Macroeconomia - nozioni generali

Facoltà di Economia

Corso di Laurea in Economia e Commercio

Anno accademico 2000/2001

Macroeconomia II

Prof. Maurizio Caserta

Lunedì 11-13

Martedì 11-13

Mercoledì 11-13

16 ottobre 2000 - 24 gennaio 2001

Principale testo di riferimento

Metodi dinamici e fenomeni macroeconomici, di Fabio-Cesare Bagliano e Giuseppe Bertola

IL MULINO 1999 - Lit.38000

La macroeconomia

La macroeconomia come disciplina autonoma si fonda sull’esistenza di fenomeni che interessano il sistema economico nel suo complesso:

• I movimenti della produzione aggregata
• Disoccupazione
• Inflazione

Lo scopo principale della macroeconomia è offrire una spiegazione di questi movimenti.

Tale scopo viene raggiunto all’interno dello schema di riferimento neoclassico, con individui massimizzanti e mercati concorrenziali.

La struttura

Il sistema economico è costituito da:

• Famiglie che possiedono le risorse dell’economia e che hanno vita infinita
• Imprese che utilizzano quelle risorse per produrre beni
• Mercati in cui le imprese vendono beni alle altre imprese e alle famiglie, e le famiglie vendono i servizi delle proprie risorse alle imprese

Le famiglie massimizzano una funzione di utilità intertemporale, definita sui livelli di consumo in ogni periodo dell'orizzonte di scelta, subordinatamente al vincolo delle risorse.

Le imprese massimizzano il flusso dei profitti sullo stesso orizzonte temporale, entro i limiti consentiti dalla tecnologia esistente.

I contesti

Le famiglie e le imprese operano in un’economia nella quale i mercati sono aperti ad intervalli regolari e nella quale non vi è incertezza sugli stati del mondo e sui prezzi corrispondenti a ciascuno stato del mondo.

Le famiglie e le imprese operano in un’economia nella quale i mercati sono aperti ad intervalli regolari e nella quale vi è incertezza sugli stati del mondo e sui prezzi corrispondenti a ciascuno stato del mondo.

In queste condizioni la massimizzazione dell’utilità intertemporale e dei profitti si basa su aspettative delle variabili future rilevanti.

Tali aspettative saranno formate in maniera razionale, ossia utilizzando tutte le informazioni disponibili.

Le famiglie e il consumo

Le famiglie nell’economia:

• Forniscono lavoro in cambio di salari
• Ricevono interessi sulle attività possedute
• Acquistano beni di consumo
• Risparmiano accumulando nuove attività

Nel formulare i loro piani le famiglie tengono conto del benessere e delle risorse dei loro discendenti e futuri.

Tale caratteristica viene modellata assumendo che la generazione corrente massimizzi una funzione di utilità soggetta ad un vincolo di bilancio su un orizzonte temporale infinito.

Tale funzione viene definita sui livelli di consumo relativi ad ogni periodo dell’orizzonte temporale.

Questa famiglia immortale può essere utilizzata per rappresentare soggetti correnti con vita finita, ma connessi da un sistema di trasferimenti intergenerazionali.

Il comportamento ottimale

Il problema di ottimizzazione della famiglia rappresentativa è il seguente:

max Ut = U(ct, ct+1, …)

ct+i ; (i = 0,1,2…, )

s.t.

At+i+1 = (1+rt+i)At+i + yt+i -ct+i

Ciò significa che in ogni periodo la ricchezza finanziaria può crescere in una misura che dipende dai tassi di interesse, dal reddito corrente e dai consumi correnti.

Caratteristiche della funzione di utilità

• Separabilità intertemporale: Ut(ct, ct+1, …) = vt(ct) + vt+1(ct+1) + vt+2(ct+2) ….

Con v’(ct+i) > 0

v’’(ct+i) < 0 (i 0)

• Coerenza dinamica: vt+i(ct+i) = (1/1+ )ⁱ u(ct+i) (i = 0,1,2…, )
• Utilità attesa: Evt+i(ct+i) = (1/1+ )ⁱ Eu(ct+i)

svt+i(ct+i,s) = (1/1+ )ⁱ su(ct+i,s)

)(i 0 (s = 1, 2, ..., S) (S = stati del mondo)

L’incertezza si assume limitata ai livelli dei redditi da lavoro yt+i.

Gli investimenti

Un particolare progetto di investimento verrà intrapreso se l’aggiunta che esso comporta allo stock di capitale esistente genera un incremento del flusso atteso dei ricavi netti.

Tale condizione, ossia l’incremento del flusso dei ricavi netti, può dipendere dalle modalità in cui l’investimento si svolge.

Può darsi, per esempio, che quel particolare progetto sia più proficuamente svolto in modo graduale.

