Macchine elettriche

Lezione del 14/11/06

Le macchine elettriche sono costituite da tre sistemi che interagiscono fortemente fra di loro, che sono: un sistema elettrico, un sistema magnetico e un sistema meccanico.

Come abbiamo visto all’inizio del corso, per poter eseguire una conversione di energia elettrica in energia meccanica, è necessario realizzare una conversione dell’energia elettrica in energia elettromagnetica, quindi la struttura in termini di schemi a blocchi di una macchina elettrica è sintetizzata nel seguente modo: forniamo energia elettrica al sistema elettrico, questa viene convertita in energia elettromagnetica che viene immagazzinata nel sistema elettromagnetico e poi viene convertita in energia meccanica nel sistema meccanico:

Sistema Sistema Sistema
Elettrico E. Magnetico Meccanico
EE

I processi che si svolgono all’interno di questi scatolotti risultano essere ben noti, sappiamo infatti che un sistema elettrico converte parte dell’energia elettrica anche in energia termica a causa degli effetti dissipativi, sappiamo che se il sistema elettromagnetico è un sistema di tipo non lineare come quelli che fino ad ora abbiamo studiato con materiali ferromagnetici, una parte dell’energia magnetica immagazzinata può essere convertita anch’essa in energia termica per effetto dell’isteresi e delle correnti parassite. L’energia magnetica che viene convertita o trasferita al sistema meccanico non tutta poi viene convertita in forza utile: una parte viene dissipata sottoforma di calore per attrito o per ventilazione, quindi per poter analizzare dal punto di vista energetico questo sistema converrebbe analizzare quali risultano essere i singoli contributi che vengono forniti allo scambio nell’intero processo.

Quindi potremo dire che l’energia W che viene fornita al generatore elettrico indicata con W_GE, una parte viene trasferita e risulta essere l’effettiva energia elettrica e un’altra viene dissipata per effetto Joule a causa delle perdite del rame:

W_GE = W_E + W_jcu

Dell’energia che invece viene fornita dal sistema magnetico al sistema meccanico, che indichiamo con W_M, una parte viene convertita in energia meccanica utile e una parte viene convertita in energia termica per effetto degli attriti o per l’effetto della ventilazione:

W_M = W_m + W_ja + W_jv

Dell’energia magnetica una parte viene utilizzata effettivamente per essere immagazzinata nel campo W_f e una parte viene dissipata per effetto Joule, ad esempio nel ferro:

W_AG = W_f + W_jFe

Questi risultano essere i singoli processi energetici che si sviluppano all’interno del sistema, ma a noi interessa per l’appunto analizzare l’intero processo, quindi se guardiamo il flusso di energia potremo sicuramente affermare che l’energia elettrica fornita dal generatore deve risultare essere uguale in questo flusso energetico all’energia immagazzinata nel campo magnetico più esattamente l’energia fornita al sistema meccanico:

W_GE = W_M + W_AG

In questa operazione che non è nient’altro che una applicazione del principio di conservazione dell’energia, l’energia che viene fornita deve risultare essere uguale all’energia che viene immagazzinata nel campo più l’energia che viene trasferita al sistema meccanico.

In questa relazione potremo ricavare andando a sostituire quelli che risultano essere i singoli contributi, per ottenere che l’energia fornita dal generatore risulta essere pari all’energia elettrica che viene trasferita al campo più l’energia dissipata nel rame che risultano essere uguali all’energia meccanica utile dal punto di vista della conversione elettromagnetica più l’energia dissipata per attrito più l’energia dissipata per ventilazione più l’energia associata al campo più l’energia associata alle perdite del rame:

W_E + W_jCu = W_m + W_ja + W_jv + W_f + W_jFe

L’espressione di sopra risulta essere l’espressione che tiene conto di tutti i contributi, ora si può vedere che nel processo di trasferimento di energia quello che passa dal sistema elettrico al sistema magnetico e dal sistema magnetico a quello meccanico risulta essere soltanto la quota di energia fornita dal generatore depurata dalle perdite del rame; ciò che ci interessa dal punto di vista del processo di conversione dell’energia magnetica in energia meccanica non risulta essere l’aliquota associata alle perdite per attrito e per ventilazione ma ci interessa il contributo dell’energia meccanica nel suo complesso, gli effetti dovuti alle perdite sono un aspetto peculiare del sistema meccanico e verranno considerate successivamente.

