. Anzi, ne calcolò solo una piccola quantità. Tuttavia si convinse di una cosa: tutti gli zeri della funzione zeta sarebbero caduti lungo la retta che aveva individuato… si trattava insomma di numeri complessi aventi tutti parte reale uguale a ½. Questa è dunque la congettura di Riemann. A ben guardare, se l'ipotesi fosse vera, avrebbe conseguenze strabilianti: riusciremmo finalmente a trovare la chiave di lettura dei numeri primi. Cosa avesse spinto Riemann a credere ciecamente in quell'idea è un mistero; tuttavia egli aveva l'abitudine di annotare ogni suo ragionamento su dei quaderni. Purtroppo però, nel 1866 Riemann si vide costretto ad abbandonare di tutta fretta la città di Gottinga per venire in Italia, senza portare con sé i quaderni. La governante, che nei giorni successivi trovò gli appunti, penso bene (!) di bruciare ciò che considerava solo “cartacce”. Solo una parte delle annotazioni di Riemann ci è pervenuta, ma ci sono voluti anni prima che i matematici ne potessero beneficiare, data la complessità delle idee che scaturivano copiose dalla mente di Riemann. Quasi tutti i più grandi nomi successivi della matematica si sono accostati al problema posto da Riemann, ma senza giungere ad alcuna soluzione. Hilbert, Landau, Hardy, Littlewood, Ramanujan, Siegel, Selberg, Erdős, Zagier sono solo una cerchia ristretta di tutti coloro che hanno tentato di dare risposta al più grande mistero della matematica. Nel 1900 Hilbert inserì l'ipotesi di Riemann nella sua lista di ventitré problemi per il XX secolo; di quei problemi, tutti hanno trovato soluzione nel corso del Novecento (persino l'Ultimo Teorema di Fermat)… solo il problema di Riemann è rimasto irrisolto. Oggi c'è un milione di dollari messo in palio dall'Istituto Clay per chi riesca a dimostrare (o eventualmente confutare) l'ipotesi di Riemann. Passi avanti, tuttavia, ne sono stati fatti e in diverse direzioni. Sono stati addirittura trovati dei nessi tra la congettura di Riemann e la fisica quantistica; questo è un chiaro esempio del potere che ha la matematica di unire tra loro mondi apparentemente lontani anni luce. In questo libro , Marcus du Sautoy ci racconta con l'abilità del letterato, la precisione dello storico e le conoscenza tecniche di un matematico, la lunga storia dell'ipotesi di Riemann, dalle origini risalenti all'antica Grecia ai giorni nostri, con digressioni su argomenti di carattere non solo prettamente matematico. Il libro è indicato a tutti, data la sua chiarezza e semplicità, ma gli appassionati di matematica in particolar modo vi troveranno una fonte copiosa di spunti per approfondire tutto ciò che è matematico. Andrea Vitiello