Limiti con il teorema de l'Hospital

Verso l’Esame di Stato nel Liceo Scientifico

Calcolo di limiti utilizzando la regola di De L’Hopital e i limiti notevoli

Primo limite

− −

+

x² x

Studiare il limite lim xe^−x2−x

x → −∞

Soluzione

Il limite si presenta nella forma indeterminata ∞−∞.

Per il suo studio si può procedere come di seguito indicato:

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

( ) x x 1

− − − +∞ ⋅ + = +∞ ⋅ + =

+ = ⋅ + =

x² x² x ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎢ ⎥

⎢ ⎥

H lim 1

xe^−x2−x

lim lim lim 1 . lim 1

− − −

−

⎝ ⎠

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x x x

⎣ ⎦

⎣ ⎦

→−∞ →−∞ →−∞ →−∞ →−∞

e

e e

x x x x x

( )

+∞ ⋅ + = +∞

0 1 * * * * * * * *

Secondo limite

Studiare il limite

⋅ −

lim x log (1 cos x )

3

→ 0

Soluzione

Il limite si presenta nella forma indeterminata 0⋅∞; possiamo ricondurlo alla forma ∞/∞ ed applicare la regola di De l’Hopital.

Prima di passare al calcolo del limite facciamo notare che il punto x=0 è di accumulazione a destra e a sinistra per il dominio della funzione.

Ciò premesso si ha:

senx

− −

log (1 cos x ) H . 1 senx

1 1 cos x

⋅ − = = − ⋅

⋅ =

3

x x

lim log (1 cos ) lim lim

lim −

−

− −

3 2

1 1 cos x

→

→ → →

x log 3

log 3 x

x 0

x x

0 0 x 0 2

x

A questo punto basta ricordare il limite notevole

−

1 cos x 1 1 senx 1 0

− ⋅ = − ⋅ =

= lim 0

lim per concludere che −

2 x

1 cos 1

→ →

x 2 log 3 log 3

x 0 x 0 2

x 2

Luigi Lecci: www.matematicaescuola.it