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Dimostrare che la funzione non è continua in (0, 0)

f(x, y) = { x2y / (2x4 + 3y2), (x, y) != (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

non è continua in (0, 0).

Soluzione

Allo scopo, mostriamo che non esiste

lim(x, y) -> (0, 0) f(x, y)

Infatti, se consideriamo la restrizione x = y, si ha

f(x, x) = x3 / (2x4 + 3x2)

da cui

limx -> 0 f(x, x) = limx -> 0 x3 / (2x4 + 3x2) = 0

Se consideriamo la restrizione y = x2 si ha

f(x, x2) = 1 / 5 != 0

Ne segue che la funzione f non è continua in (0, 0).

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