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Esercizi con l’utilizzo di limiti notevoli

1 lim 2 2 0

lim , 0,

0 4 4

2 2

Ricordando le formule di addizione e sottrazione degli archi:

;

4 4 4 4

4 4

lim

lim 2

2 2

4 √2

2 √2 √2

2

lim lim

2 2 2

Esiste un modo più elegante di affrontare questo limite, ricordandosi il metodo dell’angolo incognito, per la seguente formula , 0

Nel nostro caso sarà: 1

√1 √2

√2 4 1 4

√2 4

lim lim lim , 0

4

2 2 2

2 2 4

√2 √2

lim 2 2

1 2

2 lim 3 1 2 0

lim , 0,

3 0 3 3

1 2 1 2

3 3 3

lim lim 3

3 3

1 √3 1 1 √3 1 √3 √3

lim lim · · ·0 ·1

3 3 3 3 3 3

1 0

lim

3 2

3 lim 3 4 3 2

lim 1

3 4

Analizziamo la base, e trasformiamola utilizzando dove Q(x) è il quoziente

della divisione tra polinomi e R(x) è il resto.

1

Quindi da cui

3 2 8 1

lim lim 1 lim 1 3 4

3 4 3 4 8

, ∞ ,

Posto 1 1 1

lim 1 lim 1 lim 1

1 1

lim 1 · 1 ·1 √

Lo stesso limite si può risolvere in modo più celere facendo le giuste considerazioni:

3 2 8 1

lim lim lim

1 1 3 4

3 4 3 4 8

Moltiplicando e dividendo l’esponente per 1

lim 1 3 4

8

Ricordiamo che:

3 4

lim ∞ ,

8 8 2 4 16

lim 3 4 3

1

1

lim √

3 4

8

4 lim 1

1

Dimostrazione

, ∞

Posto 1

lim lim 1

1

1

5 lim 1 2

Moltiplicando e dividendo l’esponente per x ·

lim 1 lim 1 lim 1

lim 1 ! , lim 1 lim 1

· 1

3 0

6 lim 1 5 0

3 3

lim lim · 1 5

1 5

Adesso analizziamo i due limiti del prodotto delle funzioni

3 3

lim 1 lim lim ·3 3

3

1

1 lim 2

lim 2 1

1 1

25

lim · 2·

lim 25 25

1 5 1 5

2 ò 5

25

Da tutto ciò 3 3 2 6

lim lim · 3·

1 5

1 5 25 25

4 0

7 lim 1 9 0

4 1 1 4

lim 1

lim 1 9 1 9

1 1 4

lim 1 9 1 4

1 ·3 · 16

16

3 ·

lim 1 9 ·9

9

Rifacendosi ai limiti notevoli opportuni, eventualmente con le opportune sostituzioni

3 16 19

9 9

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Sintesi
In questi appunti di analisi matematica per l'università si dà un tabella dei limiti notevoli

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