Per quanto riguarda i sistemi magnetici essi, se vengono considerati di tipo conservativo, ipotesi che dovremo necessariamente fare, presentano delle perdite che possono essere considerate uguali a zero, si ricorda che un sistema è conservativo se il processo di conversione risulta essere legato allo stato iniziale e finale e non al percorso che segue, secondo questo ragionamento le perdite del ferro possono essere considerate nulle.

Se focalizziamo l’attenzione sul processo di conversione avremo che le grandezze da considerare sono l’energia erogata dal generatore al netto delle perdite perché quella è un’aliquota che fa parte del sistema elettrico, e l’energia magnetica considerando il sistema conservativo e l’energia meccanica tenendo conto dell’aliquota che viene dissipata per attrito o per ventilazione.

Dal punto di vista del processo di conversione ci interessa considerare l’energia elettrica netta che viene trasferita e la quantità di energia magnetica e meccanica che complessivamente fluiscono dal sistema elettrico verso il sistema meccanico.

In definitiva epurandola da questi elementi accessori potremo dire che l’equazione di conservazione dell’energia che ci interessa risulta essere:

W_E = W_M + W_f

Con W_E l’energia elettrica netta quindi a meno delle perdite, W_M l’energia meccanica nel suo complesso, W_f l’energia immagazzinata nel campo.

Questa relazione è valida nel suo complesso, l’equazione può essere scritta anche passando dalla sua forma finita nella sua forma differenziale:

dW_E = dW_M + dW_f

Utilizzeremo questa equazione per la nostra analisi, in essa è condensato il processo di conversione dell’energia elettrica in energia meccanica.

Per poter studiare tale processo bisogna conoscere il valore dell’energia elettrica netta fornita, il valore dell’energia meccanica e dell’energia magnetica.

Si dovranno esplicitare le relazioni che intercorrono tra di essi, per poter effettuare questa analisi ci si dovrà porre in condizioni semplici per poi generalizzare, quindi conviene porci con un sistema meccanico con un grado di libertà che risulti essere il più piccolo possibile.

Ci porremo nelle condizioni di analizzare un solo sistema elettrico, magnetico e un sistema meccanico con un solo grado di libertà.

La struttura che andremo così a valutare è il classico relé elettrico, considereremo una struttura così fatta:

i₁ x x₀

L’elemento mobile che è vincolato al suolo si può spostare solo lungo la direttrice x.

Quanto viene chiuso il tasto accade che circolerà una corrente i₁ lungo la direzione indicata.

Si produce un campo magnetico che investirà il nostro elemento mobile, si andrà a creare un circuito magnetico e tra la parte mobile e la parte fissa nascerà una forza di attrazione che farà spostare l’ancoretta verso l’elemento fisso fino a quando quella distanza tenderà ad annullarsi.

Quindi la struttura meccanica risulta molto semplice, il sistema magnetico è anch’esso molto semplice poiché costituito da un nucleo ferromagnetico e da un traferro la cui ampiezza tende a variare con la posizione dell’ancoretta, un sistema elettrico molto semplice caratterizzato da un generatore di tensione costante e da una bobina costituita da N spire.

Dovremmo quindi definire quale risulta essere l’energia elettrica fornita dal nostro generatore a tensione continua, applicando la legge di equilibrio elettrico su questo circuito si avrà che la somma delle f.e.m. applicate deve essere uguale alla somma delle cadute di tensione e si avrà:

V + e = R i₁

V = R i - E

Ma E non è altro che la tensione indotta per la legge di Faraday-Lenz che risulta essere pari a:

E = N₁ dφ₁/dt

Andando a moltiplicare i per il primo e il secondo membro:

i₁ V = R i₁² - (dφ₁/dt) N i₁

L’espressione (i V) risulta essere la potenza fornita dal generatore, ed R i² risulta essere la potenza dissipata per effetto Joule sulla bobina dell’avvolgimento quindi si avrà:

