Lezioni teoria dei segnali

Segnale certi e aleatori

Genera messaggio e conversione messaggio-segnale

Segnale
Canali di comunicazione
Conversione messaggio/Segnale

Dx(t) = Asin[2πf₀t+ψ] forma d'onda z=I(x, y)

Segnali certi e aleatori

Genera messaggio
Conversione messaggio/Segnali
Segnali
Canali di comunicazione
Conversione messaggio/Segnali

x(t) = A sen [2π f₀ t + ψ]
Forme d'onda
z = I(x, y)_xtⁿ + cⁿt ∈ ℝⁿ
m = 1
m = 1

In genere per le forme d’onda si usa questa ma si può usare anche questa

Ma è scomoda anche metodo grafico non fattibile.

Dominio continuo
Co-dominio continuo a sua volta T ⊆ R   x(t) ∈ R
Prende il nome di segnale analogico

x(t) (Istanti di tempo non necessariamente equispaziati)
T = {t₁, t₂, t₃, t₄, ...}

Questo tipo di segnale si dice segnale campionato considerando sempre una situazione di dominio discreto.
Ora se anche il codominio è discreto, questo segnale è un segnale digitale.

Segnale discreto x(t) ∈ {x₀, x₁, x₂, ...} ∈ ℝ

Ci si concentrerà sui: segnali analogici

Spazi vettoriali

E _K campo: E × E → E

• m + v = v + m ∀ m,v ∈ E
• (m + v) + w = m + (v + w) ∀ m,v,w ∈ E
• ∅ + m = m ∀ m ∈ E
• - m + m + (- m) = ∅ ∀ m ∈ E

K × E → E

• Θ · (m + v) = Θ · m + Θ · v ∀ m,v ∈ E ∀ Θ ∈ K
• (e + b) · m = e · m + b · m ∀ m ∈ E ∀ b ∈ k
• (In rosso il + ha significato diverso dal + perché in rosso somma scalare mentre somma vettoriale)
• (a · b) · m = a · (b · m) ∀ m ∈ E ∀ a, b ∈ k
• 1 · m = m · 1 = m ∀ m ∈ E

Esempio: y(x) = e_ax⁴ + a₃x³ + a₁x + t_e₀ È uno spazio vettoriale

Somma punto a punto e prodotto scalare

K ⊆ _R associa a due elementi a uno spazio V: a, b ∈ ℝ ∋ f: E → _R u,v ∈ _V

• <u,v> = <v,u> ∀ u,v ∈ _R
• <u+v,w> = <u,w> + <v,w> ∀u,v,w_{ɛ ℰ}
• <m, v, z > = <m, z>   ∀ m, v ∈ E
• <m, v> = 0   ∀ v ∈ < z >   m = θ

Se uno spazio vett. ha uno scalare definito da R si dice spazio Euclideo.

Esempio: m = {m₁, m₂, ...}   v = {v₁, v₂, ...}

<mᵢ vⱼ> = ξ_imᵢ vⱼ = m₁v₁ + m₂v₂ + ...   ∈ S

• <m, m> > 0  , <m, m> ≥ 0 ⟹ ( - ) m = 0

Spazio vettoriale propriamente euclideo

Cosa succede se estendo in ℂ? Allora si parla spazio vettoriale unitario μ ∈ ℂ∃ x ∈ ℂ

• <μ, ν> = <ν, μ̅> ∀ μ, ν ∈ ℂ
• μν: compressed e coniugata

e = tφ = μφ μ = √e⁴ + tφ̅ψ = α φ b / ae⁴ = cos ψ + j sin ψ

• <μ + ν ,w> = <μ ,w> + ∀ ν, w >
• <ε ,μ ,ν > = e < μ ,ν > ∀ μ, ν, u ∈ E ∀ ∈ F

Noi potremmo anche dire _{cm, vn} > = e <_m, w> + b <_m, w> così unisco la 2 e la 3

• c_{m, m} > 0 c_{m, m} > 0 m = 0

Ortogonalità: se il loro prodotto scalare = 0

c_m, v > 0 m ⊥ v

Norma: ||m|| = (<_{m, m}>)^1/2

Disuguaglianza di Schwartz: |c_{m, v}| ≤ ||m|| ⋅ ||v||

Disuguaglianza triangolare: ||m + v|| ≤ ||m|| + ||v||

Coefficienti di Fourier generalizzati {l₁, l₂, ..., l_n}

<l_i, l_j> = 0   i ≠ j >0   i = j

m = m₁l₁ + m