Lezioni seconda parte: Appunti di Analisi e Geometria I

Name: Lezioni seconda parte: Appunti di Analisi e Geometria I
Rating: 5.0 (1 reviews)
Author: chiaraton

Revisionato il 02/09/2026

di chiaraton

Publisher

Vota 5,0/5 (1)

Contenuto verificato e approvato dal Team di Esperti di Skuola.net

Appunti di Analisi e geometria per l'esame del professor Boella sulla geometria analitica: Vettori. somma e prodotto per uno scalare. Prodotto scalare. Prodotto scalare e proiezioni ortogonali. …

Esame Analisi e geometria I

Facoltà Ingegneria industriale

Dal corso del Prof. Boella Marco Ugo Claudio

Università Politecnico di Milano

A.A. 2013-2014

65 pagine

3 download

Appunto

Scarica

Estratto del documento

Geometria analitica

Punti e vettori

Punto: un punto nello spazio è identificato dalle coordinate (x, y, z).

Def: un vettore V (del piano e dello spazio) è un segmento orientato individuato da 3 quantità:

Direzione: la direzione della retta cui V è parallelo.
Verso: l'orientazione con cui il segmento viene percorso.
Lunghezza: la lunghezza del segmento, detta anche modulo o norma, indicata con |v|.

Def: un vettore di lunghezza unitaria è detto versore.

Oss: in geometria, i vettori non hanno punto di applicazione.

Punti e vettori

Punti e vettori sono legati:

P_o(x_o, y_o, z_o) individua il vettore V_o = [x_o y_o z_o].

La cui coda coincide con l'origine O e la cui punta coincide con P_o.

Geometria analitica

Punti e vettori

Punto: un punto nello spazio è identificato dalle coordinate (x, y, z).

Def: un vettore V (del piano e dello spazio) è un segmento orientato individuato da 3 quantità:

Direzione: la direzione della retta cui V è parallelo.
Verso: l'orientazione con cui il segmento viene percorso.
Lunghezza: la lunghezza del segmento detta anche modulo o norma, indicata con │v│.

Def: un vettore di lunghezza unitaria è detto versore.

Oss: in geometria, i vettori non hanno punto di applicazione.

Punti e vettori

Punti e vettori sono legati:

P₀(x₀, y₀, z₀) individua il vettore V₀ = x₀ y₀ z₀.

La cui coda coincide con l'origine O e la cui punta coincide con P₀.

Analogamente, dati A(X_A, Y_A, Z_A) e B (X_B, Y_B, Z_B) il vettore V che congiunge A e B, orientato da A a B, indicato anche con AB e dato da V = AB = [X_B - X_A Y_B - Y_A Z_B - Z_A].

Operazioni con i vettori

Sono definite le operazioni:

Prodotto di un vettore V per un numero reale λ (uno scalare).
Somma di due vettori V e U.

Prodotto

Def: dato un vettore V e un numero reale λ, il prodotto λV è un vettore avente stessa direzione di V, lo stesso verso se λ > 0 ovvero verso opposto se λ < 0 e lunghezza pari a |λ|/|V|.

Somma: regola del parallelogramma

Def: la somma di due vettori U e V si esegue con la "regola del parallelogramma": se U e V individuano i due lati di un parallelogramma la loro somma U + V corrisponde alla diagonale di tale parallelogramma.

Proprietà delle operazioni

La somma di due vettori gode delle seguenti proprietà:

Commutativa \( u + v = v + u \)
Associativa \( u + (v + w) = (u + v) + w \)
Esiste elemento neutro 0 → \( v + 0 = 0 + v = v \)
Esistenza dell’opposto -v di ogni v ≠ 0 → \( v + (-v) = (-v) + v = 0 \)

Il prodotto di uno scalare per un vettore gode delle proprietà:

Di omogeneità \( \lambda (\mu v) = (\lambda \mu) v \)
Di compatibilità con la norma \( |\lambda v| = | \lambda | |v| \)
Distributiva rispetto alla somma; \( \lambda (u + v) = \lambda u + \lambda v \quad \) \( (\lambda + \mu) v = \lambda v + \mu v \)

Locuzione fondamentale

Si dice combinazione lineare di n vettori la somma di tali vettori, moltiplicata ciascuno per un coefficiente \( \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \ldots + \lambda_m v_m \).

m vettori si dicono linearmente indipendenti se l’uguaglianza \( \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \ldots + \lambda_m v_m = 0 \) è verificata unicamente per \( \lambda_1 = \lambda_2 = \ldots = \lambda_m = 0 \).

Osservazione: se i vettori non sono linearmente indipendenti, allora tra di loro vi è almeno 1 che può essere espresso come combinazione lineare degli altri.

In termini delle componenti

Dato uno scalare λ∈ℝ e due vettori u=

u₁
u₂

Anteprima

Vedrai una selezione di 14 pagine su 65