P_g = P_j + N₁ (dφ₁/dt) i₁

L’energia elettrica fornita dal generatore al netto delle perdite sarà pari in termini differenziali:

dW_E = dW_G - dW_J

L’energia in un istante di tempo dt fornita dal generatore sarà pari:

dW_E = dW_G - dW_J = P_g dt - P_J dt

Moltiplicando per dt il primo e secondo membro di questa equazione e portiamo P_J dal primo al secondo membro si avrà:

P_g dt - P_J dt = N₁ (dφ₁) i₁ = dλ₁ i₁

L’espressione dell’energia elettrica risulta essere molto facile da determinare:

dW_E = i dλ = F dφ

Con F la forza magnetomotrice, questa risulta essere proprio la quantità che stavamo cercando: l’energia elettrica erogata dal generatore al netto delle perdite espressa in funzione della corrente e della variazione di flusso, ogni qual volta c’è un flusso di energia verso il sistema magnetico questo flusso di energia si manifesta con un effetto che è la variazione di flusso, che a sua volta determina una tensione indotta che determina una reazione sul sistema elettrico questo è messo in evidenza dal dλ.

L’espressione dell’energia magnetica sarà data imponendo nulla l’energia meccanica che equivale a lasciare in posizione fissa l’ancoretta.

dW_E = dW_M + dW_f

dW_f = dW_E = i dλ = F dφ

L’energia associata in quel punto sarà data da un’operazione di integrazione, dovrò quindi sapere l’espressione i dλ, ma considerando la caratteristica magnetica del nostro sistema e determinando una posizione x generica del nostro sistema si può determinare la relazione tra i e λ:

λ x
λ*
i i λ*
* * *

L’energia magnetica della configurazione λ*, i:

W_f(λ*, i) = ∫₀^λ* dW_f

Andando a sostituire:

W_f = ∫₀^λ* i(λ) dλ

Ora si deve valutare cosa accade lasciando libera la nostra ancoretta e vedere come il processo evolve dalla posizione iniziale x₀ alla posizione finale x:

x₀
λ
Fig. 1
x
λ₁
i
v/i
i₁ =

Analisi grafica

Dalla posizione finale x = x₀ il sistema deve tornare nella posizione di equilibrio. La variazione energia magnetica nel passare dal punto iniziale e dal punto finale, l’energia magnetica era data dall’area sottesa dal punto 0 al punto i, che risulta essere l’area tratteggiata in rosso, nella condizione finale abbiamo che l’energia magnetica associata al sistema è quella sottesa alla caratteristica tra il punto 0 e il punto λ.

Ma non solo c’è stata pure una variazione di energia elettrica a causa della variazione di flusso.

La variazione di energia elettrica è pari:

ΔW_E
f x
Fig. 2
0
λ x
λ
i₁ i
O i

L’area sottesa indicata rappresenta l’energia elettrica netta fornita dal generatore si manifesta dal momento in cui parte l’ancoretta fino al punto finale, ora dovremmo andare a vedere quale è l’energia meccanica:

ΔW_E = ΔW_M + ΔW_f

ΔW_M = ΔW_E - ΔW_f

Facendo la differenza delle aree risulta che:

ΔW_M = [(A i t f B) - (OfBO) - (OiAO)]

(A i t f B) = energia elettrica

-(OfBO) - (OiAO) = variazione energia magnetica
(quantità finale quantità iniziale)

Considerando i grafici di fig. 1 e fig. 2 e sottraendo le quantità comuni si avrà:

f x₀
B ΔW_M
x
A
i i
O i

Le quantità che rimangono sono la variazione di energia meccanica (positive). Le traiettorie con cui può evolvere la corrente in funzione del flusso sul piano i λ sono influenzate dal moto con cui si sviluppa la trasformazione, da un punto di vista dell’analisi modellistica non è molto buono, dovremo trovare il modo di valutare le transizioni di energia in maniera univoca e non dipendente dal tipo di trasformazione che sto eseguendo.

Quindi anziché analizzare delle trasformazioni dal punto di vista macroscopico andremo ad analizzare delle trasformazioni dal punto di vista microscopico, si andrà ad analizzare su trasformatore di tipo microscopico se vi è ancora la dipendenza del lavoro meccanico dal tipo di trasformazione oppure no.