L’impresa deve pertanto formulare un piano di investimenti; tale piano di investimenti è ottimo quando la variazione marginale di ricavi netti è nulla.

La funzione dei ricavi netti è per ogni istante t la seguente:

F(t) = R[t, K(t), N(t)] - Pk(t)G[I(t), K(t)] - w(t)N(t)

Dato l’orizzonte temporale di riferimento, l’impresa le funzioni K(t), N(t) e I(t) che massimizzano il valore attuale del flusso temporale dei ricavi netti.

Assumendo un orizzonte temporale infinito avremo:

V(0) = 0 F(t)e- r(s)dsdt

Questa funzione rappresenta la funzione obiettivo dell’impresa: date le variabili esogene r(t), w(t) e Pk(t) ed i vincoli che associano le funzioni incognite sarà possibile sottoporla ad un processo di massimizzazione.

La funzione F(t)

F(t) = R[t, K(t), N(t)] - Pk(t)G[I(t), K(t)] - w(t)N(t)

Per ogni istante t la funzione F esprime la differenza tra le entrate R e le uscite PkG ed wN.

Le entrate R dipendono dal prodotto venduto che è funzione delle risorse impiegate K ed N e dallo stato della domanda sintetizzato dalla variabile t.

Si assume che:

R/ K > 0 R/ N > 0

2R/ K2 < 0 2R/ N2 < 0

Le uscite dipendono dagli investimenti realizzati nel periodo e dal lavoro impiegato.

Le uscite derivanti dall’impiego di lavoro sono costituite dal pagamento di un salario per unità di lavoro.

Le uscite derivanti dall’attività di investimento sono costituite dalla spesa per l’acquisto di beni capitali: tale spesa dipende dal prezzo Pk e dal costo dell’investimento G[I(t), K(t)].

Il costo dell’investimento dipende dalla quantità di beni capitali acquistati I(t) e dallo stock di capitale esistente K(t).

In particolare si assume che:

G/ I > 0 2G/ I2 > 0

Ciò significa che il costo del capitale cresce al crescere della quantità acquistata, ma in maniera crescente.

Costi di investimento convessi

L’implicazione principale di questa forma funzionale è il crescente costo unitario dell’investimento.

Da ciò segue che può essere più efficiente un piano di investimenti graduale che spezzi il progetto in più progetti di dimensioni minori.

Ciò è vero anche per il disinvestimento, ossia per la dismissione di beni capitali: maggiori vendite di beni capitali implicano pertanto ricavi unitari minori.

Nell’istante di riferimento un progetto di investimento genera solo dei costi. Non sarebbe perseguito se non producesse ricavi in un momento successivo.

L’analisi pertanto non può ignorare l'interdipendenza temporale tra le decisioni di investimento: essa deve diventare intertemporale.

Il piano ottimo di investimenti

In tempo continuo, in un orizzonte infinito e in assenza di incertezza il problema dell’impresa è il seguente:

max V(0) = 0 F(t)e- r(s)dsdt

Le funzioni incognite che compaiono nel funzionale sono: K(t), N(t) e I(t).

Se si assume N(t) come nota, restano le variabili K e I che hanno la natura, rispettivamente, di variabile di stato e di variabile di controllo.

Esso può essere affrontato dunque come un problema di controllo ottimo.

Tra la variabile di stato K e la variabile di controllo I esiste la seguente relazione per ogni istante t:

K’(t) = I(t) - K(t)

Se si specificano le condizioni iniziali e le condizioni finali il problema di controllo ottimo può essere affrontato.

Avremo pertanto l’Hamiltoniano:

H(t) = F(t)e- r(s)ds + (t)K’(t)e- r(s)ds

H(t) = e- r(s)ds [F(t) + (t)K’(t)]

H(t) = e- r(s)ds [F(t) + (t)(I(t) - K(t))]

Il moltiplicatore rappresenta la variabile di costato ed ha un significato economico preciso: rappresenta infatti il contributo al flusso dei benefici di un allentamento del vincolo K’(t).

Esso rappresenta quindi il contributo ai ricavi netti di una variazione unitaria di capitale o valore marginale del capitale.

Le condizioni di ottimo

Le condizioni di ottimo nel caso generale sono le seguenti:

H/ u = 0

H/ y = - ’(t)

H/ = y’

Applicate al caso particolare ( e ricordando che adesso rappresenta il valore non scontato della variabile di costato) avremo:

H/ I = 0

-( F/ K - ) = ’ - r

- H/ K = d e- r(s)ds/dt

H/ = e- r(s)dsK’

Vale inoltre come condizione finale la condizione di trasversalità:

limt e- r(s)ds (t) K(t) = 0

Le condizioni di ottimo possono essere esplicitate e interpretate.

