John Derbyshire, L'ossessione dei numeri primi

L'ipotesi di Riemann e la sua diffusione

L'ossessione dei numeri primi
Boringhieri, 2006
di John Derbyshire

Negli ultimi anni l'ipotesi di Riemann è venuta prepotentemente alla ribalta e ha iniziato ad essere conosciuta da un numero sempre più elevato di persone, non soltanto matematici di professione, ma anche semplici appassionati e in qualche caso perfino profani della materia.

La sfida di Hilbert e i problemi del millennio

Questa diffusione a macchia d'olio è dovuta principalmente a ragioni di carattere storico, le quali hanno avuto anche l'effetto di dare un forte impulso a una produzione letteraria di tipo divulgativo. Appena qualche anno fa, nel 2000, ricorreva il centenario della sfida lanciata da David Hilbert, che l'8 agosto 1900, durante il secondo Congresso internazionale di matematica tenutosi a Parigi, propose una lista di ventitré problemi da risolvere nel corso del secolo che stava per iniziare. Non erano problemi scelti a caso, ma rappresentavano l'ultima frontiera delle varie branche della matematica di allora, cosicché la risoluzione di ciascuno di essi avrebbe dato un significativo contributo alla ricerca.

Il mistero dell'ipotesi di Riemann

Dopo cento anni esatti, quasi tutti quei problemi erano stati risolti; a dire il vero solo uno di essi continuava ad essere un mistero. E proprio nel 2000, in occasione del centenario di quella colossale sfida, l'istituto americano Clay ha rinnovato la competizione: quell'unico problema di Hilbert ancora insoluto è stato affiancato da sei nuovi enigmi per un totale di sette problemi per il nuovo millennio ormai alle porte; ma, per rendere la sfida più interessante, l'istituto Clay ha messo in palio un milione di dollari per ogni quesito risolto.

L'interesse per l'ipotesi di Riemann

La clamorosa notizia dei premi da un milione di dollari ha consentito una diffusione del fenomeno anche oltre la ristretta e chiusa cerchia dei matematici; contemporaneamente l'interesse si è concentrato in modo particolare su quell'unico problema che aveva resistito a ogni tentativo di soluzione durante tutto il XX secolo: l'ipotesi di Riemann.

La storia e i protagonisti dell'ipotesi

Ecco le ragioni che spiegano la diffusione, in tempi recenti, di libri di divulgazione riguardanti i "Problemi del millennio" (così sono ormai conosciuti i sette enigmi) e l'ipotesi di Riemann in particolare. Questa "ipotesi" non è altro che una proposizione asserita nel 1859 dal matematico tedesco BernhardRiemann e che ad oggi non è stata né dimostrata né tuttavia confutata. A questo enunciato sono legati i nomi dei più grandi matematici dalla seconda metà dell'Ottocento fino a tutto il Novecento: da Hilbert a Connes, passando per Hardy, Littlewood, Ramanujan, Selberg. giusto per citarne qualcuno, ma si sappia che non c'è alcun matematico di un certo rilievo, tra quelli vissuti nel XX secolo, il cui nome non sia anche solo minimamente legato all'ipotesi di Riemann; ciascuno di essi è riuscito a dare un contributo per nuove scoperte legate, direttamente o indirettamente, all'ipotesi, ma nessuno è stato in grado di trovare una soluzione.

La struttura del libro di Derbyshire

"L'ossessione dei numeri primi" racconta la straordinaria storia della congettura di Riemann, descrivendola in modo semplice, affinché possa essere capita da un profano, ma anche ricco e preciso, affinché chi ha qualche conoscenza in più possa entrare nel vivo dell'ipotesi stessa. Tuttavia non vengono discussi soltanto i dettagli tecnici: sono presenti molte notizie storiche accurate inerenti la vita e l'attività di molti matematici e non mancano digressioni su temi importanti legati al contesto in cui i fatti narrati avvenivano. Per fondere al meglio la matematica e la storia e rendere il discorso più omogeneo, l'autore John Derbyshire ha avuto una singolare idea: i capitoli con numero dispari contengono un'esposizione matematica, mentre i capitoli con numero pari contengono i fondamenti storici e biografici. Per i non addetti ai lavori sono presenti, nei capitoli più "tecnici", richiami di analisi e algebra, necessari per poter introdurre determinati concetti; i lettori più esperti possono tuttavia saltarli.

La semplicità dell'ipotesi di Riemann

Ma cosa affermò Riemann di tanto complicato da neutralizzare i tentativi di tutti i grandi matematici da 150 anni a questa parte? Ci sarebbe da aspettarsi un enunciato lungo e difficile perfino da spiegare a parole. invece la formulazione dell'ipotesi, almeno nella sua sostanza, è di una semplicità a dir poco assurda. Ecco dunque l'ipotesi di Riemann: tutti gli zeri non banali della funzione zeta hanno parte reale pari a 1/2. Anche a chi non sa come è definita la funzione zeta, questa proposizione non dovrebbe apparire affatto difficile. Basti sapere che già all'epoca di Riemann era nota una funzione, la funzione zeta appunto, definita per ogni numero reale maggiore di 1. Nella sua formulazione originaria, la suddetta funzione si mostra come una somma di infiniti termini (nondimeno però tale somma può essere finita!).