Si dimostrerà attraverso il principio dei lavori virtuali che la forza applicata sul sistema meccanico risulta essere funzione univoca dell’energia, dimostrando che la funzione forza risulta essere una variabile di stato che dipende dallo stato magnetico del sistema dalla posizione dell’ancoretta, questo vale solo in forma differenziale cioè solo per spostamenti infinitesimi.

Cosa deve rimanere in testa

Il sistema magnetico è come una vasca in cui può entrare energia elettrica e meccanica, il sistema distribuisce le energie rispettando il principio di conservazione dell’energia e facendo un po’ da polmone il sistema magnetico cerca di sopperire ai gradienti del sistema elettrico e meccanico e li distribuisce dall’uno all’altro facendo da intermediario, infatti quando viene richiesta una grossa derivata di forza il sistema magnetico rende subito disponibile una certa quantità di energia che è immagazzinata nel sistema stesso, viceversa quando il sistema meccanico fornisce energia meccanica il sistema magnetico tende ad assorbirla per poi restituirla con maggiore gradualità al sistema elettrico, quindi svolge un ruolo fondamentale di accoppiamento tra sistema elettrico e sistema meccanico.

Lezione lunedì 20 novembre 2006

Nella lezione precedente abbiamo analizzato le leggi fondamentali relative alla conversione dell’energia elettrica in energia meccanica, in particolare abbiamo concentrato la nostra attenzione su quelle che risultano essere le metodologie di conversione dell’energia elettrica in energia meccanica in un sistema semplificato di macchina elettrica che viene denominato macchina a riluttanza variabile.

La struttura è una struttura estremamente semplice, è una struttura costituita per l’appunto da una struttura statorica, una struttura rotorica costituita per l’appunto da un elemento mobile intorno ad un determinato fulcro e poi da un sistema elettrico costituito da un avvolgimento caratterizzato da Ns spire ed alimentato da un generatore di tensione continua oppure da un generatore di tensione sinusoidale; all’interno di questo sistema abbiamo individuato quali risultano essere le modalità di conversione dell’energia elettrica in energia meccanica in un sistema di questo genere.

Disegno 1

Dall’analisi dell’equazione di bilancio energetico fondamentale abbiamo ricavato che in questo sistema, che è un sistema caratterizzato dalla presenza di un sistema elettrico, di un sistema magnetico e di un sistema meccanico, è possibile eseguire una conversione dell’energia elettrica in energia meccanica esclusivamente in una condizione, cioè la condizione nella quale la pulsazione di alimentazione del nostro generatore di tensione sinusoidale fosse esattamente uguale alla velocità di rotazione meccanica del sistema.

In questo caso esisteva almeno una componente di coppia mediamente continua, costante, che prende il nome per l’appunto di coppia di riluttanza. Quindi questa macchina è una macchina elettrica nel vero senso della parola che dopo mi consente di convertire efficacemente tutta l’energia elettrica in energia meccanica perché soltanto una delle componenti di coppia presenti nel sistema è quella che efficacemente mi produce conversione dell’energia elettrica in energia meccanica.

Abbiamo quindi cercato di individuare degli altri metodi che ci consentissero di determinare una conversione di energia elettrica in energia meccanica un pochettino più efficiente.

Una delle metodologie adottate era quella di disporre sull’elemento mobile un avvolgimento elettrico anch’esso e di alimentarlo con una pulsazione ω_r sempre con una tensione sinusoidale ma con una pulsazione ω_r generalmente diversa da ω_s.

Abbiamo applicato anche a questo sistema l’equazione di bilancio energetico e poi alla fine siamo arrivati a determinare un’espressione che era l’espressione di coppia, la quale ci dava per l’appunto l’espressione della coppia elettromagnetica sviluppata da questo sistema che risultava essere esattamente pari a:

ω ω ω
2 2
ri L L i L
s ss rs rr
T i i
s r
2 2

Questa espressione ha posto ancora una volta in evidenza che anche una macchina caratterizzata da due avvolgimenti, un avvolgimento sullo statore ed un avvolgimento sul rotore, sussisteva una condizione di coppia simile a quella vista per la macchina ad un solo avvolgimento, quindi anche in questo tipo di macchina esisteva per l’appu