Limiti di funzioni in due variabili 7

Data

f(x, y) = ^{sin (x² + y²)} / _{x² + y²}

definita per (x, y) ≠ (0, 0), è possibile definirla anche in (0, 0) in modo tale che diventi continua anche in (0, 0)?

soluzione. Osservando che

lim_{(x, y)→(0, 0)} (x² + y²) = 0

e

lim_t→0 sin t / t = 1

per composizione si ha

lim_{(x, y)→(0, 0)} sin (x² + y²) / x² + y² = 1

per cui, definendo f(0, 0) = 1, si ottiene una funzione continua su tutto R².