La funzione zeta e i suoi zeri

Qualcuno poi ha pensato di estendere la funzione zeta al campo complesso, in modo tale che essa possa assumere valori ben definiti in corrispondenza di qualunque numero complesso, eccezion fatta per il numero 1, che resta l'unico valore per cui la funzione zeta non è definita. La nuova versione della funzione zeta può assumere dunque valori complessi e si annulla in alcuni punti; in particolare essa assume valore nullo in corrispondenza di tutti i numeri interi pari negativi. Per questo motivo i numeri -2, -4, -6, -8,. sono zeri per la funzione, ma non sono di grande importanza ai fini dell'ipotesi di Riemann e perciò sono detti "zeri banali". Ma oltre a questi, esistono altri valori che annullano la funzione zeta? E se sì quali sono? Ecco dunque la risposta, la cui veridicità non è ad oggi certa, proposta da Riemann: tutti gli zeri non banali della funzione zeta hanno parte reale pari a 1/2. Tutto qui.

L'intuizione di Eulero e la funzione zeta

Spesso si accosta il nome di Eulero alla funzione zeta. I motivi di questo accostamento sono diversi e tra essi figura sicuramente un'intuizione del matematico svizzero, che riuscì a rappresentare la funzione zeta sotto forma di prodotto di infiniti termini. Abbiamo detto poc'anzi che la funzione zeta fu originariamente definita come somma su un numero infinito di termini. E fu proprio partendo da questa semplice osservazione, cioè uguagliando il risultato della somma e del prodotto infiniti, che Riemann riuscì a costruire la sua celebre proposizione.

La presentazione dell'ipotesi di Riemann

L'ipotesi di Riemann comparve per la prima volta in un documento scritto nell'agosto del 1859, quando il giovane matematico Bernhard Riemann presentò un saggio all'Accademia di Berlino, secondo l'usanza del tempo; Riemann era stato difatti nominato membro corrispondente dell'Accademia e per l'occasione preparò un lavoro sulle attività di ricerca in cui era impegnato. Il titolo del saggio era Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, che in italiano vuol dire "Sul numero dei numeri primi minori di una certa grandezza". Come!? Numeri primi? Cosa hanno a che vedere i numeri primi con l'ipotesi di Riemann e con la funzione zeta?

L'importanza dei numeri primi

Ebbene, l'importanza dell'ipotesi di Riemann risiede nel fatto che, qualora si dimostrasse vera, consentirebbe di calcolare il numero di numeri primi inferiori a un certo numero fissato. Questo è un risultato sorprendente e alla luce di ciò è facile adesso spiegarsi perché questo problema sia considerato da sempre uno dei più grandi misteri della matematica: fin dall'antichità i matematici hanno cercato di scoprire la chiave di lettura dei numeri primi. da sempre si è cercato di trovare un ordine all'interno della distribuzione apparentemente aleatoria degli "atomi" della matematica.

Le implicazioni dell'ipotesi di Riemann

Sicuramente una eventuale dimostrazione dell'ipotesi di Riemann costituirebbe un evento eccezionale, che avrebbe ripercussioni in molti settori, non soltanto nella semplice speculazione matematica. è stato provato che gli zeri della funzione zeta hanno uno stretto legame con la fisica quantistica ad esempio. inoltre si pensi ai numeri primi usati in crittografia. e chissà quanti altri misteri legati all'ipotesi potrebbero essere celati in attesa di venire scoperti!

La complessità del nesso tra zeri e numeri primi

Il nesso tra gli zeri della funzione zeta e i numeri primi, a dire il vero, non è affatto immediato e richiede elevate conoscenze matematiche per essere compreso appieno, anche se Derbyshire, da buon matematico, è riuscito a semplificare molto il discorso e renderlo quantomeno accessibile.

La considerazione iniziale di Riemann

Probabilmente, la cosa più curiosa di tutta la narrazione è la scarsa considerazione che Riemann stesso ebbe all'inizio nei confronti della propria congettura, considerandola solo una parte marginale del saggio che presentò all'Accademia.

Le ultime parole di Riemann

Nel testo originale che redasse si poteva leggere, in riferimento alla propria ipotesi:

Sarebbe auspicabile senza dubbio che si avesse una dimostrazione rigorosa di questa proposizione: tuttavia per il momento ho lasciato questa ricerca da parte dopo qualche breve tentativo infruttuoso, poiché essa mi appare superflua per gli scopi immediati dei miei studi.

Qualcuno direbbe: "Le ultime parole famose"...

Andrea Vitiello