H/ I = 0

- F/ I + (t) = 0

F/ I = (t)

Pk G/ I = (t)

Questa condizione può essere interpretata come la condizione di uguaglianza tra il costo marginale del capitale Pk G/ I ed il suo valore marginale (t).

- H/ K = d e- r(s)ds/dt

r = F/ K - + ’

Assumendo = 0 avremo:

r = F/ K + ’

Questa condizione può essere interpretata come una condizione di equità finanziaria: il contributo al flusso dei benefici di una unità di capitale più la variazione ’ del suo valore deve essere uguale al rendimento ottenibile su un titolo di uguale valore, ossia r.

Il sentiero ottimo (I)

Dalla elaborazione delle condizioni di ottimo è possibile passare alla formulazione di due equazioni differenziali.

Da queste si ottengono i sentieri ottimi per la variabile di stato K e la variabile di controllo I.

Il sistema di equazioni differenziali può essere studiato per ottenere la soluzione analitica; in alternativa si può ottenere la soluzione qualitativa che fa uso dei diagrammi di fase.

Questa procedura permette di determinare le caratteristiche dei sentieri possibili e di individuare quelli che rispondono alle condizioni poste dal problema di ottimizzazione.

Occorre pertanto ricavare le due equazioni differenziali.

Introduciamo la variabile:

q(t) = (t)/Pk(t)

che può essere interpretato come il rapporto tra il prezzo di domanda del capitale e il prezzo di offerta.

Sostituendo la precedente espressione nella condizione di massimo:

Pk G/ I = (t)

avremo:

G/ I = q(t)

La funzione G/ I è una funzione sempre crescente di I. Essa pertanto è invertibile.

I(t) = [q(t), K(t)]

Lo stock K(t) può essere un argomento sia della funzione G/ I sia della funzione.

Il sentiero ottimo (II)

Definita la relazione che esiste tra la variabile q e gli investimenti I occorre costruire la equazione differenziale che includa la funzione q(t).

Associando questa equazione alla equazione di transizione K’(t) = I(t) - K(t) si otterrà un sistema di due equazioni differenziali che è possibile studiare mediante il metodo dei diagrammi di fase.

Definiamo la funzione q’(t):

q’(t) = d[ (t)/Pk(t)]/dt = ’(t)/Pk(t) - [ (t)/Pk(t)][Pk’(t)/Pk(t)]

Si ponga [Pk’(t)/Pk(t)] = k.

Avremo quindi:

q’(t) = ’(t)/Pk(t) - q k

Ricordando una delle condizioni di ottimo:

-( F/ K - ) = ’ - r

e sostituendola nella espressione precedente avremo:

q’(t) = [r -( F/ K - )]/ Pk(t) - q k

q’(t) = [(r + ) - F/ K]/Pk(t) - q k

q’(t) = (r + )q - q k - [ F/ K]/Pk(t)

q’(t) = (r + - k)q(t) - [ F/ K]/Pk(t)

Inoltre, dall’equazione di transizione otteniamo, utilizzando la funzione degli investimenti:

K’(t) = [q(t), K(t)] - K(t)

Avremo un sistema di due equazioni differenziali nelle variabili K(t) e q(t) delle quali è possibile studiare la dinamica.

Il diagramma di fase (I)

Il sistema di equazioni differenziali da studiare è il seguente:

q’(t) = (r + - k)q(t) - [ F/ K]/Pk(t)

K’(t) = [q(t), K(t)] - K(t)

La soluzione qualitativa permette di determinare a quali condizioni le variabili K e q raggiungono uno stato stazionario e a quali condizioni cambiano nel tempo.

Nel piano rappresentato dagli assi q e K ogni punto indica uno stato del sistema.

Le due equazioni permettono di determinare per ogni punto del piano la dinamica del sistema, ossia le direzioni di movimento delle due variabili K e q.

Ciò è possibile calcolando K’ e q’.

Il primo passo è quello di identificare i punti in cui K e q sono costanti ossia quando K’ e q’ sono pari a zero.

q’ = 0 (assumiamo k = 0)

q = [1/(r+ )][ F/ K]/Pk

Poiché tutte le variabili esogene sono positive la forma della curva q’ = 0 dipende dall’andamento della funzione F/ K.

L’andamento di questa funzione non è immediatamente evidente poiché il contributi di K al flusso dei benefici dipende anche dagli effetti che esso ha sul flusso di investimenti.

Assumiamo che l’andamento sia decrescente, ossia che il flusso marginale sia decrescente al crescere di K.

Il diagramma di fase (II)

L’andamento del luogo per il quale q’ = 0 sarà pertanto decrescente.

Tutti i punti al disopra della curva implicano una variazione positiva di q, ossia q’ > 0; tutti i punti al disotto una variazione q negativa, ossia q’ < 0.

Passando alla seconda variabile occorre identificare i punti in cui K è costante, ossia K’ = 0.

Ciò è vero quando:

[q(t), K(t)] = K(t)

Per determinare la pendenza del luogo dei punti per i quali K’ = 0 occorre conoscere gli effetti di q e di K sugli investimenti: il primo è sicuramente positivo; il secondo può essere positivo o negativo.

Si assume che sia positivo.

Il diagramma di fase (III)

Si ha pertanto che il luogo K’ = 0 ha pendenza positiva.

Tutti i punti a sinistra implicano valori negativi di K’ e quindi un movimento q verso sinistra di K.

K’=0

Tutti i punti a sinistra della curva implicano un valore positivo di K’ e quindi un movimento di K verso destra.

Se si sovrappongono i due diagrammi avremo il comportamento dinamico di entrambe le variabili.

Il sentiero di sella (I)

Il diagramma precedente permette di apprezzare l’intera dinamica del sistema.

E’ possibile notare che:

• Vi è un punto in cui entrambe le variabili sono costanti: è il punto di steady state o stato stazionario
• Nel quadrante superiore il sistema è instabile poiché raggiungerebbe valori infinitamente elevati di entrambe le variabili
• Nel quadrante inferiore il sistema condurrebbe a valori nulli di K e q
• Nei quadranti laterali le variabili si muovono entrambe verso il loro stato stazionario

I sentieri che il sistema prenderebbe dai quadranti superiore e inferiore non sono compatibili con le condizioni generali di ottimo.

Nel primo caso valori infinitamente alti delle due variabili K e q ( e quindi degli investimenti) violano la condizione di trasversalità.

Nel secondo caso si arriverebbe a valori economicamente non significativi delle due variabili.

Solo muovendosi dai quadranti laterali il sistema potrebbe raggiungere la posizione economicamente significativa dello stato stazionario.

Non tutti i sentieri, tuttavia, portano allo stato stazionario.

Il sentiero di sella (II)

Dato un certo capitale iniziale K(0) è possibile individuare i valori di q, e pertanto quindi di I, incompatibili con il sentiero ottimo.

L’insieme dei valori iniziali di q tra i quali si può rinvenire l’inizio del sentiero ottimo è quello compreso tra le due curve K’=0 e q’=0.

L’andamento dei sentieri che partono da questo insieme di punti potrebbe essere tale da attraversare le curve K’=0 e q’=0: in questo caso verrebbero di nuovo violate le condizioni di trasversalità o di non-negatività del capitale.

Può esistere un sentiero, tuttavia, che attraversa le curve K’=0 e q’=0 nel punto in cui si intersecano.

Se questo sentiero esiste, il sistema converge verso uno stato stazionario, costituendo il sentiero di sella di questo sistema dinamico.

Nello stato stazionario q e K sono costanti nel tempo. Da ciò segue che anche gli investimenti sono costanti nel tempo.

Questo è l’unico sentiero che non viola le condizioni di trasversalità e di non-negatività del capitale: esso è quindi il sentiero ottimo.

Questo sentiero porterà q, K e I ad assumere i valori di stato stazionario qss, Kss, Iss.

Questi valori sono quelli per il quali q’ = K’ = 0 ossia:

(r+ )qss= [ F/ K]/Pk|K = Kss

[qss, Kss] = Kss

Riepilogo

Le condizioni di ottimo sono:

1) H/ I = 0

2) - H/ K = d e- r(s)ds/dt

3) H/ = e- r(s)dsK’

Esse possono essere riscritte nel modo seguente:

1a) Pk G/ I = (t)

2a) r = F/ K - + ’

3a) K’(t) = I(t) - K(t)

Si è posto:

q(t) = (t)/Pk(t) da cui

G/ I = q(t)

Ricavando l’inversa di G/ I rispetto ad I si ha:

I(t) = [ G/ I, K(t)] e quindi

I(t) = [q(t), K(t)]

La prima espressione indica il volume di investimenti associato ad un dato costo marginale G/ I degli investimenti.

Poiché la condizione di ottimo richiede che il costo marginale sia uguale a q, è possibile ricavare il volume degli investimenti associato ad ogni dato valore di q (seconda espressione).

Si è derivato:

q’(t) = d[ (t)/Pk(t)]/dt

Sostituendo la 2a) in questa espressione si è ottenuto, dopo aver posto k= 0:

4) q’(t) = (r + )q(t) - [ F/ K]/Pk(t)

Si è poi sostituito la funzione degli investimenti nella 3a) per ottenere:

5) K’(t) = [q(t), K(t)] - K(t)

La 4) e la 5) rappresentano le due equazioni differenziali che permettono di studiare la dinamica del sistema.

Ottimizzazione dinamica (I)

Nei problemi di ottimizzazione statica si ricerca un unico valore ottimo per ogni

Il problema di ottimizzazione dinamica può essere visto come il problema di port